新高考数学一轮复习讲义+专项训练第4章第03讲 三角函数的图象与性质（复习讲义）（2份，原卷版+解析版）

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01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc202655780" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc202655780 \h 2
\l "_Tc202655781" 02 体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc202655781 \h 3
\l "_Tc202655782" 03 核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc202655782 \h 3
\l "_Tc202655783" 知能解码 PAGEREF _Tc202655783 \h 3
\l "_Tc202655784" 知识点1 五点作图法 PAGEREF _Tc202655784 \h 3
\l "_Tc202655785" 知识点2 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 PAGEREF _Tc202655785 \h 4
\l "_Tc202655786" 知识点3 函数的有关概念 PAGEREF _Tc202655786 \h 4
\l "_Tc202655787" 知识点4 三角函数的图象变换 PAGEREF _Tc202655787 \h 5
\l "_Tc202655788" 题型破译 PAGEREF _Tc202655788 \h 5
\l "_Tc202655789" 题型1 求三角函数的定义域、值域（最值） PAGEREF _Tc202655789 \h 5
【方法技巧 三角函数值域的两种常见模型】
\l "_Tc202655790" 题型2 利用三角函数的值域（最值）求参数 PAGEREF _Tc202655790 \h 6
\l "_Tc202655791" 题型3 三角函数的周期性 PAGEREF _Tc202655791 \h 7
【方法技巧 三角函数周期的处理】
\l "_Tc202655792" 题型4 三角函数的单调性 PAGEREF _Tc202655792 \h 8
【易错分析 单调性的注意事项】
\l "_Tc202655793" 题型5 三角函数的奇偶性 PAGEREF _Tc202655793 \h 8
\l "_Tc202655794" 题型6 三角函数的对称性 PAGEREF _Tc202655794 \h 9
\l "_Tc202655795" 题型7 三角函数的零点问题 PAGEREF _Tc202655795 \h 10
\l "_Tc202655796" 题型8 三角函数的图象变换 PAGEREF _Tc202655796 \h 11
\l "_Tc202655797" 题型9 图象变换中的最小平移 PAGEREF _Tc202655797 \h 11
\l "_Tc202655798" 题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式 PAGEREF _Tc202655798 \h 12
【方法技巧 求解析式的常用方法】
\l "_Tc202655799" 题型11 三角函数的实际应用 PAGEREF _Tc202655799 \h 14
\l "_Tc202655800" 04 真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc202655800 \h 16
\l "_Tc202655801" 05 课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc202655801 \h 18
知识点1 五点作图法
“五点法”作图原理：
在正弦函数的图象上，五个关键点是： ,
在余弦函数的图象上，五个关键点是： ,
自主检测用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（ ）
A．B．C．D．
知识点2 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
自主检测下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（ ）
A．B．
C．D．
知识点3 函数的有关概念
自主检测函数的初始相位为 .
知识点4 三角函数的图象变换
由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
方法一：（先平移后伸缩）
的图象的图象的图象的图象
方法二：（先伸缩后平移）
的图象的图象的图象的图象
注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“角”的变化．
自主检测要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位
题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）
例1-1函数的定义域为 ．
例1-2求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
方法技巧 三角函数值域的两种常见模型
（1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值.
（2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定.
【变式1-1】函数的定义域为
【变式1-2】函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为D．偶函数，且最小值为
【变式1-3·变载体】在平面直角坐标系中，，与原点距离最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型2 利用三角函数的值域（最值）求参数
例2-1若的最大值为3，最小值为1，则ab的值为（ ）
A．0B．C．2D．
例2-2已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（ 2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024B．2025C．2026D．2027
【变式2-2】若函数在上的值域为，则的取值范围为 .
【变式2-3】已知函数，若对任意在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型3 三角函数的周期性
例3-1下列函数中，最小正周期为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
例3-2（2020·浙江·模拟预测）已知函数，，与的最小正周期分别是（ ）
A．B．C．D．
方法技巧 三角函数周期的处理
（1）对形如或的周期为，对形如的周期为；
（2）对形如或的周期为，对形如的周期为
【变式3-1】函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】求函数的最小正周期．
【变式3-3】求函数的最小正周期．
题型4 三角函数的单调性
例4-1下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
例4-2（ 2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】函数的单调增区间为 .
【变式4-2】已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】若在上是减函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】若函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
题型5 三角函数的奇偶性
例5-1函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
例5-2（多选）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
易错分析 单调性的注意事项
在求形如的函数的单调区间时，
若①时,一般用诱导公式转化为后求解;
②若,则单调性相反.
【变式5-1】函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】已知函数，若，则 ．
【变式5-3】已知常数，函数为偶函数，则 .
题型6 三角函数的对称性
例6-1已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
例6-2已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为 .
【变式6-2】已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ．
【变式6-3】函数在内恰有两个对称中心，，则 .
【变式6-4】已知直线与点分别是函数的图象在同一周期内的对称轴和对称中心，则 .
题型7 三角函数的零点问题
例7-1已知函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例7-2已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【变式7-3】已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】函数在上的零点从小到大依次为，则的值为 .
题型8 三角函数的图象变换
例8-1要得到函数 的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
C．向左平移π/6个单位长度D．向右平移 个单位长度
例8-2将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-1】（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为B．是偶函数
C．的图象关于直线轴对称D．在上单调递增
【变式8-2】为了得到函数的图像，只要把正弦函数上所有点（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【变式8-3】已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
题型9 图象变换中的最小平移
例9-1（ 2025·天津·二模）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，函数的一个对称轴为，则的最小取值为（ ）
A．B．C．D．
例9-2（ 2025·安徽安庆·二模）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】已知，，函数，．
(1)求函数的对称轴方程；
(2)将函数按照的方向平移后得到的函数是奇函数，求最小时的．
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
例10-1（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象关于直线对称
例10-2函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点.圆与的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F六点，且在轴上，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
方法技巧 求解析式的常用方法
（1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求.
（2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.
【变式10-1】已知函数在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值及对应的的取值；
(3)当时，写出函数的单调递增区间.
【变式10-2】如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式10-3】（多选）函数的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
题型11 三角函数的实际应用
例11-1时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为，气温上升到约开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时~16时的气温随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时~16时中，赏花的最佳时段大致为（ ）
A．7.3时~11.3时B．8.7时~11.3时C．7.3时~12.7时D．8.7时~12.7时
例11-2已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-1】声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ．
【变式11-2】（多选）三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四个插孔，其中中性线（零线）电压为，三根相线（火线）电压分别为，，，其中（单位：），（单位：）．三根相线间的电压叫线电压，记，，，线电压的最大值分别为，，，有效值分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．三根相线电压的频率均为50（单位：）
B．
C．当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值
D．线电压的有效值（单位：）
【变式11-3】（多选）中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为．随着转动，以下说法正确的是（ ）
A．小平轮转2圈，大平轮转1圈
B．AB两点距离最大为18
C．AB两点距离最小为10
D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
4．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
6．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且B．且C．且D．且
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

