新高考数学二轮复习数学文化与融合练习专题09 概率与统计（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习数学文化与融合练习专题09 概率与统计（2份，原卷版+解析版），共7页。试卷主要包含了抽样，用样本估计总体，百分位数定义，样本的数字特征，标准差和方差定义，变量间的相关关系，线性回归，非线性回归等内容，欢迎下载使用。
背景1：洛书古称龟书，传说有神鱼出于洛水，其甲壳上有此图案，由表示1-9的圈点组成，数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，即九宫图
背景2：我国古代学者余道安在他著的《海潮图序》一书中说：“潮之涨落，海非增减，盖月之所临，则之往从之”．哲学家王充在《论衡》中写道：“涛之起也，随月盛衰．”指出了潮汐跟月亮有关系．
背景3：在数学史上记载了众多科学家根据生活中的一些数学问题制作了许多经典的数学模型，如研究随机现象规律的“高尔顿钉板”模型.某游乐场根据“高尔顿钉板”模型
背景4：托马斯·贝叶斯（Thmas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.
背景5：Pissn分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Pissn分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Pissn分布的均值．
概率与统计归纳总结：
1.抽样
抽样调查
（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．
简单随机抽样定义
一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．
②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．
抽签法与随机数法的适用情况
抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．
简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．
④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．
只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
分层抽样定义
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．
分层抽样问题类型及解题思路
①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本数量,各层个体数量)”
2.用样本估计总体
频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
②eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．
频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
3.百分位数定义
一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．
计算一组个数据的的第百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算．
③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
4.样本的数字特征
众数、中位数、平均数
①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．
5.标准差和方差定义
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．
②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．
数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
平均数、方差的性质
如果数据的平均数为，方差为，那么
①一组新数据的平均数为，方差是．
②一组新数据的平均数为，方差是．
③一组新数据的平均数为，方差是．
6.变量间的相关关系
变量之间的相关关系
当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关系．由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用．我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断．
散点图
将样本中的个数据点描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系．
（1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图（1）所示；
（2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图（2）所示．
相关系数
若相应于变量的取值，变量的观测值为，则变量与的相关系数，通常用来衡量与之间的线性关系的强弱，的范围为．
（1）当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关．
（2）越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当时，所有数据点都在一条直线上．
（3）通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．
7.线性回归
线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法．
对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为
其中，，，（，）称为样本点的中心．
残差分析
对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
残差图
通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适．
通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适．
相关指数
用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：．
越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．
8.非线性回归
建立非线性回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；
（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；
（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
（6）消去新元，得到非线性回归方程；
（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
9.样本空间和随机事件
随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
随机事件、确定事件
（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．
10.两个事件的关系和运算
事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
11.互斥事件与对立事件
互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
12.概率与频率
（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
13.古典概型
定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率．
14.概率的基本性质
（1）对于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．
（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．
推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．
（5）概率的单调性：若，则．
（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．
15.条件概率
定义
一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
（3）如果与互斥，则．
16.相互独立
相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
事件的独立性
（1）事件与相互独立的充要条件是．
（2）当时，与独立的充要条件是．
（3）如果，与独立，则成立．
17.全概率公式
（1）；
（2）定理:若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
18.离散型随机变量的分布列
随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
19.离散型随机变量的均值与方差
均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
20.两点分布
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
21.n次独立重复试验
定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
22.二项分布
定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
23.超几何分布
定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
24.正态曲线
定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲 乙
1 借助数学文化考查古典概型
洛书古称龟书，传说有神鱼出于洛水，其甲壳上有此图案，由表示1-9的圈点组成，数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，即九宫图，如图，在5个阳数中随机选取3个，则3个数的和为15的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】5个阳数为1，3，5，7，9，从5个数中随机选取3个数，所有基本事件有：
，，，，，
，，，，，共10个，
事件“3个数的和为15”所包含的基本事件有，，共2个，
因此，所求概率
故选：A
变式1.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数含2个数字5”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：1和5，所以共有种情况，
其中四位数含2个数字5的有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6种，
所以，
故选：C
变式2.魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克･艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从所有的小正方体中任取一个，恰好抽到中心方块的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个，
所以恰好抽到的是中心方块的概率是．
故选：A.
2借助数学文化考查散点图
我国古代学者余道安在他著的《海潮图序》一书中说：“潮之涨落，海非增减，盖月之所临，则之往从之”．哲学家王充在《论衡》中写道：“涛之起也，随月盛衰．”指出了潮汐跟月亮有关系．到了17世纪80年代，英国科学家牛顿发现了万有引力定律之后，提出了潮汐是由于月亮和太阳对海水的吸引力引起的假设，科学地解释了产生潮汐的原因．船只在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下图是某港口某天记录的时刻（x轴）与水深（y轴）关系的散点图，若某货船需要的安全水深为5米，则下列说法正确的是（ ）
A．该船在凌晨3点零6分驶入航道，靠近码头，9点18分返回海洋或15点30分驶入航道，靠近码头，21点42分返回海洋
B．该船这一天能进入航道，靠近码头的时间可以是0时到凌晨6点12分或12时24分到18点36分
C．海水涨落潮周期是12小时
D．该船最多在码头停留时间不能超过6小时
【答案】B
【解析】由图可知一天内在凌晨到6点12分水深超过5米，在12点24分到18点36分水深超过5米，故A错误，B正确；
涨落潮周期为12.4小时即12小时24分钟，故C错误；
海水水深保持在5米以上的时间为小时，故D错误．
故选：B．
变式1.某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（ ）
A．肺活量B．视力C．肢体柔韧度D．BMI指数
【答案】A
【解析】对于A，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A正确；
对于B，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B错误；
对于C，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C错误；
对于D，BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D错误.
