2027年高考数学一轮复习讲义 第01讲 集合及其运算

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知识点 1集合核心概念
关系
第 01 讲 集合及其运算
知识精讲
集
合 与 第 常
01
用
讲 逻
辑
集 用
属于：；不属于：；合 语
及
元素三特性其
确定性：元素是否在集合中可判定运
算
：集合中元素互不相同
无序性：元素顺序不影响集合
常用数集
自然数集N 、正整数集N 或N+ 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集 R
1
表示方法
列举法、描述法、Venn 图法
自主检测(安徽合肥市第一中学 2026 届高三最后一卷)已知集合? = {? |?−? ≤ 0 } (? ∈ ?)，若2 ∉ ?，则?
?+?
的取值范围是（ ）
A．(−2,2]B．[−2,2]C．(−2,2)D．[−2,2)
知识点 2集合间关系
自主检测(安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校 2026 届年高三下学期 5 月学
必记结论
含 n 个元素的集合，子集数2n ，真子集数2n 1。
子集关系的传递性，即 A  B, B  C  A  C .
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
情自测)已知集合? = {?||? + 1| ≥ 1}，? = {? ∣ −2 ≤ ? < 0}，则（ ）
A．? ⊆ ?B．? ⊆ ?C．? ∩ ? = ∅D．? ∪ ? = ?
关系
符号
核心含义
子集
A  B
A 中所有元素都属于 B
真子集
AB
A⊆B 且 B 中至少一个元素∉A
相等
A  B
A⊆B 且 B⊆A
空集

不含任何元素，是任何集合的子集
知识点 3集合基本运算
(合肥市第五中学等校 2026 届高三下学期 5 月教学质量检测)已知集合? = {?|?2 − 8? + 15 ≤
集 合 与 第 常
用
讲 逻
辑 集 用合 语及 其 运 算
0,?
1.
2.
2
01
运算
文字语言
符号表示
Venn 图
交集
由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合
AB
并集
由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合
AB
补集
由全集 U 中集合 A 的所有元素组成的集合
U A
自主检测
∈ ?}，? = {?|2? < ?2,? > 0}，则? ∩ ? =（ ）
A．(2,5]B．[3,4]C．(2,5)D．[3,4)
知识点 4核心性质与思想
A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B
A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A
U（ U A)  A
3.
U（AB)  U AU B
4.
U ( AB)  U AU B
​
自主检测若全集? = {? ∈ ?| − 1 ≤ ? < 6}，集合? = {1,3,4,5}，? = {−1,0,1,2,4}，则(?U?) ∩ ? =（ ）
A．{2}B．{0,2}C．{−1,0}D．{−1,0,2}
题型突破
题型 1元素与集合的关系
例 1-1(2026 年安徽省示范高中皖北协作区第 28 届联考数学试题)已知集合? = {? ∣ ?2 − ? − 6 ≤ 0}，若
? ∈ ?，且? + 3 ∈ ?，则 a 的取值范围是（ ）
A．[−2,3]B．[−3, −1]C．[−2,0]D．[−3,2]
例 1-2(重庆市 2025 届学业质量调研抽测 （第二次）数学试题)已知全集? = {1,2,3,4,5}，集合?满足
A．3 ∉ ?B．2 ∈ ?C．5 ∈ ?D．4 ∈ ?
方法技巧判断元素与集合关系
直接法：集合元素明确列出时，直接判断元素是否在集合内。
推理法：集合用描述法表示时，先明确元素满足的条件，再验证元素是否符合。
符号区分：∈（属于） 用于元素与集合；⊆（包含于） 用于集合与集合。
易错分析
混淆元素与集合、集合与集合的关系符号，如把 0⊆A 写成 0∈A。
集 合 与 第 常
01
用
讲 逻
语
辑 集 用合
【变式训练 1-1】已知集合? = {? ∣ |? − 4| < 5}, ? = {? ∣ 0 < ln? < 2}，则下列命题错误的是（ ）及
运
A．∃?0 ∈ ?, ?0 ∉ ?B．∀? ∈ ?, ? ∈ ?其
C．∃?0 ∈ ?, ?0 ∈ ?D．∀? ∈ ?, ? ∉ ?算
【变式训练 1-2】已知集合? = {?|? ≥ −1}，则正确的是
A．0⊆AB． {0} ∈ ?C．? ∈ ?D．{0} ⊆ ?
