新高考数学一轮复习高频考点讲与练第5章第03讲 平面向量的数量积（知识+真题+11类高频考点)( 精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点讲与练第5章第03讲 平面向量的数量积（知识+真题+11类高频考点)( 精讲）（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了平面向量数量积有关概念，平面向量数量积的运算，极化恒等式，常用结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19507" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19507 \h 1
\l "_Tc1869" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc1869 \h 3
\l "_Tc9802" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9802 \h 4
\l "_Tc16167" 高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析 PAGEREF _Tc16167 \h 4
\l "_Tc7945" 高频考点二：平面向量数量积的几何意义 PAGEREF _Tc7945 \h 4
\l "_Tc7205" 高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积） PAGEREF _Tc7205 \h 6
\l "_Tc14837" 高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算） PAGEREF _Tc14837 \h 7
\l "_Tc7881" 高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角） PAGEREF _Tc7881 \h 7
\l "_Tc31855" 高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数） PAGEREF _Tc31855 \h 9
\l "_Tc10826" 高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积） PAGEREF _Tc10826 \h 11
\l "_Tc19140" 高频考点八：向量的垂直关系 PAGEREF _Tc19140 \h 11
\l "_Tc12264" 高频考点九：向量的投影（投影向量) PAGEREF _Tc12264 \h 12
\l "_Tc7858" 高频考点十：平面向量的综合应用 PAGEREF _Tc7858 \h 13
\l "_Tc25061" 高频考点十一：最值范围问题 PAGEREF _Tc25061 \h 15
\l "_Tc27399" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc27399 \h 16
\l "_Tc4897" 备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题 PAGEREF _Tc4897 \h 16
\l "_Tc23879" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc23879 \h 17
第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 ．
4．（2023·上海·高考真题）已知,，求
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
例题1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．0B．1C．2D．3
例题2．（多选）已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
精练高频考点
1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
2．（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．若，且，则D．
3．（多选）已知任意的非零平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
例题1．（24-25高二下·广东汕尾·期末）如图，已知圆C的弦的长度为4，则的值是（ ）．
A．4B．6C．8D．10
例题2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 .
例题3．（24-25高一下·上海·期末）已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知为的外心，，则 ．
3．（24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是 .
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
例题1．（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（ ）.
A．1B．2C．3D．4
例题2．（24-25高一下·福建南平·期末）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．若向量满足，则 ．
例题4．（2025高三·全国·专题练习）设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（24-25高一下·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（ ）
A．B．C．3D．7
2．（24-25高一下·辽宁大连·期末）在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）
A．2B．C．1D．
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是 ．

高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
例题1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）若向量与的夹角为，且，则（ ）
A．2B．C．D．6
例题3．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知单位向量，满足，则 ．
例题4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知平面向量、、、，且，若，，则的最小值为 .
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．或C．或1D．
3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·上海·期中）已知则 ．
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
例题1．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值．
例题3．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长度；
(2)若与交于点，求．
精练高频考点
1．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·福建宁德·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，是的中点，与交于点，设，．
(1)用，表示向量，；
(2)求的余弦值．
3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点．
(1)当时，求实数的值；
(2)当时，求向量与的夹角的余弦值．
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题
例题1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知向量，与的夹角为锐角的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．且C．D．
例题2．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，．
(1)若、、三点共线，求的值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
练高频考点
1．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量，，．
(1)若，求；
(2)若在方向上的投影数量为1，求m的值；
(3)若，的夹角为锐角，求m的取值范围．
3．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，．
(1)是线段上靠近的三等分点，求点的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题
例题1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量是单位向量，且，则为（ ）
A．1B．C．D．2
例题2．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则 ．
例题3．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知向量，满足，，则 .
精练高频考点
1．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）若向量，都是单位向量，且满足，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知向量满足，则 ．
3．（24-25高一下·广西梧州·阶段练习）已知单位向量满足，则 .
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
例题1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
例题3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知向量.
(1)求的值；
(2)若向量与垂直，求k的值.
精练高频考点
1．（23-24高二下·四川德阳·期末）平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．9C．D．7
2．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 .
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，，若，则 .
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
例题1．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ．
精练高频考点
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖北·模拟预测）向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为 .
高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）若向量满足，且对任意的单位向量，求的最大值和最小值．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，点，，.
(1)求以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数满足，求的值；
(3)求以线段为邻边的平行四边形的面积.
例题3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）如图，等腰中，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段的一点，且过点的直线与边分别交于点，已知，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，，，，，求的取值范围．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知在矩形中，，若是上的动点，求的最小值．
3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知等边的边长为2，的半径为1，为任意一条直径．
(1)判断是否为定值；
(2)求的取值范围．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
例题1．（2025·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（24-25高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 .
例题4．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ．
精练高频考点
1．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2025·重庆·三模）已知矩形的边，，点P，Q分别在边上，若则的最小值为 .
3．（2025高三·全国·专题练习）在矩形ABCD中，，，点M，N分别为边，上的动点，且，则的最小值是 ．
4．（24-25高一下·天津西青·期中）在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则 .若，点为线段上的动点，则的最小值为 .
第四部分：典型易错题型
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题
1．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为 ．
3．已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
4．已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．
第五部分：新定义题
1．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（ ）
A．B．3C．D．6
2．若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则下列选项错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若Rt中，，则
D．若中，，则是等腰三角形
4．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则线段的长度为1
C．已知，则
D．已知，则的最大值为