新高考数学一轮复习专题7.5 利用空间向量求空间角与距离（六类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

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重难点题型1 求点到点的距离
1．（24-25高二下·江苏连云港·周测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长．
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为点M在上，点N在上，所以设，
因为是异面直线与的公垂线段，
所以，即，解得，
所以，
所以异面直线与间的距离为，
故选：C．
2．（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）已知点A的坐标是，则（ ）
A．5B．6C．D．5
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】空间向量模长的坐标表示
【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】根据题意.
故选：C.
3．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（ ）
A．2B．4C．3D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】空间向量模长的坐标表示
【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以，当且仅当时取等号.
故选：A
4．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、空间向量模长的坐标表示
【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
故，
过点作⊥于点，设，，
则，所以，
显然∽，故，即，
故，则，
，
，
，
故当时，取得最小值，最小值为
故选：B
5．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是
【答案】/0.5
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、异面直线距离的向量求法
【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解.
【详解】连接，如下图，

由题意，，，正方形中，
正方形中，平面，平面，
平面平面，
∴就是二面角的平面角，则，
∴向量与向量夹角为，且，，
设，，，则，
且由题意，
∴，
，
∴，
令，，图象开口向上，且对称轴为，
∴当时，取得最小值，
即最小值为，
∴的最小值是.
故答案为：.
6．（24-25高二上·河南周口·月考）已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算、异面直线距离的向量求法
【分析】由题意可计算出该正四棱锥底面边长及高，建立适当空间直角坐标系后可表示出的方向向量及的坐标，即可表示的方向向量，要使线段的长度最小，则为的公垂线，通过空间向量计算即可得解.
【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为，
则由题意可得，解得，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、，
则，，
则可设，，，，
则，
要使线段的长度最小，则为的公垂线，
即有，
解得，符合题意，
此时，则.
即线段长度的最小值.
故答案为：.
7．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为点M在上，点N在上，所以设，，
所以,，
因为MN是异面直线AC与的公垂线段，
所以，即，解得，
所以，，
所以点M是线段上靠近点的一个三等分点，
点N是线段上靠近点的一个三等分点，
且异面直线与间的距离为.

故答案为：.
8．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示
【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故，所以，故．
故答案为：．
重难点题型2 求点到平面的距离
1．（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可．
【详解】，
，又，
点到平面的距离为，
故选：B
2．（24-25高二下·江苏·月考）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离.
【详解】因为点，点，所以，
又平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
故选：B.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立空间直接坐标系，写出点坐标，利用空间坐标法求点到平面的距离即可.
【详解】
以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ．
则 ，，，，
所以 ，，，
设平面 的法向量为，则
令 ，则 ，，所以平面 的一个法向量为．
所以点 到平面 的距离为，
故选：A
4．（2025·天津南开·二模）如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法
【分析】建立平面直角坐标系，求出点到面的距离，利用三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】
设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
由题：，
又弧长为，所以，
所以，
设平面的法向量为，则
即，令，则，取，
则E到面距离为，
又，
所以三棱锥的体积为，
故选：C.
5．（24-25高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可.
【详解】因为，所以点到平面的距离.
故答案为：.
6．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，其中是平面的法向量，结合公式即可运算求解.
【详解】如图，取的中点，因为平面，平面，
所以，
因为三角形是等边三角形，点是中点，所以，
所以两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，，，D为AC的中点，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，解得，
所以可取，
点到平面BDE的距离为.
故答案为：.
7．（24-25高二下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形.平面，，分别是，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）连接交于点，连接，先证明，可得平面，进而求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量结合题设可得，再利用点到面的距离的空间向量公式求解即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
在正方形中，为的中点，
因为为的中点，所有，
又平面，所有平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，，则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
易得平面的一个法向量为，
则，解得，
则，，即，
所以点到平面的距离为.
8．（24-25高三上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线，平行四边形性质以及线面平行的判定定理即可证明；
（2）结合已知条件建立空间直角坐标系，分别写出相应的点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可；
（3）在（2）的基础上利用向量法求点到面的距离即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
在中，因为，分别是为棱，的中点，
所以为中位线，
所以，且，
又，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）平面，平面，
所以，又，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
取的中点，连接，如图所示：
因为，，且，
所以四边形是边长为2的正方形，
所以，
因为为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
即平面的一个法向量为，
又平面，平面,
所以，由，且，
所以平面，即平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为
（3）由（2）知，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：
，
所以点到平面的距离为.
重难点题型3 求平行平面之间的距离
1．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】证明线面垂直、求点面距离、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法
【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解
【详解】由正方体的性质：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，所以，，，
，，
所以，，
，．
连接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离：
．
故选：D.
2．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】平行平面距离的向量求法
【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，，，
所以，因为四点不共线，所以∥，
由面，面，则面，
因为，，分别是棱，的中点，所以∥，
同理，∥平面，而，面，
所以平面∥平面面，故平面，
所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离．
设平面的法向量为，则，不妨取，则，
所以点到平面的距离，
即平面和平面之间的距离是．
故选：B
3．（24-25高二上·上海虹口·周测）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解．
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
因为，则，
所以，
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
又因为，所以．
所以平面与平面的距离为．
故答案为：．
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】平行平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，
F(2，4，4)，N(4，2，4).
∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，
∴，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
则解得
取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1).
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.
∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=.
故答案为：
【点睛】本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.
5．（23-24高二上·内蒙古赤峰·周测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点．
(1)求证：平面ABD；
(2)求证：平面EGF平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【难度】0.65
【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、平行平面距离的向量求法
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证；
（3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果.
【详解】（1）由题设，两两互相垂直，
以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，设，则.
所以，易得，，
所以，，所以，，
又，且都在平面内，故平面ABD.
（2）由题意知，则，
所以，，则，，
所以，，
又且都在平面内，所以平面EFG，
结合（1）知，平面EGF平面ABD.
（3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量，
所以点F到平面ABD的距离为，
由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离，
所以两平面间的距离为.
6．设正方体的棱长为2，求：
(1)求直线到平面的距离；
(2)求平面与平面间的距离.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法
【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得；
（2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可．
【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
所以，所以，即，
又平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
设平面的一个法向量为，
则，令，则，又，
所以点到平面的距离.

