广东省佛山市新质高中联盟2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题

这是一份广东省佛山市新质高中联盟2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题，文件包含124细胞的生活-初中生物七年级上册同步教学课件人教版2024pptx、124细胞的生活教学设计docx、124细胞的生活课后作业含答案解析docx、124细胞的生活课后作业docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共26页， 欢迎下载使用。
单选题
已知角α的终边经过点 P 3, 2 ，则sinα （ ）
2 13
13
 2 13
13
3 13
13
 3 13
13
已知向量 →  3, 2 ， b  6, x ，若 →，则实数 x  （ ）
a
9
4
a / /b
C．4D．9
已知复数 z  2  4 i ，复数 z 的虚部为（ ）
1 i
3i
3iC．3D． 3
→
已知平面向量a  1, 0 ， b  2, 2 ，则向量a 在b 上的投影向量为（ ）
1 r
2 b
1 →
b
4
2 →
D． 2b
b
2
已知α为锐角，且sinα
6 ，则tan 2α的值为（ ）
3
2
2
2
2
4
 2
4
2
如图所示， V ABC 中G 为重心， PQ 过G 点， AP  m AB ， AQ  n AC ，则 1  1  （ ）
mn
2
A．1B．2C．D．3
设V ABC 的面积为S ，角 A 、 B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b2  a2  c2  ac ，若 AC  AB  2 3S ，
则此三角形的形状为（
）
A．等腰三角形
C．等边三角形
B．直角三角形
D．等腰直角三角形
已知α  π , π  ，且4 csα tan  π α 
3 ，则α （ ）
 4 2  2

5π
18
π
3

2π
5
4π
9
多选题
已知向量a  1, 2 ， b  2,1 ，则（ ）
→→→→
a  b  a  b
与向量a 平行的一个单位向量为  5 , 2 5 
55 

若a  b 与a  xb 所成角为锐角，则 x 1, 
a  b 与a 的夹角为 π
4
下列各式中，计算结果为 3 的是（ ）
sin15  cs15B． cs15  sin15
sin 40  sin 80 cs 20
C． cs 85 cs 25  sin 85sin 25D． tan 25  tan 35  3 tan 25 tan 35
设函数 f (x)  sin(ωx φ) ω 0, 0 φ π  ，若 f ( x) 在区间 π , π  上具有单调性，且 f  π 
2 
 6 2 
 2 

 f  2π    f  π  ，则（ ）
 3  6 
 
f ( x) 的最小正周期为πB． f ( x) 图象关于直线 x 
π 对称
12
C． f ( x) 图象关于点 π , 0  中心对称D．存在α  0, π  ，使得 f (x α)  f (x  3α) 成立
 62 

填空题
若复数 z  3  4i1 i ，则 z  ．
→→→→
3
已知单位向量a ， b 满足a  ba  2b   4
→→
，则 a  b  ．
如图，在大三角形中共有 10 个网格点，相邻网格点间的距离均为 1，从中选取三个不同的网格点 A， B，C，则 AB  AC 的最大值与最小值的和为．
解答题
2
已知复数 z1  a2  2aia  R ，复数 z 在复平面内对应的向量为OA  1, 2 ．
若 z1 z2 为纯虚数，求a 的值；
若 z1i  z2 在复平面内对应的点在第四象限，求a 的取值范围．
如图，在V ABC 中，已知 AB  2 ， AC  4 ， BAC  60 ，E，F 分别为 AC ， BC 上的点，且
–––→1 –––→–––→1 –––→
AE 
AC ， BF 
2
BC ．
3
–––→
求 AF ；
用向量方法证明： AF⊥BE ；
若线段 BE 上一动点 P 满足2PB  PA  PC  0 ，试确定点 P 的位置．
f x 
π π 2
已知函数  
sin  2x    sin  2x    2 cs
33

x 1， x  R ．
求函数 f  x 的最小正周期；
若 f α π  2 ，求sin  2α π  ．
 224 3
6 

已知函数 f  x  2sin ωx φω 0, φ π π0,1 ．
2  ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 ，且经过点

