新高考数学一轮复习讲与练5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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例题剖析
考点一 证线段垂直
【例1-1】（2022·山西运城）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ）
A．B．C．13D．26
【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形中，为对角线上任意一点（异于、两点），，，垂足分别为、，连接、，求证：.
【一隅三反】
1．（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
2．（2022·福建·漳州三中）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
3．（2022·上海）在中，，分别为边上的点，且．求证：．
考点二 夹角问题
【例2】（2022·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建省同安第一中学）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
考点三 线段长度
【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四边形中，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【例3-2】（2022·云南）已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（ ）
A．B．3C．D．4
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A．B．3C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（ ）
A．B．C．3D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
考点四 几何中的最值
【例4】（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·安徽安庆）设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是___________.
2．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
3．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________.
4．（2022·四川省内江市第六中学）如图，在等腰中，已知，，、分别是边、的点，且，，其中且，若线段、的中点分别为、，则的最小值是________．
考点五 三角形的四心
【例5】（2022·甘肃·兰州一中）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【一隅三反】
1．（2022·全国·）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( )
A．B．
C．D．
2．（2022·广东·广州市第二中学）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·课时练习）(多选题)已知O是四边形内一点，若，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形为正方形，点O是正方形的中心
B．四边形为一般四边形，点O是四边形的对角线交点
C．四边形为一般四边形，点O是四边形的外接圆的圆心
D．四边形为一般四边形，点O是四边形对边中点连线的交点
4．（2022·山东省平邑县第一中学）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
考点六 三角的面积
【例6-1】（2022·全国·高三）点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．3
【一隅三反】
1．（2022·上海交大附中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三）P是所在平面内一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川凉山）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个B．个C．个D．个