新高考数学一轮复习讲练测第03讲 三角函数的图象与性质（练习）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（ ）
A．直线是图像的一条对称轴B．的最小正周期为
C．的图像关于点对称D．在上单调递增
【答案】C
【解析】由
，
则图像向右平移个单位长度可得，
，
因为，
所以不是图像的一条对称轴，A错；
由，得的最小正周期为，B错；
由，
所以点是图像的一个对称中心，C正确；
由，则，
所以在上有增有减，D错.
故选：C
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数图象的对称轴可以是（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．直线
【答案】A
【解析】，
令，解得，
所以的对称轴为直线，当时，.
故选：A.
3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，
再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象．
当时，，．
故选：C.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．8
【答案】C
【解析】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，
因此，解得，而，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
5．（2023·河南·校联考模拟预测）某次实验得交变电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数解析式为，其中且，其图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】D
【解析】由题知，则，又，
则，所以当时，，
则，又，
则，因此，
所以当时，，
当时，，
因此ABC正确，D错误，
故选：D.
6．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A. 的增区间为，在整个定义域上不单调，故错误；
B.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；
C. 在R上递增，故正确；
D. 的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；
故选：C
7．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】因为，
所以将向右平移个单位得到.
故选：D
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，则关于的下列结论不正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在区间上是单调递减函数
D．将的图象向左平移个单位即可得到的图象
【答案】D
【解析】∵，∴的图象关于直线对称，故A正确；
∵，∴的图象关于点对称，故B正确；
令，则，函数在区间上是减函数，
根据复合函数的单调性知，在区间上是单调递减函数，故C正确；
∵，
∴将的图象向左平移个单位即可得到的图象，
而时，，故D错误，
故选：D.
9．（多选题）（2023·福建漳州·统考模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上有2个零点
C．的图象关于直线对称
D．在上的值域为
【答案】BC
【解析】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
可得到的图象；
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，
时，，
则在单调递减，在单调递增，故A错误；
令，得，即，
因为，所以，解得，
因为，所以或，所以在上有2个零点，故B正确；
因为，为的最大值，
所以直线是的图象的一条对称轴，故C正确；
当时，，，故D错误.
故选：BC
10．（多选题）（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的可取（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】依题意，，于是，
当时，，
当在上单调递增时，，
即，解得，不存在整数使得取得ABCD选项中的值；
当在上单调递减时，，
即，解得，
当时，，CD符合，不存在整数使得取得AB选项中的值.
故选：CD
11．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．函数的一个单调递减区间为
C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数在区间上的值域为
【答案】AB
【解析】由题意知，所以．
对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于选项B，由，，得，，
则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；
对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
所以，
所以，
即：在区间上的值域为，故D项错误．
故选：AB.
12．（多选题）（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
【答案】ACD
【解析】因为函数图象相邻对称轴间的距离为，则，即，所以正确；
因为，则，即，且点是对称中心，
当时，，即，
又，所以，即.
令,解得，
所以函数的对称轴为，所以错误；
令,解得，
函数的单调增区间为：，所以C正确；
函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，得函数，所以正确.
故选:ACD.
13．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为函数为R上的奇函数，
所以，所以，所以，
又，所以的最小值为.
故答案为：
14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由于，
所以有且只有一个解，即有且只有一个解，
因为，所以，
由题意知，解得，
即的取值范围是为，
故答案为：
15．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集的函数__________.
①最小正周期为2；②；③无零点.
【答案】（答案不唯一）
【解析】的定义域为，
最小正周期为，
因为，所以，
所以无零点，
综上，符合题意
故答案为：.
16．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若对满足的，，有的最小值为，则________．
【答案】
【解析】由函数的图像向右平移，可得
由可知一个取得最大值一个取得最小值，
不妨设取得最大值，取得最小值，
，，．
可得，
所以，
的最小值为，
，得，
故答案为：.
17．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；
又∴，
将点代入，
∴，
∵∴
故答案为：，.
（2）由的图象向右平移个单位长度得到函数
∵
∴
∴当时，即，；
当时，即，
故答案为：
18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
【解析】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,
故
若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意知该函数为偶函数，故，
由于且，即，故，
故；
若选②，函数的图象的一个对称中心为且，
则，
由于且，即，故，
故；
（2）由题意可得，
由于在区间上恰有3个零点，故，
即.
19．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
【解析】（1）由，得，
因为函数在区间上恰有3个零点，
于是，解得，而为正整数，因此，
所以.
（2）由（1）知，，
由，得，即有，
因此，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．
【解析】（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：
，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），
则解析式变为.则.
当时，，
因函数在上单调递减，在上单调递增，
，.
∴，∴在区间上的最大值为．
（2），当时，，
要使在上无零点，则，.
，，，，
当时，；当时，，
当时，舍去．
综上：的取值范围为．
1．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】：若，则，
令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；
：若，则，
令，，则，，
故是一条对称轴，符合题意；
，则，不符合题意；
，则，不符合题意．
故选：．
2．（2022•天津）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在，上单调递增；
③当，时，的取值范围为，；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】对于，它的最小正周期为，故①错误；
在，，，，函数单调递增，故②正确；
当，时，，，的取值范围为，，故③错误；
的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，
故选：．
3．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】
【解析】把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象．
故选：．
4．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则
A．1B．C．D．3
【答案】
【解析】函数的最小正周期为，
则，由，得，，
的图像关于点，中心对称，，
且，则，．
，，取，可得．
，则．
故选：．
5．（2022•甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，
则对应函数为，
的图象关于轴对称，，，
即，，
则令，可得的最小值是，
故选：．
6．（2022•甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是

A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；
函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
，，
，
求得，
故选：．
7．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，
则
A．在区间单调递减
B．在区间，有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】因为的图象关于点，对称，
所以，，
所以，
因为，
所以，
故，
令，解得，
故在单调递减，正确；
，，，，
根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；
令，，得，，显然错误；
，
求导可得，，
令，即，解得或，
故函数在点处的切线斜率为，
故切线方程为，即，故正确．
直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．
故选：．
8．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
【答案】
【解析】由题意：设，，，，则，
由的图象可知：
，即，
，
又，，，
即，，
观察图象，可知当时，满足条件，
．
故答案为：．
9．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】，，函数的周期为，，可得，
函数在区间，有且仅有3个零点，
可得，
所以．
故答案为：，．
10．（2022•上海）函数的周期为 ．
【答案】
【解析】
，
．
故答案为：．
11．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】函数，的最小正周期为，
若，，则，
所以．
因为为的零点，所以，
故，，所以，，
因为，则的最小值为3．
故答案为：3．
12．（2023•北京）已知函数，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在，上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ）因为函数，
所以，
又因为，所以．
（Ⅱ）若选①：；
因为，
所以在和时取得最大值1，这与在，上单调递增矛盾，所以、的值不存在．
若选②：；
因为在，上单调递增，且，
所以在时取得最小值，时取得最大值1，
所以的最小正周期为，计算，
又因为，所以，，
解得，；
又因为，所以；
若选③：在，上单调递减，因为在，上单调递增，且，
所以在时取得最小值，时取得最大值1，
所以的最小正周期为，所以，
又因为，所以，，
解得，；
又因为，所以．