新高考数学一轮复习高频考点讲与练第5章第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用( 精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点讲与练第5章第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用( 精讲）（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了在复平面内，复数对应的点为.，已知平面向量，，等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30052" 高频考点一：平面向量夹角为锐角问题 PAGEREF _Tc30052 \h 1
\l "_Tc297" 高频考点二：平面向量夹角为钝角问题 PAGEREF _Tc297 \h 3
\l "_Tc5533" 高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法） PAGEREF _Tc5533 \h 4
\l "_Tc25318" 高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法） PAGEREF _Tc25318 \h 5
\l "_Tc1357" 高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法） PAGEREF _Tc1357 \h 6
\l "_Tc16580" 高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法） PAGEREF _Tc16580 \h 7
\l "_Tc8716" 高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法） PAGEREF _Tc8716 \h 8
\l "_Tc4122" 高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法）） PAGEREF _Tc4122 \h 10
\l "_Tc26992" 高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法） PAGEREF _Tc26992 \h 11
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题
典型例题
例题1．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数对应的点为.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
例题3．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量，，．
(1)若，求；
(2)若在方向上的投影数量为1，求m的值；
(3)若，的夹角为锐角，求m的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，．
(1)是线段上靠近的三等分点，求点的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知向量，，.
(1)若向量与共线，求的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题
典型例题
例题1．（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
例题3．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）已知向量，．
(1)当且时，求；
(2)当，与夹角为钝角，求x范围．
精练高频考点
1．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与的夹角为钝角，求实数取值的集合．
3．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，向量．
(1)若，求与的夹角；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
4．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．
例题2．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为 .
精练高频考点
1．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知：，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为 ．
3．（24-25高一下·海南海口·期末）已知向量满足：，且．
(1)求向量与的夹角；
(2)设向量，求的最小值．
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）
典型例题
例题1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．4B．C．2D．1
例题2．（2025高一·全国·专题练习）已知平面向量满足，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
例题3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例题4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为单位向量，满足，则的最小值为
精练高频考点
1．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知平面向量满足，，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
2．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A．1B．C．D．
3．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若满足，，，则的最小值是 ．
4．（23-24高一下·北京·期中）与是两个单位向量，，则当 时，取得最小值．
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）
典型例题
例题1．（24-25高三下·海南·阶段练习）设是非零向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，，，，，求的取值范围．
例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量共面，且均为单位向量，，则的取值范围是 .
精练高频考点
1．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 ．
2．（2026高三·全国·专题练习）已知，，为单位向量，且，则的最小值为 ．
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）
典型例题
例题1．（2024·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
例题2．（2024高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 .
例题3．（23-24高一下·福建福州·期中）平面向量满足，且，则的最小值为 ．

精练高频考点
1．（2023高三·全国·专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．,D．,
2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y的正半轴上（含原点O）滑动，则的最大值是（ ）．
A．1B．2C．3D．
（2025高三·全国·专题练习）已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，则的取值范围是 ．
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）
典型例题
例题1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ）
A．12B．16C．18D．20
例题3．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为 .
例题4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为 .
精练高频考点
1．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在平面四边形中，已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·北京·期中）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为 .
4．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是 ．
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））
典型例题
例题1．（2025高一·全国·专题练习）如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴、轴的非负半轴上滑动，为的中点，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
例题3．（24-25高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 .
例题4．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 .
精练高频考点
1．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 .
3．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为 .
4．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知M、N分别是四边形的边，的中点．
(1)求证：；
(2)若四边形是边长为2的正方形，点E是边的中点，求证：；
(3)若四边形是边长为2的正方形，点E是边上的动点，求的最大值．
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）
典型例题
例题1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
例题2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（ ）
A．B．16C．D．8
3．（25-26高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.