求函数 f  x 的解析式；
当 x   π , 7π  ，方程 f  x  π   m  0 有解，求实数m 的取值范围；
 6 12 
3 

若方程 f  x  a  0 在区间0, 7π  上恰有三个实数根 x , x , x ，且 x  x  x ，求sin  x  x  x  的取值范
6 
围．
1 2 3
123
123
在V ABC 中，角 A，B，C 对应边为a ， b ， c ，满足sin  B  A  2 sin A  sin C
求 B 的大小；
(2)（i）已知b  4 ，若 D 在 AC 上，且 BD  AC ，求 BD 的最大值；
（ii）延长 BC 至点M ，使得2BC  CM .若CAM  π 求∠BAC 的大小.
4
1．A
【详解】由题意有r  OP 
参考答案
32  22
13
，
所以sinα y 
r
2  2 13 .
13
13
故选：A.
2．B
【详解】由题设及 →，则6  x ，可得 x  4 .
a / /b32
3．D
【详解】 z 
2  4i 1 i
2  4i1 i
 1 i1 i 
2  6i  4i2
1 i2
 2  6i 2
 1 3i .
所以复数 z 的虚部为3.
故选：D.
4．B
→→→
→→a  b  b 2 b  1 b
2
2
b
b
2
【详解】a  1, 0 ， b  2, 2 ， b  2，向量a 在b 上的投影向量为 → →24 .
5．B
【详解】因为α为锐角，且sinα 6 ，
3
所以csα
1 sin2α
3 ，则tanα sinα 
6
2
3 ，
所以tan 2α
1 2
3
2 tanα
3
2
 2  2  2．
csα3
3
6．D
1  tan2 α
→
1  2
–––→
2 –––→2  1 –––→
1 –––→ 
1 →1 →

【详解】设 AB  a, AC  b ，根据题意 AG  3 AD  3  2 AB  2 AC   3 a  3 b ，因为 AP  m AB ， AQ  n AC ， P, G, Q 三点共线，则存在λ，使得 PQ  λPG ，
–––→ –––→–––→ –––→
→→ 1 →1 →
→  λ
 → λb
即 AQ  AP  λ AG  AP，即nb  ma  λ a  b  ma     mλ a ，
 33
 33
m

所以

n 

7．B
 λ mλ

3，整理得3mn  m  n ，所以
λ
3
1  1  3 .
mn
【详解】因为b2  a2  c2  ac  a2  c2  2ac cs B ，所以cs B  1 ，
2
因为0  B  π ，故 B  π ，
3
–––→ –––→1
因为 AC  AB  2 3S ，即 AC  AB cs A  2 3  2 bc sin A ，
即bc cs A  3bc sin A ，化简得 3 sin A  cs A ，
因为0  A  π ，故 3 sin A  cs A  0 ，可得tan A 3 ，则 A  π ，故C  π ，
因此， V ABC 为直角三角形，故选：B.
362
8．A
【详解】α  π , π   2α  π , π  ，α π  5π , 2π 
 4 2  2
6 123 

3
 4 csα csα 2 sin 2α csα 2 sin 2α 3 sinα csα 2 sin α π 
sinα
sinα
6 

所以2αα π  2kπ或2αα π  π+2kπ, k  Z ，
66
即α π  2kπ或α 5π  2 kπ, k  Z .
6183
4 2
 
由于α  π , π  ，故α 5π .
18
ABD
→→→→
10
【详解】a  b  3,1 ， a  b  1, 3 ，故 a  b  a  b 
，所以 A 正确；
→ a

2 5 a
a  5 ，与a 平行的单位向量为
→ ，  ,
 为 → ，所以 B 正确；
5
a
a  b  1, 3 ， a  xb  1 2x，2  x ，
→→→→
55 a
→→
若向量所成角为锐角，则a  ba  xb  0 且两向量不共线，即1 2x+32  x  0 ，解得 x  1 ，
当 x  1 时， a  xb  1, 3 =a  b ，不满足夹角为锐角，所以 C 错误；
a  b  1, 3 ， a  1, 2 ，
→→→
→→a  b  a
5 2
所以cs
a  b 
→→ →
a  b a
，
5
10 2
0  →→
→→π
因为a  b
 π ，所以
a  b
 ，所以 D 正确. 4
ABD
【详解】对于 A，

sin15  cs15
sin15  cs152
1 2sin15cs15
3
1 sin302
cs15  sin15cs15  sin15sin15  cs15cs215  sin215
cs30
 3 ，所以 A 正确，
3
2
sin 40  sin 80
sin 60  20  sin 60  202sin60cs20
对于 B，
 2sin60 

3 ，所以 B 正确，
cs 20
cs20
cs20
对于 C， cs 85 cs 25  sin 85sin 25  cs 85  25  cs110  1，所以 C 错误，
对于 D， tan 25  tan 35 
3 tan 25 tan 35  tan 25  351 tan 25 tan 35 
3 tan 25 tan 35
 3 1 tan 25 tan 35 
3 tan 25 tan 35 ，所以 D 正确.
3
AB
【详解】若 f ( x) 在区间 π , π  上具有单调性，则π  π  T ，则T  2π ，

