2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市望城一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合S={s|s=2π5n+π3,n∈Z}，T={t|t=2π15n+π5,n∈Z}，则S∪T( )
A. ⌀B. SC. TD. Z
2.已知复数z=(3+2i)(12+ 32i)，则|z|=( )
A. 11B. 2 3C. 13D. 4
3.某学校高一、高二、高三年级的人数之比为2：3：2，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，高三年级抽取的人数为20人，则n=( )
A. 40B. 50C. 60D. 70
4.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若m//n，n//α，则m//αB. 若α⊥β，m⊂β，则m⊥α
C. 若m⊥n，n⊥α，则m//αD. 若α//β，m⊂β，则m//α
5.已知π40，a≠1，若函数f(x)=lga(12ax2−x)在x∈[1,+∞)单调递增，则实数a的取值范围是______．
13.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A1B1=2，AB=6，若该四棱台的体积为52 33，则该四棱台的外接球表面积为______．
14.甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷m+1次，乙掷m次(m≥5,m∈N∗)，设甲投掷出现偶数点的次数为X，乙投掷出现奇数点的次数为Y，则P(X>Y)=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，a+c=15，sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB．
(I)求∠C；
(Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：csB=− 32；
条件②：b=3；
条件③：csA=−17．
注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
16.(本小题15分)
2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时.安全返回天和核心舱.为了弘扬航天精神，某校组织高一学生进行了航天知识能力测试.现随机抽取100名学生的测试成绩(单位：分)，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；
(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格(60分以下)的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50)，[50,60)各一人的概率．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=tan(ωx+π3)(ω>0)．
(1)若ω=2，求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间(−π3,π6)上有定义．
(i)求ω的最大值；
(ⅱ)若曲线y=f(x)至少有两个对称中心在区间(0,π)上，求ω的取值范围．
18.(本小题17分)
在四棱锥A−BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD= 2，AB=AC．
(1)若点P是线段AD上任意一点，且平面BCP交棱AE于点Q，求证：PQ//DE；
(2)①证明：AD⊥CE；
②设侧面ABC为等边三角形，求二面角C−AD−E的余弦值．
19.(本小题17分)
若函数f(x)的定义域为D，∀x∈D都有f(m−x)+f(m+x)=2n，则称函数f(x)为中心对称函数，其中(m,n)为函数f(x)的对称中心．
(1)已知定义R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，且当x≥2时，f(x)=x2，求f(0)，f(1)的值；
(2)探究函数g(x)=x33−x2是否为中心对称函数.若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由．
(3)运用第(2)问的结论，求S(k)=g(−2k+1)+g(−2k+3)⋯+g(−3)+g(−1)+g(1)+g(3)+g(5)+⋯+g(2k−1)+g(2k+1)的值，其中k∈N+．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.D
5.B
6.A
7.C
8.A
9.ABD
10.AC
11.BCD
12.(2,+∞)
13.358π3
14.12
15(Ⅰ)由正弦定理及sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，
可得a2+b2=c2+ab，由余弦定理得csC=12，
由于∠C∈(0,π)，所以∠C=π3；
(Ⅱ)选条件①：csB=− 32，且B是△ABC的内角，因此B=5π6，
根据据三角形内角和定理，则A+5π6+π3=π，化简得：A=π−5π6−π3=π−7π6=−π6，
不符合三角形条件；
选条件②：b=3，结合a2+b2=c2+ab，a+c=15，解得a=8，c=7，
所以SΔABC=12absinC=6 3；
选条件③：csA=−17，由sin2A+cs2A=1，可得sinA=4 37，
由正弦定理可得a4 37=c 32，结合a+c=15，可得a=8，c=7，
由sinB=sin(A+C)=3 314，所以SΔABC=12acsinB=6 3．
16.(1)由题意可得(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；
(2)估计本次航天知识能力测试成绩的平均数为：
(0.010×45+0.015×55+0.015×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)×10=71；
(3)因为[40,50)，[50,60)的频率比为0.010：0.015=2：3，
设抽取的5人中[40,50)有2人为a，b、[50,60)有3人为A，B，C，
任抽2人有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10种情况，
其中分数在[40,50)，[50,60)各一人有aA，aB，aC，bA，bB，bC，共6种情况，
故所求为610=35．
17.(1)当ω=2时，f(x)=tan(2x+π3)，
则T=π2；
(2)(i)当x∈(−π3,π6)时，ωx+π3∈(−ωπ3+π3,ωπ6+π3)，ω>0，
若f(x)在(−π3,π6)上有定义，则−ωπ3+π3≥−π2ωπ6+π3≤π2，
解得ω≤1，故ω的最大值为1；
(ii)令ωx+π3=kπ2，k∈Z，
解得x=(3k−2)π6ω，k∈Z，
则x=(3k−2)π6ω(k∈Z)在区间(0,π)上至少有两解，
故至少存在两个k值使0