（2）由（1）知平面，同理，平面，
又，平面，
所以平面平面，
即平面与平面间的距离等于点到平面的距离．
由（1）知，点到平面的距离.
所以平面与平面间的距离为.
重难点题型4 求线线角
1．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
如图，分别取，则，
且，
而
由，
，
，
设与的所成角为，
则.
故选：A.
2．（24-25高二下·福建厦门·期末）在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】选取空间的一组基底，将，用基底表示，结合夹角公式求解.
【详解】，设正四面体的棱长为，
则，
故，又，
直线与直线夹角的余弦值为，
故选：D．
3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值.
【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：
，
，，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：A
4．（24-25高二下·云南·期末）在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】正棱锥及其有关计算、异面直线夹角的向量求法
【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解.
【详解】设正四棱锥的高为，则，解得，
所以.
由已知，，，
设，且，又，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
设直线与直线所成角为，
所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为.
故选：A.
5．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】建系，向量法求直线夹角.
【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则
则
故答案为：.
6．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解.
【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
因此，
所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
故答案为：
7．（24-25高二下·江苏淮安·期中）在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法
【分析】设异面面直线与所成角为,将用，表示,代入公式计算得出答案.
【详解】设棱长均为1,
因为，所以 ，所以，所以.
又.
设异面直线与所成角为,
则.
故答案为: .
重难点题型5 求线面角
1．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且.
(1)求证：平面；
(2)求的长度；
(3)若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）先利用面面垂直的性质得到线面垂直进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）通过证明平面，得到，进而得到，通过比例结合即可求得；
（3）以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，先分别求得及平面的法向量，再由求线面角正弦的方法计算即可.
【详解】（1）因为底面为直角梯形，且，所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
过点可以作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知平面，平面，所以，
在梯形中，由∥,得，
所以，
所以∥，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以，
可得，
又因为，所以，即.
（3）以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，
，，，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
点到平面的距离为，解得，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设与平面所成角为，
则，即与平面所成角的正弦值为.
2．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【难度】0.85
【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）由直棱柱的性质可得平面，则，而则由线面垂直的判定可得平面，则，而，则平面，再由线面垂直的性质可得结论；
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】（1）证明：连接，

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，则，
因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，则．
（2）因为直三棱柱中，，
所以，，两两垂直，
所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
令可得．
设与平面所成角为，
所以，
即与平面成角的正弦值为，
所以与平面成角的余弦值为．
3．（24-25高二下·海南·月考）如图，在直四棱柱中，．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）取AD中点记为E，先由直四棱柱的性质结合面面垂直的性质定理即可证得平面，则平面；
（2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD为等腰梯形，
取AD中点记为E，连接CE，
因为
所以即四边形ABCE为平行四边形，
所以
由于所以又，
所以即，
因为为直四棱柱，
所以平面平面，平面平面，平面,
所以平面，即平面；

