新高考数学二轮复习三模试题分类汇编练习专题07 立体几何（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习三模试题分类汇编练习专题07 立体几何（2份，原卷版+解析版），共7页。
题型01 空间中的点线面位置关系
题型02 空间几何体的表面积与体积
题型03 有关几何体外接球、内切求的问题
题型04 有关立体几何中的最值与轨迹问题
题型05 有关空间线线角与线面角的问题
题型06 有关空间二面角的问题
题型01
空间几的点线面位置关系
1．（多选）（2025·四川省凉山州·三模）已知直线和平面，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（多选）（2025年山西省吕梁市三模）已知在正四面体中，M，N分别是的中点，平面与直线都平行，则（ ）
A． B．
C．直线与平面所成角为 D．平面与平面的夹角的余弦值为
3．（2025·四安徽合肥市·三模）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则（ ）
A．α∥β且∥αB．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于D．α与β相交，且交线平行于
4．（多选）（2025·辽宁沈阳·三模）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（ ）
A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形
B．鳖臑的四个面均为直角三角形
C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍
D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
5．（2025年天津市滨海新区三模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
6．（多选）（2025·河南省鹤壁市·三模）如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ）
A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．平面
D．
7．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）如图，在三棱锥中，是正三角形，，，，点为的重心.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，求二面角的平面角的正切值.
题型02
空间几何体的表面积与体积
1．（2025年山东威海市三模）已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1:2:3，高为4，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川省凉山州·三模）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥的高为（ ）
A．B．1C．2D．
3．（2025·四川省成都市·三模）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ）
A．108B．112C．120D．124
4．（2025·山东省枣庄市·三模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．D．2
5．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（ ）（取）
A．8cmB．12cmC．16cmD．24cm
6．（多选）（2025·四川省宜宾市·三模）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则（ ）
A．该石凳的表面积为
B．该石凳的体积为
C．直线与的夹角为
D．平面
7．（2025·陕西省安康市·三模）如图1，在直角梯形中，，为线段上的一点，，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体，如图2，则六面体的体积为（ ）

A．B．C．D．
8．（2025年天津市滨海新区三模）如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（ ）
A．B．C．D．20
9．（2025年山东省泰安市三模）已知正三棱柱的表面积为，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（ ）
A．3B．C．D．
10．（2025年江苏如皋市三模）已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·河南省安阳市·三模）已知圆锥的顶点为V，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成的角为，若圆锥的侧面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（多选）（2025·河北省张家口·三模）在三棱锥中，，，为等边三角形，侧面底面，为棱的中点，，，三棱锥的体积为，则（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的外接球的表面积为
C．若平面，则四棱锥的体积为
D．若，与平面所成角相等，则
13．（2025·四川省攀枝花·三模）已知母线长为10的圆台的表面积为，且其上底面的半径与下底面的半径R满足，则 ．
14．（2025·河南省焦作市·三模）我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为 ．
15．（2025·四川省绵阳市·三模）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.

(1)证明：四点共面；
(2)求的长；
(3)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
16．（2025年山西省吕梁市三模）如图，在多面体中，四边形是边长为4的正方形，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，当平面与平面的夹角为时，求该多面体的体积．
题型03
有关几何体外接球、内切求的问题
1．（2025·四川省德阳市·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
2．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽省安庆市·三模）正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025年江苏如皋市三模）已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为 ．
6．（2025年广东省广州市天河区三模）已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为 ．
7．（2025年山西省吕梁市三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是 ．
8．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为 .
9．（2025·湖南省永州市·三模）已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为 .
10．（2025·四川省攀枝花·三模）如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求四面体外接球的体积；
(3)求的长．
题型04
有关立体几何中的最值与轨迹问题
1．（2025·重庆市·三模）已知长方体中，，，E为的中点.若长方体表面上的动点P满足，则动点P的轨迹围成面积为（ ）
A．24B．18C．D．12
2．（2025年河北石家庄三模）在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子M，N分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时a的取值为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2025·山东省枣庄市·三模）已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．点的轨迹长度为
C．线段长度的最小值为D．的最小值为
4．（多选）（2025年河北石家庄三模）已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则平面
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
5．（多选）（2025·安徽省安庆市·三模）如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与直线所成角的最小值为60°
D．若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为
7．（多选）（2025年江西省萍乡市三模）已知正方体中，动点、分别在棱、（不含端点）上，则（ ）
A．
B．若、分别为所在棱的中点，则平面将正方体的体积平分
C．不存在点，使得点与点到平面的距离相等
D．当由向运动时，平面与正方体形成的截面面积逐渐增大
8．（多选）（2025年江西九江市三模）如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）．则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点，使得平面 B．存在点，使得
C．该五面体的体积为 D．若，则点的轨迹长度为
9．（2025年山东威海市三模）在三棱锥中，平面，．若为侧面内的动点，，当该三棱锥的体积最大时，的轨迹与所围成区域的面积为 ．
10．（2025年山东省泰安市三模）如图，四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，且，，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥体积的最大值；
(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值.
11．（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V．
(1)求证：平面；
(2)当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值；
(3)若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值．
题型05
有关空间线线角与线面角的问题
1．（多选）（2025·河南省焦作市·三模）在三棱锥中，已知为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．长度的取值范围是
B．直线与平面所成的角为
C．若，则，所成的角为
D．若，则三棱锥外接球的表面积为
2．（2025年广东省广州市天河区三模）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且．
(1)求证：；
(2)若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
3．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）如图，在四棱柱中，底面为菱形，，AC与BD的交点为O，．
(1)求证：；
(2)若，，，求与平面所成角的余弦值．
4．（2025·山东省枣庄市·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值.
5．（2025·湖南省永州市·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的等边三角形，F为BC的中点.
(1)证明：；
(2)若直线AP与DF的夹角的余弦值为，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
6．（2025年江西九江市三模）如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点，平面与平面．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成的角．
7．（2025·四川省成都市·三模）如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得.
(1)证明：平面平面；
(2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
8．（2025·安徽省安庆市·三模）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
9．（2025·湖南省郴州市·三模）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.
(1)求点的坐标.
(2)若平面，证明：平面平面.
(3)已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.
题型06
有关空间二面角的问题
1．（2025·陕西省安康市·三模）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是线段的中点．

(1)证明：平面．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
2．（2025·重庆市·三模）如图，三棱台中，，，，，，在底面内的射影为中点.
(1)求三棱台的体积；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
3．（2025年湖北武汉市武昌区三模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，
(1)证明：平面；
(2)求的长；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
4．（2025·河南省安阳市·三模）如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，，点E在直线上，且.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
4．（2025·河南省焦作市·三模）如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的大小．
5．（2025年江西省萍乡市三模）已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点.
(1)证明：；
(2)若M为中点，求二面角的正弦值；
(3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值.
6．如图，在正三棱柱中，，，且，满足，，过，，三点的平面与棱交于点，若.
(1)求的值；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求平面与平面夹角的正切值.
7．（2025年江苏如皋市三模）如图，在四棱锥中，，，且，分别是的中点．

(1)求证：；
(2)若平面平面，直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
8．（2025年山东威海市三模）如图，在直平行六面体中，点在棱上．
(1)若平面，证明：；
(2)若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求．