广东省佛山市高中联盟2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份广东省佛山市高中联盟2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学学科
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知角 α 的终边经过点P (_3, 2) ，则 sin α = ( )
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解.
【详解】 由题意有 r = OP 所以sin
故选：A.
2. 已知向量 = (3, 2) ， = (_6, x ) ，若 / / ，则实数 x = ( )
A. _9 B. _4 C. 4 D. 9
【答案】B
【解析】
【详解】 由题设及 / / ，则 可得 x = _4 .
3. 已知复数 z 复数 z 的虚部为 ( )
A. _3i B. 3i C. 3 D. _3
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法对复数进行化简，确定其虚部即可.
【详解】 z i .
所以复数 z 的虚部为 _3 .
故选：D.
4. 已知平面向量 = (1, 0) ， = (2, 2) ，则向量 在 上的投影向量为 ( )
A. EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 10(◎),b) B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】 = (1, 0) ， = (2, 2) ， = 22 ，向量 在 上的投影向量为
5. 已知 “ 为锐角，且 sin 则 tan 2“ 的值为 ( )
A. 22 B. _22 C. D. 【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系求出cs“和 tan “ ，再根据正切的二倍角公式代入求解即可．
【详解】因为 “ 为锐角，且 sin
所以 cs sin 则 tan 所以 tan
6. 如图所示， Ⅴ ABC 中 G 为重心， PQ 过 G 点， = m ， = n ，则 ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】D
【解析】
【详解】设 = , = ，根据题意 因为 = m ， = n ， P, G, Q 三点共线，则存在 λ , 使得 = λ ,
即 即 n 所以 ，整理得 3mn = m + n ，所以 .
7. 设 Ⅴ ABC 的面积为S ，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且b2 = a2 + c2 _ ac ，若 . = 23S ，则此三角形的形状为 ( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理可得出cs B 的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出tan A 的值，结合三角形内角的取值范围得出A 、 B 的值，进而可得出角C 的值，即可得出结论.
【详解】因为b2 = a2 + c2 _ ac = a2 + c2 _ 2accsB ，所以cs B 因为 0 < B < π , 故 B
因为 . = 23S ，即 . csA bc sin A ，
即bc csA = ·3bc sin A ，化简得 3 sin A = cs A ，
因为 0 < A < π , 故 3 sin A = csA > 0 ，可得 tan A 则 A 故C = ，因此， Ⅴ ABC 为直角三角形，
故选：B.
8. 已知 且4 cs“ _ tan 则 “ = ( )
5π π 2π 4π
A. B. C. D.
18 3 5 9
【答案】A
【解析】
【详解
cs → 2sin sin α + cs α = 2sin 所以k ∈ Z ，
即 k ∈ Z .
由于 ，故
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知向量 = (_ 1, 2) ， ，则 ( )
B. 与向量 平行的一个单位向量为
C. 若 + 与 + x所成角为锐角，则 x ∈(_1, +∞ )
π
4
D. a + b 与 a 的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项 A ，可通过计算 _ 与 + 的模来判断；选项 B ，根据单位向量的定义求出与 平行的单位向量；选项 C ，根据向量所成角为锐角的条件列出不等式求解x 的取值范围；选项 D ，利用向量的夹角公式求出 + 与 的夹角.
【详解】 _ = (_3, 1) ， + = (1, 3) ，故 _ = + = 、10 ，所以 A 正确；
( ·5 25 )
与 平行的单位向量为± , |(_ 5 , 5 丿l为 ，所以 B 正确；
+ = (1, 3) ， + x = (_1+ 2x，2 + x )，
若向量所成角为锐角，则 ( + ). ( + x) > 0 且两向量不共线，即-1+ 2x+3(2 + x ) > 0 ，解得 x > -1 ，
→ →
当 x = 1时， EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(→),a) + xb = 1,3 = EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(→),a) + b ，不满足夹角为锐角，所以 C 错误；
+ = (1, 3) ， = (-1, 2) ，
所以 cs
因为 0 ≤ ≤ π , 所以 = ，所以 D 正确.
