天津市河西区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题（含解析）

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答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、班级、考场号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共10题，共30分．
一、选择题（本大题共10小题，共30分．）
1. 的算术平方根是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的定义，根据算术平方根的定义计算即可得到答案．
【详解】解：∵正数的平方根有两个，为，
∴的平方根有两个，是，
∵正数的正的平方根叫做的算术平方根，
∴的算术平方根是．
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标符号特征，
∴点在第四象限．
3. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 22和24之间
【答案】B
【解析】
【分析】找出与23相邻的两个完全平方数，即可估算出的取值范围．
【详解】解：∵，，，
∴，即的值在4和5之间．
4. 如图，直线，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到，再结合对顶角，从而求出的大小．
【详解】解：，
，
，
．
5. 下面的调查，适合抽样调查的是（ ）
A. 了解全国中小学生课外阅读情况B. 检测长征运载火箭的零部件质量情况
C. 了解某班学生的身高情况D. 了解某班同学每周体育锻炼的时间
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽样调查和全面调查的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、了解全国中小学生课外阅读情况，适合采用抽样调查，故符合题意；
B、检测长征运载火箭的零部件质量情况，适合采用全面调查，故不符合题意；
C、了解某班学生的身高情况，适合采用全面调查，故不符合题意；
D、了解某班同学每周体育锻炼的时间，适合采用全面调查，故不符合题意；
故选A．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据不等式基本性质1：不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变，
∴，，因此A、B错误；
根据不等式基本性质2：不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变，故，因此C错误；
根据不等式基本性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，故，因此D成立．
7. 方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用加减消元法，消去未知数后先求出，再代入求出，即可得到结果．
【详解】解：，
由得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
8. 下列命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②内错角相等；③相等的角是对顶角；④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．其中，真命题有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据垂线的性质，平行线的性质，对顶角的定义，平行线的传递性，逐一判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可得到答案．
【详解】解：①由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①是真命题；
②只有两直线平行时，内错角才相等，该命题缺少“两直线平行”的前提，故②是假命题；
③相等的角不一定是对顶角，例如任意两个直角都相等，但不一定是对顶角，故③是假命题；
④由平行线的基本性质可知，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④是真命题；
因此真命题共有2个．
9. 春暖花开时节，小江一家人去郊外露营．小江准备了一些草莓，如果每人分个，则多出个；如果每人分个，则有一人少一个．设这一行人共有人，草莓一共有个，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
根据“如果每人分个，则多出个；如果每人分个，则有一人少一个”，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设这一行人共有人，草莓一共有个，则
，
故选：C．
10. 已知关于的不等式组有2个整数解；若a为整数，则a的值（ ）
A. 5B. 6C. 6或7D. 7或8
【答案】D
【解析】
【分析】不等式组整理后，根据解集有个整数解，确定出整数的值即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
不等式组有个整数解，
不等式组的解集为，整数解为，，
，
解得：，
则整数的值为，．
故选：D．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．
2．本卷共13题，共70分．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 的相反数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数，相反数的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义，即可解答．
【详解】解：的相反数是．
故答案为：．
12. 小明在家点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手A点的坐标为，饭店C的坐标为，则小明家点B的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键；由题意可在图中作出坐标系，然后问题可求解．
【详解】解：由骑手A点的坐标为，饭店的坐标为可建如下坐标系：