3
【变式训练 1-3】已知集合? = {?|−2 < ? < 2 }，?为虚数单位，? = |1 + ?|，则下列选项正确的是
（ ）
A．? ∈ ?B．{?} ∈ ?C．{?} ⊄ ?D．? ∉ ?
题型 2元素特征
例 2-1（河南省实验中学 2026 届高三下学期临门押题实战演练数学（一））已知集合? =
{? ∣ ?2 − 14? + 40 = 0}，? = {4, ? + 1, ?2 + 1}，若? ⊆ ?，则实数?的取值集合为（ ）
A．{9}B．{−3,3}C．{−3,9}D．{−3,3,9}
A．−1或1B．−1或2C．1或2D．−1或1或2
方法技巧应用集合元素的特性解题的要点
1.
2.
3.
解题核心：先明确集合元素是什么，再用三特性检验。
求参数时：先由确定性列方程求参数，再用互异性排除重复元素。
无序性：集合元素顺序不影响集合本身。
易错分析
求参数后忘记检验互异性，导致出现重复元素，答案错误。
例 2-2
（福建南安市成功中学 2026 届高三数学考前推送试题（一））已知集合? = {3,4, ?2}，? =
{4, ? + 2}，若? ∩ ? = ?，则? =（ ）
【变式训练 2-1】(25-26 高三下·西藏日喀则某校·模拟)集合? = {1, ?}，? = {0, ?2, −? − 2}．若? ⊆ ?，则实数? =（ ）
A．0B．2C．3D．-1
集 【变式训练 2-2】已知集合? = {1,4, ? + 2}，? = {1, ?2}，且? ∩ ? = ?，则? =（ ）
合A．1B．−1C．2D．−2
与
第 常 【变式训练 2-3】(江西宜春中学等校 2026 届高三年级 5 月高考大练兵数学试题)若集合? = {2, ?, ?2}，
01
用
讲
逻 ? = {2,4}，且? ⊆ ?，则?的值为（ ）
集 用
辑A．4B．2 或 4C．−2或 4D．±2或 4
合 语
其
及题型 3集合间关系
运算
例 3-1(陕西榆林市横山中学 2026 届高三下学期考前自测数学试题）设集合? = {1,2,3}，? = {2,3,4}，
? = {1,2,3,4,5,6}，则（ ）
4
? ∩ ? = ∅B．? ∪ ? = ?C．? ∪ ? = ?D．? ∩ ? = ?
例 3-2(25-26 高三下·辽宁大连某校·调研)已知集合? = {?|?? = 1,? ∈ ?}，? = {−1,1}，则“? ∈ ?”是“? ⊆
?”的（ ）
充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
）
2
|
{? 1 < 2? < 128 }，? = {?, ? + 6}，? ⊆ ?，则 a 的取值范围是（
【变式训练 3-1】（辽宁铁岭市开原市高级中学等校 2026 届高三考前模拟数学试题）已知集合? =
A∩B=A ⇔ A⊆B A∪B=A ⇔ B⊆A
易错分析易忽略集合为空集
忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含参数时必须讨论A=∅的情况。
离散数集：按包含关系列方程求解。
核心转化：
连续数集：用数轴标范围，注意端点虚实。
1.
2.
3.
