广东惠州市惠城区2025-2026学年第二学期期末教学质量监测八年级数学试卷（含解析）

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2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（每题3分，共计30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义解题即可．理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. 2、3、4B. 3、4、5C. 6、8、10D. 5、12、13
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度，故此选项符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意．
故选：A．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3. 在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据二次根式和分式有意义的条件求自变量取值范围，二次根式被开方数需为非负数，分式分母不能为0，据此列不等式组求解即可．
【详解】解：要使函数有意义，需同时满足两个条件：
解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
自变量的取值范围是且．
4. 把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（ ）
A. 三角形或四边形B. 四边形或五边形
C. 三角形或五边形D. 三角形或四边形或五边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。
【详解】解：分三种情况讨论：
∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形；
当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形；
当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形；
∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形．
5. 一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ）
A. B. 9C. 14D. 45
【答案】D
【解析】
【详解】解：方差的计算公式为：，其中为数据的个数，为这组数据的平均数．
对比题目给出的方差表达式可得，平均数，
该组数据的总和为．
6. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（ ）
A. 9B. 8C. 2D. 45
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据勾股定理进行求解即可.
【详解】解：由图和勾股定理可知，中间正方形的面积等于正方形A，B的面积之和，正方形D的面积等于中间正方形的面积加上正方形C的面积，
故正方形D的面积.
7. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（ ）
A. 8B. 16C. 8D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的性质得出OA=BO，证△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD=2OB=8，
∴OA=OB=4，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=4，
∴AD=，
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×4=16；
故选：D．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键．
8. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；
③作射线，交边于点H；
则点H的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键.
由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以于是得到问题的答案.
【详解】∵，
∴，
∵，
∵四边形是平行四边形，在轴上
∴轴，
由作图得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，

∵轴

故选： A.
10. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示，下列说法不正确的是（ ）
A. 小球在斜面上的最大速度为
B. 所在直线的函数解析式为
C. 小球从斜面底端到停止所用的时间为
D. 小球在水平面上运动的总路程为
【答案】C
【解析】
【分析】利用求一次函数的解析式，一次函数的应用，逐一分析各个选项，结合题意和图象进行判断选出正确选项即可．
【详解】解：设所在直线的函数表达式为，
把代入，
∴，
∴，
当时，，
即A点坐标为，
∴小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，不符合题意；
设所在直线的函数表达式为，
得，
解得，
∴所在直线的函数表达式为，故选项B正确，不符合题意；
当时，，
解得，
∴，
∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意；
小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，不符合题意．
二、填空题（每题3分，共计15分）
11. 小沛用一根长的绳子围成了一个菱形场地，则它的边长为____m．
【答案】
【解析】
【分析】利用菱形四条边相等的性质，结合已知周长即可求出边长．
【详解】解：设菱形的边长为，由题意得菱形周长为，可得：
解得．
12. 某金属零件结构如图所示，主体外框为正六边形，为加固零件，焊接了金属条，，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角定理，掌握正多边形的性质和多边形的外角和为是解题的关键．
先计算正六边形的一个外角的度数，再求正六边形一个内角的度数，根据等边对等角求解即可．
【详解】正六边形的一个外角的度数为：，
正六边形的一个内角的度数为：，即，
在正六边形中，，
∴，
故答案为：
13. 已知，，则代数式的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先利用完全平方公式将所求代数式因式分解，再代入，的值计算即可得到结果.
【详解】解：∵，，
∴，
∴.
14. 把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式．
【详解】解：直线沿轴向下平移2个单位长度后，得．
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，平分交于点，若____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定与性质可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可求的长．
【详解】解：平分交于点，
，
四边形是平行四边形，
，
则，
，
则，
在平行四边形中，，
在中，，则，
即，
是直角三角形，且，
，
，
在中，，由勾股定理可得，
故答案为：．
本题考查求线段长，涉及平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用勾股定理及勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
三、解答题（每题7分，共计21分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式.
17. 已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简．
【答案】
【解析】
【详解】解：由图可得，且，
∴，，
∴