∴小明家点的坐标为；
故答案为．
13. 如图，这是小苗同学跳远时沙坑的示意图．测量成绩时先用刻度尺从后脚印的点B处垂直拉至起跳线的点A处，然后记录AB的长度．这样做的依据是______________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据点到直线，垂线段最短，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这样做的依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短
本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
14. 如图，O是直线上一点，，平分，，则的度数为 ___________．
【答案】##20度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，先根据补角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，即可求解；能熟练利用角平分线进行有关角度计算是解题的关键．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
15. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先解二元一次方程组，求出x+y=m+2，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可，
【详解】解：，
①+②得2x+2y=2m+4，
则x+y=m+2，
∵，
∴m+2＞1，
解得m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
本题考查二元一次方程组的解，一元一次不等式解法，掌握二元一次方程组的解，一元一次不等式解法是解题关键．
16. 将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度_______．
【答案】105
【解析】
【分析】设长方体的长为，宽为，根据图中的信息列方程计算．
【详解】解：如图，设长方体的长为，宽为，
由图①可得，③，
由图②可得，④，
，得，
即，
解得．
三、解答题：（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
17. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
由①得③，
把③代入②，得：，解得，
把代入③，得，
∴方程组的解是；
【小问2详解】
解：
由①得③，
由②得④，
，得⑤，
，得，解得，
把代入④得，
∴方程组的解是．
18. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为________．
【答案】（1）
（2）
（3） （4）
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，先分别解每一个不等式，把每一个不等式的解集在数轴上表示出来，再取公共的部分即为不等式组的解集．
【小问1详解】

∴，
解得；
【小问2详解】
，
，
，
解得；
【小问3详解】
略；
【小问4详解】
根据“同大取大”，取两个解集的公共部分，得原不等式组的解集为．
19. 为增强学生网络安全意识，某校举行了网络安全知识竞赛，并从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩不低于60分）分成4组（A：，B：，C：，D：），并根据分析结果绘制了如下尚不完整的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）随机抽取了 名学生的竞赛成绩进行分析， ；
（2）请补全频数分布直方图，扇形的圆心角的度数为 °；
（3）若竞赛成绩在分及分以上的学生获奖，该校共有名学生参加竞赛，请你估计获奖的学生大约有多少人？
【答案】（1）200；36
（2）见解析，
（3）人
【解析】
【分析】（1）根据等级的频数和所占的百分比，可以求得抽取的人数；再根据B等级的人数求出B等级的百分比可得的值；
（2）求出等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，再求扇形统计图的圆心角度数即可；
（3）利用乘以、等级人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：随机抽取的学生的竞赛人数为：人，
，
；
【小问2详解】
解：C等级学生有：人，
补全的频数分布直方图，如图所示：
扇形的圆心角的度数为，
【小问3详解】
解：人，
答：估计获奖的学生大约有人．
20. 将下面的推理、计算过程补充完整，括号内注明该步推理的理由．
（1）如图①，，，．
求证：．
证明：，，（已知），
（垂直定义）．
________（________________）．
（已知），
（________________）．
．
（________________）．
（2）如图②，，平分，求的度数．
解：（已知），
（________）．
平分（已知），
（角平分线的定义）．
（________），（已知），
．
（________），
（________）．
【答案】（1）；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
（2）平角定义或邻补角互补；对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
21. 如图，三角形在平面直角坐标系中，，，，将三角形向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形．平移后点，，的对应点分别为点，，．
（1）请直接写出点，，的坐标，并在图中画出三角形；
（2）若点在坐标轴上，且三角形的面积与三角形的面积相等，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），，，即为所作
（2）或或或
【解析】
【分析】（1）向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即将，，三个点的横坐标分别减2、纵坐标分别加3，即可得到点，，的坐标，再依次连线即可作出；
（2）先利用网格图求出三角形的面积，再分情况，根据可确定点的坐标．
【小问1详解】