方法技巧由集合间的关系求参数的解题方法
A．[−1,2]B．[−1,1]C．(−1,2)D．(−1,1)
【变式训练 3-2】（河南湘豫名校 2026 届高三下学期 5 月预测联考数学试卷）已知集合? =
{?|lg2? < 3 }，? = {?|√? + 1 < 2 }，则（ ）
A．? ⊆ ?B．? ∩ ? = (0,3)C．? ∪ ? = (−∞, 3) D．?R? = [3, +∞)
【变式训练 3-3】（江苏徐州市 2026 届高三模拟预测数学试题）已知集合? = {−1,0}，? =
{?|?2 + ?? + ? = 0}，若? = ?，则?? =（ ）
A．2B．1C．0D．−1
集
题型 4（真）子集的个数合
与
第 常
01
用
例 4-1 设全集? = {1,2,3,4,5}，集合? = {1,3,5}，则???的真子集的个数为（ ）讲 逻辑
B．3C．4D．7集 用
语
合
例 4-2(湖南省衡阳市衡阳县 2026 届高三考前学情调研数学试题）设集合? = {? ∈ Z| ?2 < 5}, ? =及
其
{1,2,3}，则? ∩ ?的子集的个数为（ ）运
B．2C．3D．4算
【变式训练 4-1·变载体】已知集合? = {(?, ?)|? = sin? }，? = {(?, ?)|? = ? }，则? ∩ ?的子集个数为
（）
5
A．8B．6C．4D．2
【变式训练 4-2】(江西重点中学协作体 2026 届高三第二次联考数学试题）已知集合? =
{?|1 ≤ ?2 < 9}，集合? = {? ∈ ?| − 27 < ?3 ≤ 27}，则集合? ∩ ?的真子集个数为（ ）
B．4C．15D．16
【变式训练 4-3】（河南省周口市扶沟县高级中学 2026 届高三下学期三月质量检测数学试卷）已知集合
? = {−2, −1,0,1,2}，? = {?| ?−1 ≤ 0} ，则集合? ∩ ?的真子集的个数为（ ）
?+1
A．8B．7C．4D．3
题型 5集合基本运算
例 5-1（2026·四川华蓥中学·模拟）若全集? = {? ∈ N|? ≤ 7}，集合? = {1,3,4,5,6,7}，? =
{−1,0,1,2,4,5}，则? ∩ (?U?) =（）
A．{2}B．{−1,0}C．{0,2}D．{−1,0,2}
1.
2.
3.
4.
1.
2.
方法技巧
交：A∩B → 既在 A 又在 B
并：A∪B → 在 A 或在 B
补：?ᵤA → 全集中不在 A 的元素
工具：连续数集用数轴，离散数集直接列举。
易错分析
补集运算忘记全集范围。 端点取舍错误（如≤和 1}，则?U? =（ ）
A．(−∞, −1]B．[−1,0)C．[−1,1]D．(1, +∞)
01
【变式训练 5-2】（2026·天津北辰·二模）已知全集? = {? ∈ ?|−3 < ? ≤ 5 }，? = {3,4,5}，? =
{−2, −1,0,1,2,3}，则(???) ∩ ? =（ ）
A．{−1,0,1,2}B．{−2, −1,0,1,2}
C．{−3, −2, −1,0,1}D．{−1,0,1,2,3}
【变式训练 5-3】（2026·沧州南皮一中·考前预测）已知全集? = {? ∈ ?*|? = √7 − ? }，? =
{? ∈ ?*|? = 2?, ? ∈ R, ? < 2 }，? = {3,4,6}，则(?U
?) ∩ ? =（ ）
{3,4}B．{4,6}C．{3,5}D．{5,7}
【变式训练 5-4】（2026·山东威海·二模）已知集合? = {3,5, ?2}, ? = {3, ? + 4}, ??? = {1}，则? =
（ ）
6
B．−1C．2D．−2
【变式训练 5-5】（25-26 高三下·铁岭高级中学&铁岭清河高级中学·学情调研）已知集合? = {1,3,6}，
? = {?|3? − 11 > 0 }，则(?R?) ∩ ? =（ ）
A．{3,6}B．{1,3}C．{1}D．{3}
【变式训练 5-6】（2026·广东肇庆·二模）设全集? = ?，集合? = {? ∣ ? = 4? + 1, ? ∈ ?}, ? =
{? ∣ ? = 4? + 3, ? ∈ ?}，则??(? ∪ ?) =（ ）
A．{? ∣ ? = 2? + 1, ? ∈ ?}B．{? ∣ ? = 2?, ? ∈ ?}
C．{? ∣ ? = 4? + 2, ? ∈ ?}D．{? ∣ ? = 4?, ? ∈ ?}
题型 6Venn 图的应用
例 6-1（2026·广东实验中学越秀学校·考前自测）已知集合? = {−1,0,1,2,4}, ? = {? ∈ Z∣?3 ≤ 3?}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．{−1,2,4}B．{0,1,2}
