2027年高考数学一轮复习学案 专题11 等差数列与等比数列

这是一份2027年高考数学一轮复习学案 专题11 等差数列与等比数列学案主要包含了知能解读 01，知能解读 02，知能解读 03，重难点突破 01，重难点突破 02，重难点突破 03，重难点突破 04，易混易错 01等内容，欢迎下载使用。
理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读 01】数列的概念
【知能解读 02】等差数列
【知能解读 03】等比数列
破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破 01】数列的单调性与最值问题
【重难点突破 02】等差数列前n 项和最值问题
【重难点突破 03】等差数列含绝对值问题
【重难点突破 04】等差数列与等比数列新背景问题
辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错 01】混淆数列与函数致错
【易混易错 02】对等比数列“中项”理解错误致错
【易混易错 03】忽视对公比 q 的讨论致错
点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧 01】由前几项归纳数列通项的方法
【方法技巧 02】周期数列的解题方法
【方法技巧 03】求解等差数列基本量的策略
【方法技巧 04】等差数列的判断与证明方法
【方法技巧 05】等差数列性质的应用
【方法技巧 06】等差数列前 n 项和性质的应用
【方法技巧 07】求解等比数列基本量的策略
【方法技巧 08】等比数列判断与证明的方法
【方法技巧 09】等比数列性质的应用
数列的概念
数列的有关概念
数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
数列的通项公式：如果数列an  的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
数列的递推公式：如果已知数列an  的首项(或前几项)，且任一项 an 与它的前一项an1 (n  2) (或前几
项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an1  an
其中 n∈N*
递减数列
an1  an
常数列
an1  an
按其他标
有界数列
存在正数 M，使 an  M
数列与函数的关系
n
数列a  是从正整数集 N  （或它的有限子集1, 2,, n ）到实数集 R 的函数，其自变量是序号 n ，对应的函数值是数列的第 n 项an ，记为 an  f (n) ．
【真题实战】（2025·天津·二模）已知an 是一个无穷数列，“ a2  a1 ”是“an 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
n1n
【解析】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即 a a n  N* .
若an 是摆动数列，可能有a2  a1 ，但是an 不是递增数列，
则仅a2  a1 不能推出an 为递增数列，但an 为递增数列可以推出a2  a1 .
所以“ a2  a1 ”是“an 为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.
等差数列
等差数列的有关概念
等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，定义表达式为 an1  an  d ( n  N * ， d 为常数)．
等差中项：若三个数 a，A，b 组成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项．
等差数列的有关公式
通项公式： an  a1  (n  1)d ．
前n 项和公式： S  na  n(n 1) d  n(a1  an ) ．
n122
等差数列的常用性质
通项公式的推广： an  am  (n  m)d (n, m  N * ) ．
若k  l  m  n(k, l, m, n  N *) ，则ak  al  am  an ．
若an的公差为 d，则a2 n  也是等差数列，公差为2d ．
若bn  是等差数列，则 pan  qbn  也是等差数列．
等差数列前 n 项和的常用性质
准分类
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列
对 n∈N*，存在正整数常数 k，使 ank  an
S2n  n(a1  a2n ) …  n(an  an 1)；
S2n1  (2n 1)an ；
两个等差数列a ，b  的前 n 项和 S ， T 之间的关系为 S2 n1  an .
nnnnTb
数列 Sm ， S2m  Sm ， S3m  S2m ，…构成等差数列．
2 n1n
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和.若S3  6, S5  5, 则 S6 （ ）
20
【答案】B
15
10
5
【解析】设等差数列an 的公差为 d，
3a1  3d  6
则由题可得
 d  3 ，