.
18. 如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点，求的值和直线的函数表达式．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数表达式．熟练掌握待定系数法求一次函数表达式是解题的关键．
将代入，计算求解可得，则，待定系数法求直线的函数表达式即可．
【详解】解：将代入得，，
∴，，
设直线的函数表达式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的函数表达式为．
四、解答题（每题10分，共计30分）
19. 某篮球队进行一轮投篮训练．每人投五次，个人投中次数的数据中只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图1，图2所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）“投中4次”所在扇形的圆心角是_____；请补充完整条形统计图；
（2）若有一名新队员加入篮球队，经过五次投篮后，把新队员的投中次数与原数据组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员投中次数的最大值．
【答案】（1），
（2）此队员投中次数的最大值为3
【解析】
【分析】（1）用投中2次的人数除以所占的比例求出总人数，用360度乘以投中4次的人数所占的比例求出圆心角的度数，求出投中5次的人数，补全条形图即可；
（2）求出原来的平均数，根据平均数变小，即可得出结果.
【小问1详解】
解：，
，
投中5次的人数为（人）；
补全条形图略；
【小问2详解】
解：原命中结果的平均数为，
∵一名队员新加入篮球队，经过五次投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小，
∴此队员命中结果的最大值为3.
20. 将长为，宽为的矩形白纸按如图所示的方法粘合后得到一个大矩形，粘合部分的宽是．设张白纸粘合后的总长度为．
（1）求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数．
（2）白纸粘合后的总长度能为吗？为什么？
【答案】（1），y是x的一次函数
（2）白纸粘合后的总长度不能为，理由如下：
若，则，
，
x不是整数，
故白纸粘合后总长度不能为.
【解析】
【分析】（1）用总长减去重合部分的长度，列出函数关系式，进行判断即可；
（2）令，求出的值，进行判断即可.
【小问1详解】
解：由题意，；
y是x的一次函数；
【小问2详解】
略
21. 小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下．
制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，．
证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明．
请根据小高同学的思路写出证明过程．
【答案】证明：如图，作，垂足为点，

设与的交点为，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为长方形，
，
，
.
【解析】
【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证.
【详解】略
五、解答题（每题12分，共计24分）
22. 如图，在中，D，E分别是的中点，延长至点F，使，连接．
（1）从条件①；②中选择合适的一个，完成四边形为矩形的证明．
（2）在（1）的结论下，若平分，且，求四边形的面积．
【答案】（1）解：选择条件①；不能选择条件②；
∵是的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
选择①，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，，得出四边形为平行四边形，选择①，根据等腰三角形性质，证明，再根据矩形的判定证明四边形为矩形即可；
（2）先证明四边形为平行四边形，再证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理得出，根据平行四边形的面积公式得出．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴根据勾股定理得：，
∵四边形为平行四边形，
∴．
23. 综合与探究
在平面直角坐标系中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）如果，那么，，中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ；
（2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求直线的表达式．
（3）如图（2）所示，在矩形中，点F的坐标为，点M的坐标为， 如果在矩形上存在一点N， 使得点M，N的“相关菱形”为正方形，请求m的取值范围．
【答案】（1）R，S （2）直线的表达式为或
（3）m的取值范围为
【解析】
【分析】（1）观察图象可知：S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点；
（2）如图2中，过点A作垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知，由此可求得点B的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）过点M作轴，垂足为G，可得到为等腰直角三角形，然后分为点N与点E重合、点N与点O重合两种情况求得m的最大值和最小值，从而可确定出m的范围．
【小问1详解】
解：点A的坐标为，点B的坐标为，
如图1中，观察图象可知：R，S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点，
【小问2详解】
解：如图2中，过点A作垂直x轴于H点．
∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴或5．
∴B点的坐标为或，
设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴；
同法可知，当B点的坐标为时，直线的解析式为；
【小问3详解】
解：如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作轴，垂足为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作轴，垂足为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴m的取值范围是：．