故选：A
变式2.鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B．花瓣长度和花萼长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，
把代入可得，C选项正确；
由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误
故选：C
3借助数学文化考查n次独立重复试验
在数学史上记载了众多科学家根据生活中的一些数学问题制作了许多经典的数学模型，如研究随机现象规律的“高尔顿钉板”模型.某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿作了一款如图的游戏机，玩家投入一枚游戏币后，机器从上方随机放下一颗半径适当的小球，假设小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，小球第一次与第2层的一障碍物随机（图中圆点）碰撞且碰撞下落过程中等可能地从左边或右边继续下落，于是又碰到下一层的一障碍物，如此继续下去，最后落入编号①，②，…，⑧的槽内.设小球落入编号②的槽内概率为，落入编号⑥的槽内概率为，则（ ）
A．B．C．D．，大小关系不定
【答案】B
【解析】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，
，
，
所以.
故选：B
变式1.（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（左图）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第n行所有数之和为；右图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝腺落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第n行第m个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，
小球从第6行第m个缝隙落下，则6次碰撞有次向右，
其概率为，，
于是得，，，，
所以选项A，D不可能，选项B，C可能.
故选：BC
变式2.小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．随着n的增大而增大
【答案】B
【解析】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局，
因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布，
由二项分布的概率公式可得赢局的概率为，
赢局的概率为，
，
赢局的概率为，
小王赢的概率为
有
，
有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误；
由，
又由，
可得，可知D选项正确.
故选：B
4借助数学文化考查贝叶斯公式
托马斯·贝叶斯（Thmas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
故选：C
变式1.第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ．
【答案】 /0.4
【解析】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，
则，，
故，
即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；
设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，
则，，
，，
所以
，
所以，
即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.
故答案为：；
变式2.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 .
【答案】
【解析】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，
事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”，
则.
由全概率公式可得小明这一天迟到的概率：
.
解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得
他自驾去上班的概率是.
解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率.
故答案为：；.
5借助数学文化考查二项分布与Pissn分布的联系
Pissn分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Pissn分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Pissn分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Pissn分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题， ，，此时Pissn分布满足二项分布的近似的条件，此时，故不致死的概率为，故致死的概率为
故选：A
变式1.为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布.《指南》建议18-64岁的成年人每周进行150-300分钟中等强度或75-150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”）.经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18-64岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的18-64岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立.
(1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；
(2)若抽取的18-64岁的市民数X不超过n的概率大于，求整数n的最小值．
【答案】（1）;（2）7
【解析】（1）依题意，采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，
因抽取的市民只有 “是达标成年人”或“不是达标成年人”两个结果，且抽查结果相互独立，故这是个重伯努利概型.
故“这一天采访刚好到第五位可停止当天采访”的概率为；
（2）依题意，可列出随机变量的分布列：
于是，
化简得，，
即（*）
不妨记
则
由①-②，可得，，
即，
故得，，代入（*）整理得，.
设，
由可知，是递减数列，
又，而，故整数n的最小值为7.
变式2.泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为 .
【答案】
【解析】依题意，，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时，则，
于是，
所以次品率小于的概率约为.
故答案为: .
变式3.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求的值．（结果保留位整数）
(2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数）
(3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：①当时，令，则．
②当，，，，．
【答案】（1）;（2）;（3）答案见解析
【解析】（1）依题意，令，则，
所以可得，，
，
又因为，则，解得；
（2）由（1）可得，
设最录取分数为，则，
，，所以，
即最低录取分数线为分．
（3）考生甲的成绩为分分，
所以甲能被录取概率为，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有，
即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪.
1．概率论起源于16-17世纪对赌博问题的研究，概率的要义在17世纪中叶由法国数学家帕斯卡与费马的讨论才明确．当时有个叫梅罗骑士因赌注分配的问题写信求教于帕斯卡．背景：“甲乙两人赌注共有144收金，赌局分为五局三胜制，谁先赢得3局，即可获得全部赌注，现已知在甲获得2局胜乙获得1局胜利时，因某种原因赌局被中止了，给甲乙俩人怎样分配赌注才合理"，已知甲乙每局获胜的概率均为0.5，且每局输赢相互独立．你认为乙应该获得多少妆金才合理（ ）
A．24B．36C．48D．72
【答案】B
【解析】因为甲获得2局胜乙获得1局胜利，
所以根据题意可知乙第四五局均胜，乙才能胜出，
因为甲乙每局获胜的概率均为0.5，
所以乙胜出的概率为，
所以乙应该获得的妆金为，
故选：B
2．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于30的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为一共四类情况；
第一类：，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；
第二类：，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；
第三类：，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；
第四类：，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，
综上可知：所有的两位数有:14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，则大于30的有32，36，41，63，67，72，76，81共计8个，
故概率为，
故选:C
3．元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为次，
结合独立重复实验的概率计算公式，可得：
当两次摘完时，可得概率为；
当三次摘完时，可得概率为；
当四次摘完时，可得概率为，则.
