新高考数学一轮复习核心考点练习第6章§6.5数列求和（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点练习第6章§6.5数列求和（2份，原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了5　数列求和，数列求和的几种常用方法，裂项求和常用的三种变形等内容，欢迎下载使用。
【知识梳理】
1.数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n−1)2d.
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝na1,q＝1,a1(1−qn)1−q＝a1−anq1−q,q≠1.
(2)分组求和法与并项求和法
①分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
②并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
(4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧
①1n(n＋1)＝1n－1n＋1.
②1n(n＋2)＝121n−1n＋2.
③1(2n−1)(2n＋1)＝1212n−1−12n＋1.
④1n＋n＋1＝n＋1－n.
⑤1n(n＋1)(n＋2)＝121n(n＋1)−1(n＋1)(n＋2).
【名师点拨】
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
2.12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6).
3.裂项求和常用的三种变形
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
【随堂练习】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝eq \f(a1－an＋1,1－q).( )
(2)当n≥2时，eq \f(1,n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1))).( )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和.( )
(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝eq \f(3n－1,2).( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√
【解析】(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝(－1)n，则数列{an}前2 025项和为( )
A.－1 011B.－1 012C.1 013D.1 014
【答案】D
【解析】由题意可知，当n为偶数时，an＋an＋1＝(－1)n＝1，
因此，数列{an}前2 025项和为S2 025＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 024＋a2 025)＝2＋1×1 012＝1 014.
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋n2n等于( )
A.2n−n−12nB.2n＋1−n−22n
C.2n−n＋12nD.2n＋1−n＋22n
【答案】B
【解析】由Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n，①
得12Sn＝122＋223＋…＋n−12n＋n2n＋1，②
①－②得，12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝121−12n1−12－n2n＋1＝1－n＋22n＋1＝2n＋1−n−22n＋1，
∴Sn＝2n＋1−n−22n.
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1n(n＋1)，则通项公式an＝ .
【答案】3－1n
【解析】因为an＋1＝an＋1n(n＋1)，
即an＋1－an＝1n－1n＋1，
则an－an－1＝1n−1－1n，n≥2，
所以an－a1＝an－an－1＋an－1－an－2＋an－2－an－3＋…＋a3－a2＋a2－a1＝1n−1－1n＋1n−2－1n−1＋1n−3－1n−2＋…＋12－13＋1－12＝1－1n，n≥2，
又因为a1＝2，所以an＝1－1n＋a1＝3－1n，n≥2.
又a1＝3－11＝2，符合上式，
所以an＝3－1n，n∈N*.
【名师点拨】谨防三个易误点
(1)并项求和时注意哪些项进行并项.
(2)裂项时注意是否还有系数及是否前后相邻的项相消.
(3)错位相减后构造的等比数列的项数是否是n项.
【必练核心题型】
题型一 分组求和与并项求和
【典例】1.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足an＋2＝an＋2,n为偶数,2an,n为奇数,且a1＝2，a2＝1，则S20等于( )
A.1 023B.1 124C.2 146D.2 145
【答案】C
【解析】根据递推公式可知，数列的奇数项依次为：2，22，23，…，为等比数列；
数列的偶数项依次为：1，3，5，…，为等差数列.
所以S20＝10×1＋10×92×2＋2(1−210)1−2＝100＋211－2＝2 146.
【典例】2.已知数列{an}是等差数列，a1＝tan 225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－1)nan}的前n项和，则S2 026等于( )
A.2 026B.－2 026
C.3 039D.－3 039
【答案】C
【解析】由已知a1＝tan 225°＝tan (180°＋45°)＝tan 45°＝1，故a5＝13a1＝13，
设数列{an}的公差为d，可得d＝a5−a15−1＝13−15−1＝3，
所以S2 026＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2 026－a2 025)＝1 013d＝3 039.
【解题技巧】
(1)分组求和法常见题型
①若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
②若数列{cn}的通项公式为cn＝an,n为奇数,bn,n为偶数,
其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(2)并项求和法常见题型
①数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.
②数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和.
【变式训练】
变式1.已知数列{an}满足an＝2×(－2)n－1＋n－2.求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】由于an＝2×(－2)n－1＋n－2，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝2×(－2)0＋(－1)＋2×(－2)1＋0＋2×(－2)2＋1＋…＋2×(－2)n－1＋n－2
＝2×[(－2)0＋(－2)1＋(－2)2＋…＋(－2)n－1]＋[(－1)＋0＋1＋…＋(n－2)]
＝2×1−(−2)n1−(−2)＋n[(−1)＋(n−2)]2
＝23－2×(−2)n3＋n(n−3)2.
题型二 裂项相消法求和
【典例】1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝lg2a2n－1，cn＝1bnbn＋1，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn0，∴1－12n＋1