C．{−2,4}D．{−1,0,1}
例 6-2(安徽合肥市肥东一中大数据联考 2026 届高三毕业班考前质量检测)为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高三某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有 5 人，只
参加AI技术培训的人数为（ ）
A．5B．6C．8D．10
方法技巧德・摩根定律阴影部分：先看是交 / 并 / 补哪种组合，再对应计算。
德・摩根定律：?ᵤ(A∪B) = ?ᵤA ∩ ?ᵤB；?ᵤ(A∩B) = ?ᵤA ∪ ?ᵤB。
易错分析看错阴影区域看错阴影区域，把 A∩? ᵣ B 看成? ᵣ A∩B。
集 合 与 第 常
01
用
讲 逻
辑 集 用合 语及
【变式训练 6-1】（2026·福建泉州·模拟）设集合? = {1,2,3,4}，? = {?|2? < 8}，则Venn图中阴影部分表其
运
示的集合是（ ）算
A．{4}B．{1,2}C．{3,4}D．{2,3,4}
7
【变式训练 6-2】（2026·河北唐山·一模）已知全集 U 及其两个非空真子集 M，N，则??(? ∪ ?) =
（ ）
A．∅B．? ∩ ?C．(???) ∩ (???)D．(???) ∪ (???)
题型 7运算确定集合或参数
例 7-1（2025·新疆喀什巴楚一中·二模）已知集合? = {?|? ≤ 2}，? = {?|?2 − 2? − 3 ≥ 0 }，? =
{?|? > ? }且? ∪ (?R?) ∪ ? = R，则实数?的取值范围为（ ）
A．(−1, +∞)B．(−∞, 3)
C．(−∞, −1]D．(−∞, 3]
例 7-2 已知函数?(?) = ?e−?, ?(?) = 1 ?2 − ln? + ?，若∃? , ?
∈ [1,2]，使得?(? ) = ?(? )，则实数?的
2
取值范围是（ ）
A．
2 11
(+ ln2 − 2, −
1 212
2
e2e)
B．[ 2 + ln2 − 2, 1 − 1]
e2e2
C．(1 − 1 , 2 − ln2 + 2)
2e e2
D．[1 − 1 , 2 − ln2 + 2]
2e e2
方法技巧求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路
01
1.
2.
3.
先化简集合，再把运算关系转成包含关系。
数轴法：画数轴定范围，列不等式组。
分类讨论：含参数时按空集、非空集讨论。
1.
2.
易错分析
列不等式时端点没等号，范围扩大 / 缩小。忽略参数使集合为空集的情况。
端点没等号
集 合 与 第 常
用
讲 逻
辑 集 用合 语及 其 运 算
【变式训练 7-1】（2024·陕西洛南中学·冲刺预测）已知全集? = ?, ? = {? ∣ ?2 + 4? + 3 = 0}, ? =
{? ∣ ?2 + (? + 1)? + ? = 0}，若(?U?) ∩ ? = ∅，则实数?的值为（ ）
A．1
B．3
C．-1 或-3
D．1 或 3
【变式训练 7-2】已知集合? = {? ∈ Z| − 1 < ? < 3}，? = {?|3? − ? < 0}，且? ∩ (?R?) = {1,2}，则?的
取值范围为（
）
A．(0,4)
B．(0,4]
C．(0,3]
D．(0,3)
题型 8容斥原理的应用
例 8-1【新情景】（2026·内蒙古赤峰·模拟）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出
充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有 50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有 40%的
8
作物为高茎，并且样本中约有 30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
例 8-2 某班有 45 名学生，其中 20 人喜欢篮球，25 人喜欢乒乓球，10 人对这两项运动都不喜欢.则同时
喜欢篮球和乒乓球的人数为（ ）
A．5B．10C．15D．20
方法技巧在排列组合中的应用
容斥定理在排列组合中应用更广泛，一般应用与存在两个限制条件的排列组合问题中，结合正难则反的思想解决问题。
运用公式： n（A B）=n（A）+n（B）-n（A B）
易错分析
