2025-2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高一（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则∁UA中元素的个数为（ ）
A. 0B. 3C. 5D. 8
2.不等式≥2解集是（ ）
A. {x|-2≤x≤1}B. {x|x≤-2}C. {x|-2≤x＜1}D. {x|x＞1}
3.已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数m=（ ）
A. 2或-1B. -1C. 4D. 2
4.已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量在向量上的投影向量为，且，则=（ ）
A. -18B. -12C. 6D. 12
6.设z=2-i（其中i为虚数单位），则=（ ）
A. B. C. D.
7.如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形A′B′C′D′，若A′B′=6，C′D′=4，则下列说法正确的是（ ）
A. A′D′=2
B. AB=3
C. 四边形ABCD的周长为
D. 四边形ABCD的面积为
8.已知圆柱O1O2的底面半径为r,高为2r,上、下底面圆的圆心分别是O1，O2，点O为线段O2O1的延长线上一点，圆锥OO2的底面为圆柱的下底面，顶点为O.若圆锥OO2的表面积与圆柱O1O2的表面积相等，则圆锥OO2与圆柱O1O2的体积的比值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知不重合直线a,l,不重合平面α，β，γ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若l∥α，l⊥β，则α⊥β
B. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ
D. 若a∥α，a∥β，则α∥β
10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（ ）
A. p1≥p2B. p2＞10p3C. p3=100p0D. p1≤100p2
11.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A. 直径为0.99m的球体B. 所有棱长均为1.4m的四面体
C. 底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D. 底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,则这个圆台的母线长为 cm,该圆台的轴截面的面积为 cm2.
13.设a,b＞0，a+=1，则b+的最小值为 .
14.如图，在△ABC中，AD=2DB，，BE与CD相交于点P，若（x,y∈R），则x+y= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求角B的大小；
（2）若b=7，a+c=8，a＜c,
①求a,c的值；
②求sin（2A+C）的值.
16.(本小题15分)
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）在上的最大值和最小值；
（3）在（2）条件下，若关于x的方程g（x）-m=0在上有两个不等实根，求实数m的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）设二面角F-BE-D为α，求sinα.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，，.
（1）求A；
（2）若，求△ABC的周长最大值.
（3）若△ABC为锐角三角形，其外接圆圆心为O，.记△OAC和△OBC的面积分别为S1，S2，求S1-S2的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且D1M=3A1M.
（1）求证：D1G∥平面DBFE；
（2）已知点N是棱A1B1上的一点，且B1N=3A1N，求证：平面PMN∥平面DBFE.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】13
132

13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
利用正弦定理可得：，
即2csBsin（B+C）+sinA=0，
因为sin（B+C）=sinA≠0，所以2csB+1=0，即，
又B∈（0，π），可得．
（2）①由余弦定理及已知可得：，
即（a+c）2-ac=49，又因为a+c=8，所以ac=15，
联立或（舍）；
②由正弦定理可知：
因为a＜c,则A＜C，故A为锐角，
故csA=，
所以sin（2A+C）=sin（A+A+C）=sin（A+）
=sinAcs+sincsA
==．
16.【答案】解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象可知A=2，
∵，
∴T=π，，
又，
∴，k∈Z，解得 ，k∈Z，
由，可得，
∴；
（2）将f（x）向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，
由，可得，
易知函数y=2sint在上单调递减，在上单调递增，
可得，，即；
（3）由（2）可得y=2sint在上单调递减，在上单调递增，
可得，，，
因为关于x的方程g（x）-m=0在上有两个不等实根，
即当y=g（x）与y=m有两个公共点，
由正弦函数的性质可知．
17.【答案】证明：因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥DE，
因为BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，
所以AC⊥平面BDE
18.【答案】
19.【答案】连接D1C、GC分别交DE、DB于点H、O，连接HO，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1E∥DC且，
则，，
所以，所以HO∥D1G，
又HO⊂平面DBFE，D1G⊄平面DBFE，
所以D1G∥平面DBFE 连接D1B1，因为点E，F分别为棱D1C1，B1C1的中点，则EF∥D1B1，

因为D1M=3A1M，B1N=3A1N，
则，
可得MN∥D1B1，则MN∥EF，
且MN⊄平面DBFE，EF⊂平面DBFE，
则MN∥平面DBFE，
取A1D1的中点Q，连接AQ，QF，
因为P，M分别为AA1，A1Q的中点，Q，F分别为A1D1，B1C1的中点，
则QF∥A1B1，PM∥AQ，QF=A1B1，
且AB∥A1B1，AB=A1B1，则QF∥AB，QF=AB，
可知ABFQ为平行四边形，则AQ∥BF，可得PM∥BF，
且PM⊄平面DBFE，BF⊂平面DBFE，
则PM∥平面DBFE，
又因为MN∩PM=M，MN，PM⊂平面PMN，
所以平面PMN∥平面DBFE 声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40