 6 2 
又T  2π ，则0  ω 3 ，
ω
因为 f  π   f  2π    f  π  ，

2623
 2  3  6 
 
π  2π
π  π

所以一条对称轴为 x  23  7π ，一个对称中心横坐标为 26  π ，
21223
对称中心为 π , 0  ，
 3

则T  7π  π  π ，所以T  π ，ω 2π  2 ，
41234T
所以对称轴为 x  7π  1 kπ,k  Z ，对称中心为 π  1 kπ, 0  , k  Z ，

122
 32
对于 A， T  π ，故 A 正确；
对于 B，当k  1 时，对称轴为 x 

π ，故 B 正确； 12
对于 C，假设 f ( x) 图象关于点 π , 0  中心对称，则π  1 kπ= π ，此时k   1 ，不符合题意，故 C 错误；
 6

3263

对于 D，α  0, π  ， f (x)  sin(2x φ) ，则 f (x α)  sin(2x  2αφ) ， f (x  3α)  sin(2x  6αφ) ，
2 

若 f (x α)  f (x  3α) ，则sin(2x  2αφ)  sin(2x  6αφ)
则2αφ 2kπ  6αφ, k  Z ，则α kπ , k  Z ，
2
故在α  0, π  ，不存在α使得 f (x α)  f (x  3α) 成立，故 D 错误，
2 

故选：AB.
2
5
2
【详解】 z  3  4i1 i  3  3i  4i  4  7  i ，
72  12
则 z 
2 6
3
 5．
→→→→4→ 2→ →→ →→24
3
【详解】因为a  ba  2b  
，所以a
 2a  b  a  b  2b
  ，
3
→ →4
所以1 a  b  2  
3
a  2a  b  b
→ 2→ →→2
→→
所以 a  b 
故答案为： 2 6 .
3
11 / 5.5
2
【详解】
→ →
，所以a  b 
1 2  1 1
3

1 ，
3
2 6
.
3
–––→ –––→–––→–––→–––→ –––→–––→
因为 AB·AC  AB  AC cs
AB, AC
，所以取 AC 最大同时 AB 在 AC 上投影最大，则 AB  AC 取得最大值，
如图所示，当 A, C 分别是最大的正三角形底边的端点，
–––→
B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， AC 最大，且 AB 在向量 AC 上的投影也达到最大值,
所以此时 AB  AC 取得最大值，最大值为3 2  1   15 ；
2 2

–––→ –––→–––→–––→–––→ –––→–––→
因为 AB·AC  AB  AC cs
AB, AC
，取 AC 最大同时 AB 在 AC 上投影最小，则 AB  AC 取得最小值，
当 B, C 分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 B, C 之间的一点时，
–––→ –––→
AB, AC  π ，此时
AB  AC  2 11  2 达到最小值．
综上所述 AB·AC 的最大值与最小值的和为15  2  11 .
22
故答案为： 11 .
2
15．(1) 4

 
2, 1 

2

【详解】（1）因为复数 z2 在复平面内对应的向量为OA  1, 2 ，则 z2  1 2i ，
又 z1
 a2  2ai ，则 z z  a2  2ai1 2i  a2  4a  2a2  2ai ，
1 2
a2  4a  0

由题有2a2  2a  0 ，解得a  4 ，所以a 的值为4 .
（2）因为 z1i  z2
 a2  2aii  1  2i  1  2a  a2  2i ，
2
由题有1  2a  0 ，解得 a  1 ，所以a 的取值范围为 
2, 1  .
a2  2  02
2 

16．(1) 4 3
3
证明见解析
P 是线段 BE 的中点
【详解】（1）依题意，记 AB  a, AC  b ，
→→
因为 AB  2, AC  4, BAC  60 ，所以 a  2, b  4 ， a b  2 4cs 60  4 ，
–––→
因为 BF 
1 –––→
BC ，
3
–––→–––→–––→–––→
所以 AF  AB  BF  AB 
1 –––→–––→1
BC  AB 
–––→ –––→

AC  AB 
2 –––→
AB 
1 –––→
AC 
2 →1 →
a  b ，
333333
–––→ 2
 2 →1 → 2
4 → 24 → →1 →2
44116
则 AF
  a  b 
33

 a  a  b  b
999
  4   4  16 ，
9993
4 3
–––→
故 AF .
3
–––→
1 –––→
–––→–––→ –––→–––→
1 –––→→1 →
因为 AE 
AC ，所以 BE  BA  AE   AB 
2
AC  a  b ，
22
–––→ –––→
 2 →
1 →   →
1 → 
2 → 2
1 →221
3323
所以 AF  BE   a  b   a  b    a  b
 6
则 AF  BE ，即 AF⊥BE .
   4  16  0 ，
36
–––→1 –––→
因为 AE  2 AC ，所以 E 是 AC 的中点，故 PA  PC  2PE ，因为2PB  PA  PC  0 ，所以2PB  2PE  0 ，即 PB   PE ，
所以 P 是线段 BE 的中点. 17．(1) π
(2)  7
9
f x 
π π 2
【详解】（1）由题意得  
sin  2x    sin  2x    2 cs
33

x 1
 sin 2x cs π  cs 2x sin π  sin 2x cs π  cs 2x sin π  cs 2x
3333
 sin 2x  cs 2x 
π 