5a1 10d  5a1  5
所以 S6  6a1 15d  6  5 15 3  15.故选：B.
等比数列
等比数列的有关概念
等比数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示．
ab
等比中项：如果三个数 a ， G ， b 成等比数列，那么G 叫做 a 与b 的等比中项，其中G  ．注意：同号的两个数才有等比中项．
等比数列的有关公式
通项公式：若等比数列a 的首项为 a ，公比是 q ，则其通项公式为 a  a qn1 ；
n1n1
nm
通项公式的推广： a  a qnm ．
a (1 qn )a  a q
等比数列的前 n 项和公式：当 q  1 时， S  na ；当 q  1时， S  1  1n ．
等比数列的常用性质
n1n
1 q
1 q
kk mk 2m
相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 a ， a， a，…仍是等比数列，公比为 qm ．
若a  ， b  （项数相同）是等比数列，则a ( 0) ，  1  ， a2  ， a b  ，  an  仍是等比数
nnn
 a n
nn b 
 n 
列．
 n 
若 k  l  m  n(k ,l ,m,n  N *) ，则有 a  a  a  a ．口诀：下标和相等，项的积也相等
klmn
推广： a2  a a(n,k  N , 且n  k  1)
nn kn k
若an  是等比数列，且an  0 ，则lga an （ a  0 且a  1）是以lga a1 为首项，lga q 为公差的等差数列．
kq
若a  是等比数列， T  a a a …a ，则T , T2 k , T3 k , (k  N * ) 构成公比为 k2 的等比数列．
nk1 2 3k
TkT2 k
4、等比数列前 n 项和的常用性质
在公比 q  1 或q  1且n 为奇数时， Sn ， S2n  Sn ， S3n  S2n ，……仍成等比数列，其公比为 q n ．
m pmp
对m, p  N * ，有 S S  qmS ．
若等比数列a  共有 2n 项，则 S 偶  q ，其中 S ， S 分别是数列a  的偶数项和与奇数项和．
n
等比数列的前 n 项和 S 
S 奇
a1  a1
偶
 qn ，令 k 
奇
a1 ，则 S
n
 k  k  qn （ k 为常数，且q  0,1）．
n1 q
1 q
1 qn
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列an 的前n 项和为 Sn ，且2Sn  3an 1  3 .
求an 的通项公式；
求数列Sn 的前 n 项和.
 5 n1
15  5 n
315
n3
【答案】(1) a   
 
；(2) 
43
 
 n 
24
【解析】（1）因为2Sn  3an 1  3 ,故2Sn1  3an  3，
所以2a  3a 3a n  2 即5a  3a故等比数列的公比为q  5 ，
nn1n
5
nn1
3
 5 n1
 
故2a1  3a2  3  3a1  3  3  5a1  3 ，故a1  1，故 an   3 .
 5 n 
1 1  3  n
（2）由等比数列求和公式得 S      3  5   3 ，
 
n
所以数列Sn 的前 n 项和

1 52  3 2
3
3  5   5 2
Tn  S1  S2  S3    Sn  2  3   3 
 5 3
 3 
 5 n 3
   3    2
 5  
 5  n 
  
   
 3  1 3  n
 3        3 n 15  5   3 n 1 5 .
 3 
3
21  5 
 
 
24  24
01 数列的单调性与最值问题
将数列视为函数 f (x) 当 x∈N*时所对应的一列函数值，根据 f (x) 的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 f (x) 的最值，进而求出数列的最大(小)项．
利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值
an  an1an  an1
利用“两边夹” a  a(n  2) 求数列中的最大项，利用a  a(n  2) 求数列中的最小项．
 nn1 nn1
【注意】适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解的大小即可确定
 3 n1  3 n1
 
【典例 1】（2025·上海·三模）已知数列an的通项公式为an   4 
 
4
 
 1 ，n  N* ，则关于数列an 

的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项D．没有最大项也没有最小项
【答案】A
 3 n1
【解析】令t   
4
 
，因为n  N* ，所以当n  1, 2, 3, 4...时， t  1, 3 , 9 , 27 ...
4 16 64
而an
 t t 1  t 2  t 
1 21
 t  2   4 ，

所以当t  1时，即n  1 时， an 取最大值；
因为 27  1  3 ，且 1  27  5 ， 3  1  1 ，因为 5  1 ，所以 27 距离 1 最近，
6424
26464
424
644
642
所以当t  27 ，即n  4 时， a 取最小值；
64n
所以该数列既有最大项又有最小项，故选：A．
7, n  5
【典例 2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列a 的通项公式为a
  2n  7
，若a 是a 
nn 117n
 n2  a  1n,n  6
 77
中唯一的最小项，则实数a 的取值范围是（ ）
A．14,16
【答案】B
B．15,16
C．15,16
D．14,16
【解析】当n  5时， a  7 ，令a a  0 ，得： 7  7   14 0 ，
n2n  7
n1n
2n  1  72n  7
 2n  5 2n  7
解得： n  2 或n  4 ，因此可知： a1  a2  a3, a4  a5；
又当n  1, 2, 3 时， an  0 ，当n  4, 5 时， an  0 ，所以an 在n  3 时，取最小值： a3  7 ．
当n  6 时， a  1 n2  1 a 1 n ，则该代数式对应函数对称轴为直线 n  a 1 ，
n772
因为a 是a 中唯一的最小项，所以13  a 1  15 ，且a  8  a  7 ，
7n2227
解得14  a  16 ，且a  15 ，即15  a  16 ．故选：B
a1－d
2
02 等差数列前 n 项和最值问题
二次函数法： 将 Sn＝na1＋
nn－1d＝d
22
n2＋
n 配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意 n
∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定 n 的值，更加直观．
an≥0，
an≤0，
邻项变号法：当 a1>0，d0，d>0，则 S1 是{Sn}的最小值；若 a1