2025-2026学年江苏省南通市高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省南通市高二（下）期中数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.对于x,y两个变量的四组样本数据，分别算得线性相关系数r1=-0.75，r2=0.70，r3=-0.85，r4=0.80，则线性相关性最强的是（ ）
A. r1B. r2C. r3D. r4
2.已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），P（μ-1≤X≤μ+1）=0.4，则P（X≤μ+1）=（ ）
A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.2
3.已知函数f（x）=3lnx-f′（1）x2，则f′（1）=（ ）
A. 3B. 1C. 0D. -1
4.在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则n=（ ）
A. 14B. 13C. 12D. 11
5.投掷一枚质地均匀的硬币，直到连续两次正面向上时结束投掷，记X为结束时投掷的次数，则P（X=4）=（ ）
A. B. C. D.
6.记f0（x）=ex（sinx+csx），f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，fn+1（x）=f′n（x），n∈N，则f10（0）=（ ）
A. 0B. 2C. 16D. 32
7.某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用x表示月份，y表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）.已知变量y与变量x的关系可以用模型y=aebx（a,b为常数）拟合，设z=lny,变换后得到一组数据如下：
根据模型预测七月份使用扫码支付的乘客约有7.675千人次，则a=（ ）
（参考数据：ln7.675≈2.038）
A. 0.596B. e0.596C. -6.92D. e-6.92
8.定义“特性数列”{an}如下：{an}共有m项，每一项ai∈{0，1}（其中i=1，2，…，m,m∈N*），且对任意的k≤m,a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数.若m=5，则不同的“特性数列”的个数为（ ）
A. 3B. 9C. 10D. 16
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导运算正确的是（ ）
A. （3x-1）′=2B.
C. D. （e2x-1）'=2e2x-1
10.下列说法正确的是（ ）
A. 用决定系数R2刻画回归效果，R2越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
B. 由独立性检验推断有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，说明吸烟者有95%的可能患有肺病
C. 使最小的实数x为x1，x2，…，x2026的平均数
D. 若0＜P（A）＜1，且P（B|A）=P（B），则事件A，B相互独立
11.从正整数数列{n}的前m（m≥3）项中任取3项，记3项和为偶数的概率为pm，则（ ）
A. B. 存在m（m≥3），使
C. 存在无数多个m（m≥3），使D. 对任意正整数m（m≥3），pm+pm+1＞1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现安排甲、乙、丙三名同学到A，B两家企业实习，每名同学只能选择一家企业，每家企业不限制实习生名额，则不同的安排方法有 种.
13.若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a2= .
14.已知直线l与曲线f（x）=ex和g（x）=ln（x+2）均相切，则直线l的方程是 ， .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为考察某种药物X对预防疾病Y的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表：
单位：只
（1）从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物X”为事件A，记“该动物患疾病y”为事件B.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计P（B|A），P（B|），并由此直观判断药物X对预防疾病Y是否有效，简要说明理由；
（2）能否有99%的把握认为药物X对预防疾病Y有效？
附：χ2=
16.(本小题15分)
已知的展开式中各项的二项式系数之和为64.
（1）求展开式中的第5项；
（2）求展开式中系数最大的项.
17.(本小题15分)
甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球.
（1）若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为X，求X的分布列及均值；
（2）若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为Y，求Y的分布列.
18.(本小题17分)
设函数f（x）=（x-1）2（x-t），曲线y=f（x）在x=3处的切线与y轴垂直.
（1）求实数t的值；
（2）我们知道，函数y=f（x）的图象关于点P（a,b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数.证明：函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
（3）证明：曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））（x0≠2）处的切线与该曲线恒有两个公共点.
19.(本小题17分)
箱中有形状、大小完全相同的N个球，编号分别为1，2，…，N.从箱中取出n个球，记录其编号分别为X1，X2，…，Xn（N＞n），记M=max{X1，X2，…，Xn}，即取出的n个球中的最大号码.现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数N.
甲同学准备采用样本均值=来估计总体均值，即，故认为N的估计-1.但乙同学认为这种方法可能出现＜M的无意义结果.例如，当N=4，n=3时，若X1=1，X2=2，X3=4，则M=4，此时＜M.
（1）若N=5，n=3，求事件＜M发生的概率；
（2）甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用M来作为N的估计值，即=M.由于样本均值会稳定于期望E（），丙同学凭直觉判断E（）＜N，认为乙同学的方法也不科学.请研究丙同学的判断E（）＜N是否正确，并证明；
（3）丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数n（n＜N），用aM+b来作为N的估计值，即=aM+b.试求实数a,b的值，使得E（）=N.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】8．
13.【答案】84．
14.【答案】y=x+1
（e-1）x+（3e-e2）y-2=0．

15.【答案】，，直观判断药物X对预防疾病Y有效 有
16.【答案】60x3 T3=240
17.【答案】X的分布列为：
E（X）= Y的分布列为：

18.【答案】t=4 证明：由（1）得f（x）=（x-1）2（x-4），
法一：令g（x）=f（x+2）+2=（x+1）2（x-2）+2=x3-3x，
所以g（-x）=-x3+3x=-g（x），所以 g（x）=f（x+2）+2 为奇函数，
故y=f（x）关于（2，-2）对称，所以函数y=f（x）的图象是中心对称图形；法二：因为f（x）=（x-1）2（x-4）=x3-6x2+9x-4，
设g（x）=f（x+a）-b=（x+a）3-6（x+a）2+9（x+a）-4-b=x3+（3a-6）x2+（3a2-12a+9）x+a3-6a2+9a-4-b，
若g（x）为奇函数，则g（x）=-g（-x），所以，解得，
故y=f（x）关于（2，-2）对称，所以函数y=f（x）的图象是中心对称图形 证明：因为f（x）=（x-1）2（x-4）=x3-6x2+9x-4，
切点，切线斜率f'（x0）=3（x0-1）（x0-3），
故f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为，
联立得，
即，
所以
=，
所以，
所以，
即，
所以x=x0或x=6-2x0，
因为6-2x0-x0=6-3x0≠0，即6-2x0≠x0，
所以曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））（x0≠2）处的切线与该曲线恒有两个公共点
19.【答案】 正确；证明：由题意，n+1，n+2，…，N，
所以的分布列为：
法一：
故
．
因此，故丙同学论断正确；法二：
故
=（因为）
=
=．
因此，故丙同学论断正确 x
2
3
4
5
6
z
1.02
1.20
1.42
1.62
1.84
药物X
疾病Y
合计
未患病
患病
未服用
80
40
120
服用
150
30
180
合计
230
70
300
P（χ2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
Y
0
1
2
P
n
n+1
n+2
⃯
N
P
⃯