新高考数学二轮复习专题突破练习微专题19 立体几何中的折叠与探索问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练习微专题19 立体几何中的折叠与探索问题（2份，原卷版+解析版）

一、高考真题
1.(2025·新高考Ⅱ卷)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角为60°.
(1)证明:A'B∥平面CD'F;
(2)求平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值.
2.(2023·新高考Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
(1)证明:B2C2∥A2D2;
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
二．典型例题
1.折叠问题
例1 (2025·宜宾二诊)如图,在平面四边形ABCD中,△ABC是等边三角形,△ADC是等腰三角形,且∠ADC=90°,现将△ACD沿AC翻折至△PAC,形成三棱锥P-ABC,其中P为动点.
(1)若AB=BP,求证:平面APC⊥平面ABC;
(2)若∠PAB=45°,记△ABC的重心为G,若AG=GE,求PE与平面PAB所成角的正弦值;
(3)求平面ABC与平面PBC夹角正切的最大值.
易错提醒 注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形,弄清楚变与不变的元素后,再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.
训练1 (2025·北京东城区模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,E,F分别为AB,CD的中点,沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置,连接MB,NC.已知BE=EF=2,CF=3,∠CFN=2π3,P为射线FN上一点.
(1)若NP=23NF,证明:EP∥平面BCNM.
(2)若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为25,求PF.
2.探索问题
（1）、探索线面位置关系
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3.M是AB的中点,N是B1C1的中点,P是BC1与B1C的交点.在线段A1N上是否存在点Q,使得PQ∥平面A1CM?
（2）、探索与空间角有关的问题
例3 (2025·鹰潭模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,∠A1AB=∠A1AC=2π3.
(1)求证:BC⊥AA1;
(2)侧棱CC1上是否存在点D,使得直线AD与平面A1BC所成角的正弦值为7014?若存在,确定点D的位置;若不存在,说明理由.
规律方法 解决立体几何探索问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立,再在这个前提下进行推理,如果能推出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,并可进一步证明,否则假设不成立.
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时,一定要注意三点共线的应用.
训练2 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,G为棱DD1上的动点.
(1)求证:B,E,D1,F四点共面;
(2)是否存在点G,使得平面GEF⊥平面BEF?若存在,求出DG的长;若不存在,说明理由.
【精准强化练习】
1.(2025·上海浦东二模)如图,四边形ABCD为长方形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,AD=3.
(1)若E,F分别是PB,CD的中点,求证:EF∥平面PAD;
(2)边BC上是否存在点G,使得直线PG与平面PAD所成的角的大小为30°?若存在,求BG长;若不存在,说明理由.
2.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,侧面PAB是等边三角形,BC=2AB,
∠ABC=60°,PB⊥AC.
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)设Q为侧棱PD上一点,四边形BEQF是过B,Q两点的截面,且AC∥平面BEQF,是否存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
3.(2025·鞍山二模)如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=π2,点B1在底面ABC的射影恰好是BC的中点O,B1B=BC=CA=2.
(1)证明:BC1⊥AB1;
(2)将△A1B1C1沿A1C1翻折至△A1B0C1,使得点B0在平面AA1C1C上,求平面AB1B0与平面AB1C1夹角的余弦值.
4.(2025·临沂模拟)在△NBC中,∠B=90°,AD∥BC,NA=CD=2AB=2,如图将△NAD沿AD翻折至
△PAD.
(1)证明:平面PBC⊥平面PAB;
(2)若二面角P-AD-B大小为120°;
①求PA与平面PBC所成角的正弦值;
②在线段PD上是否存在点E,使得平面ABE与平面PDC所成角的余弦值为15?若存在,确定点E的位置;若不存在,说明理由.