（2）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系：

因为由(1)知，
所以，
所以
设是平面的一个法向量，
则令，则，
所以，
,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
4．（24-25高一下·海南·期末）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）由已知证明，，可得，可证平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面法向量，由向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）因为P，D分别是，的中点，则，
在三棱柱中，则，可得，
且平面，平面，所以平面.
（2）由题意知三棱柱中，侧棱与底面垂直，
且，，
故，∴，
以点为坐标原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
则，，
可得，
所以直线平面夹角的正弦值为.
5．（24-25高三下·云南丽江·周测）在三棱柱中 .
(1)证明:平面平面.
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面角的向量求法
【分析】（1）设为的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解；
另解：设点到平面的距离为，结合，求得的值，进而求得直线 平面 成角.
【详解】（1）证明：设为的中点，连接，
因为，所以为等边三角形，
可得，
因为，所以，可得，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解:因为，所以，， 两两垂直，
以为坐标原点, 以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，，， ，
则 ，
设平面的法向量为，则 ，
令，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
另解：设点到平面的距离为，为的中点,连接 ，
所以，因为，所以平面，故，
又由 ，
，
，
由，可得 .
设直线 与平面 所成的角为 ，可得，
所以直线 平面 成角的正弦值为.
6．（24-25高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法
【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，再根据线面垂直的判定即可证明；
（2）由（1）得是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，代入计算即可.
【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，
，，.
因为，，
所以，.
因为，平面，，
所以平面.
（2）由（1）得是平面的一个法向量，.
设直线与平面所成的角为，
则，
故，
则直线与平面所成角的正弦值为.
7．（24-25高二下·贵州毕节·期末）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）取的中点，连接，，先由几何知识证明，再结合线面平行即可求解证明；
（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
由题意得，.
四边形为平行四边形，
，.
又，，
，，
四边形为平行四边形，
.
又平面，平面，
平面
（2），，四边形为矩形.
又平面平面，，，.
则以点为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为.
则，即，
令，可得，
设求与平面所成角为，
所以.
所以与平面所成角的正弦值为.
重难点题型6 求二面角
1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，M是的中点，N是上的一点．
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若异面直线和所成角的余弦值为，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别计算平面，平面的一个法向量计算即可；
（2）利用点到平面的距离的空间向量表示计算；
（3）依据题意得到点，然后得到平面的一个法向量，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）由题可知：建立如图所示空间直角坐标系
又，
所以，
则，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
所以，令，则；
，令，则，
又，所以，所以平面平面.
（2）由（1）可知：，平面的一个法向量为
点到平面的距离为.
（3）由（1）可知：，设，
所以，
又异面直线和所成角的余弦值为，
所以，
所以.
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以二面角的余弦值为，
则正弦值为.
2．（24-25高二下·重庆·期末）如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且.
(1)证明：；
(2)若，，求平面与平面夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用线面垂直的判定与性质，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）连接，
∵，均为正三角形，为的中点，∴，，
平面，，∴平面，
平面，∴，
，，平面，∴平面，
平面，∴.
（2）∵平面平面，平面平面，
，，平面，平面，
∴平面，平面，
故以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，∴，
，且平面，平面，平面，
由平面，则，又，，
平面，∴平面，∴，
设平面的法向量为，则
令得是平面的一个法向量，
显然平面的一个法向量为，∴，
故所求角为.
3．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）如图，在四边形中，，，，，，E是的中点．现将沿翻折，使得点A移动至平面外的点P．
(1)若点F是靠近P的四等分点，求证：平面；
(2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形得出线线平行，进而应用线面平行判定定理证明即可；
（2）先应用面面垂直性质定理得出平面，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，进而应用二面角公式计算求解余弦值，最后结合同角三角函数关系求值.
【详解】（1）在线段上取靠近点P的四等分点G，连接与．
∵且E为的中点，∴．
由和得及，
则和．
又∵，所以和，
从而和，所以四边形为平行四边形，则．
又平面，平面，
所以平面．
（2）由得．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，，
所以，．
设平面的法向量为，则，
即，令，则，，可取．
又平面，可取平面的一个法向量为，
则．
设平面与平面所成二面角为，则．
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
4．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法证明即可.
（2）求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【详解】（1）在四棱锥中，平面，，
则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
从而，设平面的法向量，
则，取，得，
又，所以，即，所以平面；
（2）设平面的法向量，，
则，取，得，
于是，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
5．（24-25高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点．
(1)用几何法证明：平面；
(2)当点Q为棱的中点时，求
①四棱锥的体积；
②直线与平面所成角的正弦值；
(3)当二面角的余弦值为时，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①；②；
(3).
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得.
（2）①由（1）中信息，求出点Q到平面的距离，再求出锥体的体积；②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解.
（3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置.
【详解】（1）在四棱锥中，由，
得，，则，
又，且平面，所以平面.
（2）①在四边形中，，则，而，
则梯形的面积，由点Q为棱的中点，
得点Q到平面的距离为，所以四棱锥的体积.
②由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由为棱的中点，得，
，设平面的法向量，
则，取，得，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）知，
设，则，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量为，由，令，得，
由二面角的余弦值为，得，
即，整理得，解得，
所以．
6．（24-25高二下·陕西西安·月考）在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC.
(1)证明：为PD的中点；
(2)若，二面角的余弦值为，求PA的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】面面角的向量求法、已知面面角求其他量、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
【分析】（1）根据线面平行的性质定理，结合中位线定理，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）证明：连接BD交AC于，连接OE，
因为底面ABCD是菱形，所以是BD中点，
又平面，平面PBD，平面平面，所以，
故为PD中点.
（2）取的中点，连接，易知，则平面，
在菱形中，易知，由，，则，，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
设，则，，，，
由为的中点，则，
取，，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，所以平面的一个法向量；
设平面的法向量，则，
令，则，，所以平面的一个法向量，
设二面角的平面角大小为，则，
即，解得.
序号
题型
重难点题型1
求点到点的距离
重难点题型2
求点到平面的距离
重难点题型3
求平行平面之间的距离
重难点题型4
求线线角
重难点题型5
求线面角
重难点题型6
求二面角