新高考数学二轮复习一模试题分类汇编练习专题03 导数及其应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习一模试题分类汇编练习专题03 导数及其应用（2份，原卷版+解析版），共7页。试卷主要包含了已知 曲线在点处的切线为.，设函数，已知函数.，设函数.，已知函数，其中.，已知为自然对数的底数，函数满足等内容，欢迎下载使用。
题型01切线、单调性及最值问题
题型02恒成立存在问题
题型03证明不等式
题型04双变量问题
题型05函数零点问题
题型06利用导数比较大小及构造解不等式
题型01
切线、单调性及最值问题
1．（2025·天津武清·一模）已知 曲线在点处的切线为.
(1)当 时，求直线 的方程；
(2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且；
(3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围.
2．（2025·福建泉州·一模）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，，求的取值范围．
3．（2025·山东泰安·一模）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·黑龙江·一模）设函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若为增函数，求的取值范围.
6．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；
(2)讨论的单调性.
9．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（ ）
A．B．C．1D．2
10．（2025·湖北·一模）已知为自然对数的底数，函数满足：，，函数，
(1)求函数的极值点和极值；
(2)求解析式；
(3)若在上单调递增，求实数的最大值；
(4)求证：，.
题型02
恒成立存在问题
1．（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
2．（2025·江西·一模）已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为 .

3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设是的两个极值点，
①求证：；
②求证：.
4．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是 ．
5．（2025·山东淄博·一模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：时，；
(3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．
6．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
7．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若有2个零点，则
B．当时，是增函数
C．当时，恒成立
D．当时，若是的零点，则
8．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
9．（2025·江西上饶·一模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
(2)若是的极小值点，求的取值范围．
10．（2025·浙江·一模）已知函数，其中.
(1)若函数是偶函数，求；
(2)当时，讨论函数在上的零点个数；
(3)若，，求的取值范围.
题型03
证明不等式
1．（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列的前项和为D．
2．（2025·四川巴中·一模）已知函数
(1)求函数的极值；
(2)求证：当时，；
(3)若，其中，讨论函数的零点个数．
3．（2025·安徽滁州·一模）已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（ ）
A．B．
C．是的极小值点D．
4．（2025·江西南昌·一模）已知．
(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若有极大值m，求证：
5．（2025·北京延庆·一模）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)若，且，证明：.
6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知.
(1)求证：当时，；
(2)设.
（ⅰ）求证：数列为递减数列；
（ⅱ）求证：.
7．（2025·福建厦门·一模）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是增函数，求a的取值范围；
(3)当时，设为的极小值点，证明：．
8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，证明：
9．（2025·广东·一模）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题：
(1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：；
(2)是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（注：e为自然对数的底数）
10．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
题型04
双变量问题
1．（2025·山东聊城·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围.
2．（2025·陕西西安·一模）已知函数，.
(1)记的导数为，求的值，其中；
(2)若，恒有，求a的取值范围.
3．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为
(1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值;
(2)讨论方程在上实数解的个数;
(3)若，设函数，若，求的取值范围.
题型05
函数零点问题
1．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 .
2．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
3．（2025·四川内江·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上是增函数
B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．若在上为减函数，则
D．当时，若函数有且只有一个零点，则
4．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论：
①，使得关于直线对称；
②，使得存在最小值；
③，在上单调递减；
④，使得有三个零点；
其中所有正确的结论的序号是 .
5．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·云南曲靖·一模）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求的取值范围．
7．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围;
(2)若，求证：有且只有1个零点.
题型06
利用导数比较大小及构造解不等式
1．（2025·黑龙江·一模）已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·黑龙江·一模）已知函数是偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
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