10. 下列各式中，计算结果为3 的是 ( )
A.
sin15 + cs15
cs15 -sin15
B.
sin 40 + sin 80
cs 20
C. cs85 cs 25 -sin85 sin 25 D. tan 25 + tan 35 + 3 tan 25 tan 35 【答案】ABD
【解析】
【详解】对于 A，
3
2
所以 A 正确，
对于 B sin 所以 B正确，
对于 C ， cs 85 cs 25 -sin 85 sin 25 = cs (85 + 25 )= cs110 0
（2）利用复数的运算，结合条件有〈 2 ，即可求解.
la _ 2 < 0
【小问 1 详解】
因为复数 z2 在复平面内对应的向量为 则 z2 = _1+ 2i ，
又 z1 = a2 + 2ai ，则 z1z2 = (a2 + 2ai)(_1+ 2i) = _a2 _ 4a + (2a2 _ 2a )i ，由题有 解得 a = _4 ，所以 a 的值为 _4 .
【小问2 详解】
因为 z1i _ z2 = (a2 + 2ai)i _ (_1+ 2i) = 1_ 2a + (a2 _ 2)i ，
由题有〈 _2EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(a),2)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(0),0) ，解得 所以 a 的取值范围为 .
16. 如图，在 Ⅴ ABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 4 ， LBAC = 60O ，E ，F 分别为 AC ， BC 上的点，且
（1）求 AF ；
（2）用向量方法证明： AF⊥BE ；
（3）若线段BE 上一动点 P 满足 2 + + = ，试确定点 P 的位置．
【答案】
（2）证明见解析 （3） P 是线段 BE 的中点
【解析】
【分析】（1）记 = , = ，利用向量的线性运算将 表示为 , 的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解；
（2）将 表示为 , 的关系式，从而利用向量的数量积运算计算 . 即可得证；
（3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解.
【小问 1 详解】
依题意，记 = , = ，
因为 AB = 2, AC = 4, LBAC = 60O ，所以 = 2, = 4 ， . = 2 x 4 x cs 60O = 4 ，因为 ，
所以
则 故
【小问2 详解】
因为 所以
所以x 16 = 0 ，
则 丄 ，即 AF⊥BE .
【小问 3 详解】
因为 所以 E 是 AC 的中点，故 + = 2 ， 因为 2 + + = ，所以 2 + 2 = ，即 = _ ，所以P 是线段 BE 的中点.
17. 已知函数 f = sin sin cs2 x _1 ， x ∈ R ．
（1）求函数f(x ) 的最小正周期；
（2）若f ，求sin
【答案】（1） π
7
（2） _
9
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得到 fsin 再由正弦型函数的周期公式求解即可；
（2） 由 f 得sin 再由sin(l(2α _ 丿)l = sin2 l(( α + l _ EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 9(1),」)l构建关系，最
后结合二倍角公式即可求解．
【小问 1 详解】
由题意得 f = sin sin cs2 x _1
= sin 2x + cs 2x sin 所以函数 f(x ) 的最小正周期为 .
