2025-2026学年江苏省南通中学高二（下）期末数学试卷

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1.已知集合，B={1，3，5}，则A∩B=（ ）
A. {1}B. {3}C. {1，3}D. {1，3，5}
2.已知复数，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则=（ ）
A. 1B. C. D.
4.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5-a3=12，a6-a4=24，则=（ ）
A. 2n-1B. 2-21-nC. 2-2n-1D. 21-n-1
6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. 20+12B. 28C. D.
7.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是左支上一点，且△PF1F2的面积为b2，若△PF1F2的内切圆与y轴相切，则双曲线的离心率e=（ ）
A. B. C. 2D.
8.已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A. e2＜yB. C. x2＜e2-1D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+1=3an-2an-1（n≥2），则下列说法正确的有（ ）
A. 数列{an+1-an}为等差数列B. 数列{an+1-2an}为等比数列
C. D.
10.已知α，β为锐角，，tanα+tanβ=1，则（ ）
A. B. cs（α-β）=1
C. D.
11.已知直线l：y=kx+2（其中与双曲线的上支相交于A，B两点，M（x0，y0）为线段AB的中点.过点M斜率为的两条直线分别与双曲线C相交于P，Q两点.则下列结论中正确地是（ ）
A. 点M的坐标满足.
B. 方程表示的图形是直线MP和直线MQ
C. 直线PQ与直线l始终保持平行
D. 直线PQ恒过某个定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，常数项为 .
13.已知函数，若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最大值为 .
14.随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a,B组最大数为b,记ξ=|a-b|.当n=3时，ξ的数学期望E（ξ）= ；若对任意n≥2，E（ξ）＜c恒成立，则c的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AB=1，AA1=2.
（1）求证：平面B1MC⊥平面AMC；
（2）求平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知数列{an}中，a1=3，.
（1）证明：数列{nan}是等差数列；
（2）给定正整数m,设函数，求f′（-2）.
17.(本小题15分)
已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
18.(本小题17分)
某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和，每次发送和接收相互独立.
（1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
（2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列；
（3）求检测器检测到两个“1指向”光子的概率.
19.(本小题17分)
我们把d=b-a（a＜b）称为区间[a,b]的长度.若函数f（x）是定义在区间I上的函数，且存在[a,b]⊆I，使得{f（x）|x∈[a,b]}=[a,b]，则称[a,b]为f（x）的自映射区间.已知函数f（x）=x-sinx（x∈I），g（x）=mlnx（m＞0）.
（1）若I=[-10，10]，任取f（x）的一个自映射区间，求其区间的长度d＞π的概率；
（2）若g（x）存在自映射区间[a,b]，
①求m的取值范围；
②求证：ab＞e2，且[a,b]的长度.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABC
12.【答案】11
13.【答案】2
14.【答案】
2

15.【答案】解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），M（0，0，1），C（0，1，0），B1（1，1，2），
所以，，，
设平面B1MC的法向量为，
则，则，
取；
设平面AMC的法向量为，
则，则，
取；
因为，
即，
所以平面B1MC⊥平面AMC；
（2）设平面B1AC的法向量为，
则，则，
取，
设平面MAC与平面B1AC的夹角为θ，则，
所以平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值为．
16.【答案】（1）证明：由题意证明如下，n∈N*，
在数列{an}中，a1=3，，
∴（n+1）an+1=nan+1，即（n+1）an+1-nan=1，
∴{nan}是以a1=3为首项，1为公差的等差数列 （2）
17.【答案】解：（1）由题意设抛物线C2的方程为：y2=4cx，焦点坐标F为（c，0），因为AB⊥x轴，将x=c代入抛物线的方程可得y2=4c2，所以|y|=2c，
所以弦长|CD|=4c，
将x=c代入椭圆C1的方程可得y2=b2（1-）=，所以|y|=，
所以弦长|AB|=，
再由|CD|=|AB|，可得4c=，即3ac=2b2=2（a2-c2），
整理可得2c2+3ac-2a2=0，即2e2+3e-2=0，e∈（0，1），所以解得e=，
所以C1的离心率为；
（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：（±a，0），（0，±b），
而抛物线的准线方程为：x=-c，
所以由题意可得2c+a+c+a-c=12，即a+c=6，而由（1）可得=，所以解得：a=4，c=2，所以b2=a2-c2=16-4=12，
所以C1的标准方程为：+=1，C2的标准方程为：y2=8x．
18.【答案】；
分布列见解析；
．
19.【答案】解：（1）f(x)=x-x，得f'(x)=1-，
因为-1x1，所以f'(x)=1-x0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，
若[a,b]是f(x)的自-映射区间,则,即a=b=0且a< b,
由x=0,可得x=k,kZ，
在区间[-10,10]上,x=k,kZ的解为x=-3,-2,-,0,,2,3，共7个解，
从这些解中任取两个构成区间[a,b](a< b),总的取法有=21种，即共有不同的区间共21个，
其中6个区间不符合要求，
自映射区间的长度d>的概率为；
（2）因为m>0,g(x)在(0,+)上单调递增,
若g(x)存在自映射区间[a,b],则g(a)=a,g(b)=b,
即h(x)=mx-x在(0,+)上至少有两个零点,
因为h'(x)=,
x(0,m)时,h'(x)>0,h(x)单调递增；x(m,+)时，h'(x)0,即m>e，
此时h(1)=-10,s(x)单调递增，
所以s(x)⩾s(e)=0,即x⩾2-,
由①知h(1)e,h(e)=m-e>0,则a(1,e)，所以=a>2-，即-2a+e>0，
因为b(m,)，同理可得-2b+e>0，
因为函数t(x)=-2x+e的=4->0，且对称轴为x=m，
则方程t(x)=0存在两根，(< m0,t(b)>0,所以a2.