解：∵向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴将，，三个点的横坐标分别减2、纵坐标分别加3，即可得到点，，的坐标，
∴，，，
依次连线点，，，作图见答案；
【小问2详解】
，
∵三角形的面积与三角形的面积相等，
∴，
∵，，
∴，，
当点M在x轴上时，，
∴，
∴，
∵，点M在x轴上，
∴，
即：，
∴，或者
∴或者；
当点M在y轴上时，，
∴，
∴，
∵，点M在y轴上，
∴，
即：，
∴，或者
∴或者；
综上所述：点的坐标为：或或或．
22. 暑期临近，朝天门一服装店老板计划购进甲、乙两种童装T恤．已知购进甲种T恤2件和乙种T恤3件共需310元；购进甲种T恤1件和乙种T恤2件共需190元．
（1）求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？
（2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购买甲、乙两种T恤的购买方案．
【答案】（1）甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元
（2）一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二、购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三、购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键．
（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据购进甲种T恤2件和乙种T恤3件共需310元；购进甲种T恤1件和乙种T恤2件共需190元建立方程组求解即可；
（2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量建立不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元；
【小问2详解】
解；设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二、购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三、购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件．
23. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，正方形与长方形的位置如图所示，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点的横坐标为，点，在轴的负半轴上（点在点的右侧），点的坐标为，，实数，的值满足．
（1）求点的坐标；
（2）长方形以每秒1个单位长度的速度向右平移秒得到矩形，点，，，分别为点，，，平移后的对应点，设矩形与正方形重合部分的面积为，用含的式子表示，并直接写出相应的的范围；
（3）在（2）的条件下，在长方形出发运动的同时，点从点出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即），连接，，当三角形的面积为15时，直接写出当时点的坐标________．
【答案】（1）
（2）
（3）、
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根非负先求出a、b的值，即确定点的坐标，点的横坐标，再根据正方形、矩形的性质即可确定点的纵坐标、点的横坐标，再求出的长度，即可确定点的坐标，进而可得点的横坐标，问题得解；
（2）根据运动有：，分情况讨论：第一种情况：当在左侧（含与重合的临界点）时，此时矩形与正方形无重合部分；第二种情：当在、之间（含与重合的临界点）时，此时根据，可得解；第三种情：当在、之间（不含与重合的临界点）时，此时有，问题可解；
（3）分情况讨论：第一种情况：当时，则点P移动的距离范围为大于4，小于12，当点P在（不含端点B）上时，画出图形，即有，根据移动可知：，，，即可得到关于t的一元一次方程，解方程，即可求解；当点P在（含端点B）上时，同理可解；第二种情况：当时，则点P移动的距离范围为不小于12，小于20，当点P在（含端点A）上时，即有：，可得出，即不存在的情况，故此种情况舍去；当点P在上时，同理可得不存在的情况，问题得解．
【小问1详解】
解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
∵点的横坐标为，
∴点的横坐标为4，
∵正方形与长方形，
∴，点的纵坐标为6，点的横坐标为4，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，正方形，
∴，，
∵，
∴当与重合时，也与重合，
在（1）中已求出，
根据运动有：，
分情况讨论：
第一种情：当在左侧（含与重合的临界点）时，如图，
此时矩形与正方形无重合部分，故，
当与重合时，，
∴此时：，；
第二种情：当在、之间（含与重合的临界点）时，如图，
此时阴影部分为矩形与正方形重合部分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当与重合时，，
∴，
∴此种情况下：；
第三种情：当在、之间（不含与重合的临界点）时，如图，
此时阴影部分为矩形与正方形重合部分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当与重合时，
∴，
∴，
∵，
∴此种情况下：；
综上：；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
分情况讨论：
第一种情况：当时，则点P移动的距离范围为大于4，小于12，
当点P在（不含端点B）上时，如图，
∴，
根据移动可知：，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∵点P在（不含端点B）上，
∴点P,纵坐标为4
∴此时；
当点P在（含端点B）上时，如图，

∴，
根据移动可知：，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵点P在（含端点B）上，
∴点P横坐标为4，
∴此时；
第二种情况：当时，则点P移动的距离范围为不小于12，小于20，
当点P在（含端点A）上时，如图，
或者
即有：，
∵，
∴，
即不存在的情况，故此种情况舍去；
当点P在上时，如图，

即有：，
∵，
∴，
即不存在的情况，故此种情况舍去；
综上所述：点的坐标为、．