8．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
9．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
1．函数的简图为（ ）
A．B．
C．D．
2．在内，下列区间中使得成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若，，且的最小正周期大于等于，则（ ）
A．B．C．D．
4．关于的两个函数与有以下命题：
①不存在，使得既是奇函数又是偶函数；
②对任意的都不是奇函数；
③对于任意的，存在，使得与有相同的最小正周期；
④对于任意的，存在，使得的最小正周期大于的最小正周期．
其中真命题的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
5．将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的，得到函数的图象，若，则（ ）
A．B．C．1D．
6．已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为（ ）
A．16B．C．D．8
7．函数的值域为 ．
8．已知函数，若在内单调递减，则的值为 ．
9．已知函数．
(1)若，求函数的定义域及最小正周期；
(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
10．已知交流电的电压（单位：V）随时间（单位：s）的变化可用表示，其部分图象如下所示．
(1)求函数的解析式；
(2)如果电压在一段时间内至少达到一次最大值和一次最小值，那么的最小值是多少？
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）三角函数的图象与性质
（2）三角函数图象的平移变换
（3）三角函数的实际应用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T4（5分）
全国二卷T15（15分）
北京卷T8（5分）
全国甲卷（文）T13（5分）
全国 I卷T7（5分）
全国II卷T9（6分）
北京卷T6（5分）
天津卷T7（5分）
全国甲卷（文）T12（5分）
全国甲卷（理）T10（5分）
全国甲卷（文）T10（5分）
全国甲卷（理）T6（5分）
全国 I卷T15（5分）
全国 II卷T16（5分）
考情分析：
三角函数图象与性质在高考中属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，涉及图象的识别、变换（如平移、伸缩、对称），以及单调性、周期性、奇偶性、最值等性质的应用，例如由函数解析式判断图象，或根据图象特征求参数值，题目难度多为中等，侧重基础概念与基本技能的考查。
该考点也常与三角恒等变换、解三角形等知识结合，有时还会融入实际问题，考查学生建模能力和利用性质分析问题的能力。这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一。
复习目标：
1.能画出正弦函数、余弦函数、正切函数、的图象.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
3.了解参数对函数图象变化的影响.
4.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型
函数
图象
定义域

值域

最值
当时，；
当时，
当 时，；
当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
奇函数
偶函数

单调性
在 上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
对称轴 ，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称图形.
振幅
周期
频率
相位
初相