重复计数，多算 / 少算交集部分。
【变式训练 8-1】向 50 名学生调查对?､?两事件的态度，有如下结果：赞成?的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成?的比赞成?的多 3 人，其余的不赞成；另外，对?, ?都不赞成的学生数比对
?, ?都赞成的学生数的三分之一多 1 人.则下列说法错误的是（ ）
赞成?的不赞成?的有 9 人
赞成?的不赞成?的有 11 人
对?, ?都赞成的有 21 人集
对?, ?都不赞成的有 8 人合
与
【变式训练 8-2】已知集合?和集合?满足：? ∩ ?有 2 个元素，? ∪ ?有 6 个元素，且集合?的元素个数比第 常
01
用
集合?的元素个数多 2 个，则集合?的所有子集个数比集合?的所有子集个数多（ ）讲 逻
用
A．22B．23C．24D．25集 辑合 语及
题型 9 新定义问题其
运算
例 9-1(25-26 高三下·辽宁多校联考·三模)定义集合运算：? ⊗ ? = {?|? = ??, ? ∈ ?, ? ∈ ? }，设集合? =
{0,1}，? = {2,3}，则集合? ⊗ ?的所有元素之和为（ ）
9
A．0B．2C．3D．5
例 9-2（2026·河南开封·二模）定义集合? − ? = {?|? ∈ ? 且? ∉ ?}，已知集合? = {1, ?}，? = {2, ?}，若
? − ? = {1}，则下列一定成立的是（ ）
A．? = 2B．? ≠ 1C．? ∩ ? = {2}D．? − ? = {2}
易错分析
曲解新定义，用常规集合运算代替题目规定规则。
分步：先理解新符号含义→代入元素→按规则计算→检验集合特性。
新定义集合：先列举所有元素，再求交、并、补或个数。
严格按题目定义运算，不套用旧公式。
1.
2.
3.
方法技巧
【变式训练 9-1】(25-26 高三·上海徐汇区·)设? ∈ ?. 定义点? (?, 1 ? − 1)的? −相伴集合为?
2
{(?, ?) ∣ |? − ?| ≤ ? 且|? − (1 ? − 1)| ≤ ?}，其中?为正实数. 给出以下两个命题：
2
①若? = 0，则其1 −相伴集合??−1所对应平面图形的面积为 2；
?−? =
②设?0 > 0，若对任意实数?及任意? ≤ ?0，集合??−?所对应平面图形与抛物线?2 = 2?均无公共点，则
?0
< 7 .
12
则正确的选项是（ ）
A．①是真命题，②是真命题B．①是假命题，②是假命题
2027 新高考数学一轮总复习
C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题
【变式训练 9-2】已知集合?? = {? ∈ N ∣ 2? < ? < 2?+1, ? ∈ ?*}，? = {? ∣ ? = 3?, ? ∈ ?*}，记?? =
集 合 与 第 常
用
讲 逻
辑 集 用合 语及 其 运 算
?? ∩ ?，则（ ）
A．??中有2?−1个元素
B．?10
中的最大元素为 2046
C．当?为偶数时，? 中有2?−1个元素
01
?3
D．当?为奇数时，??中的元素之和为22?−1 + 2?−1
真题训练
单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合? = {−4,0,1,2,8}, ? = {? ∣ ?3 = ?},则? ∩ ? =（ ）
{0,1,2}B．{1,2,8}
C．{2,8}D．{0,1}
10
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合? = {?|?是小于 9 的正整数}，? = {1,3,5}，则???中元素个数为（ ）
A．0B．3C．5D．8
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合? = {? ∣ −5 < ?3 < 5}, ? = {−3, −1,0,2,3}，则? ∩ ? =（ ）
A．{−1,0}B．{2,3}C．{−3, −1,0}D．{−1,0,2}
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合? = {1,2,3,4,5,9}, ? = {?|√? ∈ ? }，则??(? ∩ ?) =（ ）
A．{1,4,9}B．{3,4,9}C．{1,2,3}D．{2,3,5}
5．（2024·天津·高考真题）集合? = {1,2,3,4}，? = {2,3,4,5}，则? ∩ ? =（ ）
A．{1,2,3,4}B．{2,3,4}C．{2,4}D．{1}