故选：D.
4．（多选）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日．扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．在一个袋中装有大小一样的个豆沙粽，个咸肉粽，现从中任取个粽子，设取出的个粽子中咸肉粽的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布D．
【答案】ACD
【解析】由题意知，随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；
，，
所以，故AD正确．
故选：ACD．
5．（多选）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（ ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大
【答案】AC
【解析】因为正态分布密度函数为，
所以，，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；
根据正态曲线的特征可知函数关于轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，
随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大.故D错误．
故选：AC.
6．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 .
【答案】
【解析】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；
记取0，1，2，3的概率分别为，，，，
推导的分布列：
，，，
则
，
则，
故
给合，可知.
故答案为： ;.
7.2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．已知第一组有10人．

(1)根据频率分布直方图，估计这人的第60百分位数（精确到0.1）；
(2)现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．
①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，估计这人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差．
【答案】（1）;（2）①;②平均数为38，方差约为10.
【解析】（1）设第60百分位数为，
因为，，
所以位于第三组：内，
所以.
（2）①由题意得，第四组和第五组抽取人数之比为，
即第四组4人，记为A，B，C，甲，第五组2，记为D，乙，
对应的样本空间为：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲， CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15个样本点，
设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，则有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9个样本点.
所以；
②设第四组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄平均数为，方差为，
第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为.
据此估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄的平均数为38，方差约为10.
8.直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收．我国南方某蜜桔种植县通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱，已知最近5天单日直播总时长x（即所有主播的直播时长之和，单位：小时）与蜜桔的单目销售量y（单位：百箱）之间的统计数据如下表：
可用线性回归模型拟合y与x之间的关系．
(1)试求变量y与x的线性回归方程；
(2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？
(3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本．该蜜桔平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元．现有甲、乙两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为元/箱，且每箱坏果的个数X服从；若采用乙款包装箱，成本为元/箱，且每箱坏果的个数Y服从．请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得的利润更大？
附：，，，．
【答案】（1）;（2）9;（3）当时，采用两款包装箱获得的利润一样；
当时，采用甲款包装箱获得的利润更大；
当时，采用乙款包装箱获得的利润更大.
【解析】（1）由题意得，，
又，，
所以，
所以，
所以经验回归方程为.
（2）根据题意得:
，
解得，又，
所以至少要请位主播进行直播；
（3）对于乙款包装箱，
由，所以.
设采用甲款包装箱每箱获得的利润的数学期望为，
则，
设采用乙款包装箱每箱获得的利润的数学期望为
则，
令，解得.
因为，所以令解得，
令解得.
综上所述，当时，采用两款包装箱获得的利润一样；
当时，采用甲款包装箱获得的利润更大；
当时，采用乙款包装箱获得的利润更大.
9.如图：一张的棋盘，横行编号：竖排编号.一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从移动到或.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为.

(1)①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置.
②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得分，设得分为，求的分布列和数学期望.
(2)现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动次后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式.
【答案】（1）①，，;②答案见解析;（2）
【解析】（1）①两次移动的所有路径可能如下：
；；；.
所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有：，，.
②棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：；
棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：；
棋子两次移动后，最终停留在时，得3分，对应概率为：.
所以，.
所以最终得分的分布列为：
所以.
（2）将棋盘按如图所示编号：
将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做；从8可以连接3或1，记做；然后将它们串联起来：.依次类推，可以串联处环状回路：，如下图所示：
则棋子等价于在这个环状回路中运动.
问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为.
为了转化问题，现规定：“两棋子之间的最短节点数”，例如：
特别规定两棋子重合时，.并统计四种运动模式下会如何变化.
假设3号棋子顺时针走过个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过个节点也可以与之重合.
为了简化问题，不妨假设，于是有下表：
设“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
则有：，
所以，
显然：，，所以，
所以.
10．无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．
(1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．
(2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．
(3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值．
结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布；
结论二：若随机变量，则，．
【答案】（1）;（2）（3）11
【解析】（1）由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为，
故从该校任选2名学生得分不相同的概率为.
（2）因为.
所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为
（3）易知，设，
根据结论一，知.
再根据结论二，知
由条件知，
所以，解得，
所以正整数n的最小值为11.
0
1
…
…
…
…
0
1
…
…
2
3
4
5
直播总时长x
8
9
11
12
15
单日销售量y
67
63
80
80
85
1
3
（顺，顺）
（顺，逆）
（逆，顺）
（逆，逆）
对无人驾驶的态度
支持
中立
反对
频数
48
32
16