【小问2 详解】
由（1）得， f sin
则 f sin sin 即sin 所以sin sin cs
18. 已知函数 f = 2sin(⑴x 其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且经过点 (0, 1) ．
（1）求函数f(x ) 的解析式；
（2）当x 方程f 有解，求实数m 的取值范围；
（3）若方程f(x) 一 a = 0 在区间 上恰有三个实数根 x1 , x2 , x3 ，且 x1 < x2 < x3 ，求sin(x1 + x2 + x3) 的取值范围．
【答案】（1） f = 2sin
（2） m Î
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，求出周期，再利用周期公式可求出 ⑴ , 然后将点(0, 1)代入 f(x) 中可求出φ 的值，从而可求出函数解析；
（2）求得 fcs2x ，则将问题转化为 一2cs2x = m 有解，然后由 x 求出一2cs2x的范围，从而可求出实数m 的取值范围；
（3）设 t = 2x 则将问题转化为方程sint 在区间上恰有三个实数根t1 , t2 , t3 ，然后结合正弦函数的图象可求出t1 , t2 , t3 的范围，从而可求出x1 +x2 +x3 ，进而可求出sin(x1 +x2 +x3)的取值范围．
【小问 1 详解】
设 f(x)的最小正周期为 T ，由题意得 ，得周期T = π ,所以 得 ⑴ = 2 ，
因为 ⑴ > 0 ，所以 ⑴ = 2 ，
所以 f = 2sin (2x
因为 f(x)的图象过点(0, 1) ，所以2sinφ = 1 ，得 sin 因为φ < ，所以
故 f = 2sin
【小问2 详解】
即 f m = 0 ⇋ 一2cs2x = m 有解，由 x 得2x
1
所以 一1≤ cs 2x ≤ , 所以 一1≤ 一2 cs 2x ≤ 2 ， 2
所以 一1 ≤ m ≤ 2 ，即 m Î .
【小问 3 详解】
”
,
x 设t = 2x + ∈ , ，则 x 由“方程 f(x)一a = 0 在区间 上恰有三个实数根 x1 , x2 , x3
得“方程sint 在区间上恰有三个实数根t1 , t2 , t3 ”，则 y = sint 的图象如下：
即 t
由图得， t1 + t2 = π → x1 + x ，即 x1 + x2 + x
综上sin (x1 + x2 + x
【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程sint 在区间上恰有三个实数根t1 , t2 , t3 ，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.
19. 在 Ⅴ ABC 中，角 A ，B ，C 对应边为 a ， b ， c ，满足sin(B _ A) + 2 sin A = sin C
（1）求B 的大小；
（2）（i） 已知b = 4 ，若D 在 AC 上，且 BD 丄 AC ，求 BD 的最大值；
（ii）延长 BC 至点M ，使得 2 = .若 LCAM 求 LBAC 的大小.
【答案】（1） B
π 5π
（2）（i） BD 的最大值为 22 + 2 ；（ii） LBAC = 或
12 12
【解析】
【分析】（1）由sinC=sin(A+B) ，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cs B 可得B 的大小；
（2）（i） 由三角形的面积公式得到 BD ac ，再由余弦定理和基本不等式求其最大值即可；
（ii）设 BC = x ， LBAC = θ , 在 Ⅴ ABC 和 △ACM 中，由正弦定理表示边角关系，化简求 LBAC 的大小.
【小问 1 详解】
在 Ⅴ ABC 中， A + B + C = π , 所以sinC=sin(A+B) ．
因为sin sin A = sin C ，所以sin sin A = sin 即 sin B csA - csBsin A+ 2 sin A = sin B csA + csBsin A
化简得2 sin A = 2 csBsin A．
因为 A∈(0, π) ，所以sinA ≠ 0 ， cs B 因为 0 < B < π , 所以 B
【小问2 详解】
（i） 由三角形面积公式可得 S ac sin B b. BD ，即 BD ac ，
在 Ⅴ ABC 中由余弦定理可得b2 = a2 + c2 - 2ac csB ，即 16 = a2 +c2 - ·2ac ，
所以16 = a2 + c ac ac ，所以ac 的最大值为 ，
此时 BD ac 当且仅当 a = c 时取等号；
（ii）设 BC = x ， LBAC = θ , 则 CM = 2x ．
由（1）知 B ，又 LCAM 所以在 ABM 中， LAMC
在 Ⅴ ABC 中， 由正弦定理得．
在 △ACM 中， 由正弦定理得 ①÷② , 得 即 2 sin θ cs 所以sin
因为 所以 故 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键是能用三角形面积公式把 BD用 ac 表示，再结合基本不等式求解.