2 sin 2x ，
4 

所以函数 f  x 的最小正周期为 2π  π .
2
（2）由（1）得， f  x 
2 sin  2x  π  ，
4 
则 f α
π  

 α π   π  
2 sin α π  
2 ，即sin α π   1 ，
 224 
2 sin 2  224 4 
6 3
6 3
 
所以sin  2α π   sin 2 α π   π   cs 2 α π 
6  6 2  6 
  
π π  1 27
  1 2 sin2 α   2 sin2 α  1  2   1   .
6 6  3 9
18．(1) f  x  2sin  2x  π 
6 
m Î [

1, ]
sin  x  x  x  1,  3 
1232 

【详解】（1）设 f  x 的最小正周期为T ，由题意得T  π ，得周期T  π ，
22
ω
所以 2π  π ，得ω 2 ，因为ω 0 ，所以ω 2 ，
所以 f  x  2sin 2x φ φ π  ，
2 

因为 f  x 的图象过点0,1 ，所以2sinφ 1 ，得sinφ 1 ，
2
因为φ π ，所以φ π ，
26
故 f  x  2sin  2x  π  ．
6 

π π 
32
f  x    2sin  2x    2cs2x ，

π 
3
即 f  x    m  0  2cs2x  m 有解，

由 x   π , 7π  ，得2x   π , 7π  ，
 6 12 
 3 6 
所以1  cs 2x  1 ，所以1  2 cs 2x  2 ，
2
所以1  m  2 ，即m Î [
1, ]．
x  0, 7π  ，设t  2x  π   π , 5π  ，则 x  1  t  π  ，
6 
6 6 2 
2 6 

由“方程 f  x  a  0 在区间0, 7π  上恰有三个实数根 x , x , x ”，
6 
1 2 3
得“方程sint  a 在区间上恰有三个实数根t , t , t ”，
2
则 y  sint 的图象如下：
1 2 3
即t   π , π , t
 π , 5π  , t
 13π , 5π  ，
1 6 2  2
 2 6  3
 62 

t  π

t  π
7π 
由图得， t  t
1
 π  x  x 
6  2
6  π ， x3  π, ，
1212

223
6 
即 x  x
 x   4π , 3π  ，

123 32 
综上sin  x  x  x  1,  3  ．
1232 

19．(1) B  π
4
(2)（i） BD 的最大值为2 2  2 ；（ii） BAC 
π 或 5π
1212
【详解】（1）在V ABC 中， A  B  C  π ，所以sinC=sin( A+B) ．
因为sin  B  A 
2 sin A  sin C ，所以sin  B  A 
2 sin A  sin  A  B ，
即sin B cs A cs B sin A  2 sin A  sin B cs A  cs B sin A
化简得 2 sin A  2cs B sin A．
因为 A (0, π) ，所以sinA  0 ， cs B 2 ．
2
因为0  B  π ，所以 B  π ．
4
（2）
由三角形面积公式可得S  1 ac sin B  1 b  BD ，即 BD =
22
2 ac ，
8
在V ABC 中由余弦定理可得b2  a2  c2  2ac cs B ，即16 = a2 +c2 -2ac ，
所以16  a2  c2 
2ac  2 
2 ac ，所以ac 的最大值为 16 ，
2

2 -
2 -2
16 +8 2
此时 BD = 2 ac = 2 ´16= 2 2 +2 ，当且仅当a = c =
4 +2 2
= 2
时取等号；
88
设 BC  x ， BAC θ，则CM  2x ．
由（1）知 B  π ，又CAM  π ，所以在V ABM 中， AMC  π θ．
44
BCAC
2
x AC
在V ABC 中，由正弦定理得sin BAC  sin B ，即sinθ
sin π ①．
4
CMAC
2x AC
在△ACM 中，由正弦定理得sin CAM  sin M ，即sin π
sin  π θ ②．
4 2

2
①÷②，得 2 = cs 2 ，即2 sinθcsθ 1 ，所以sin 2θ 1 ．
2m +1222
2