2027届高中数学高考一轮复习讲义1.1　集合

这是一份2027届高中数学高考一轮复习讲义1.1　集合，共14页。

[知识重构]
1.集合的概念
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于、不属于两种,用符号∈,∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
|微点拨|
在解答集合问题时,要注意集合中元素的特征,特别是互异性对集合元素的限制.
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作AB(或B⫌A).
(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
[常用结论]
1.已知集合A中有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n-1个真子集,它有2n-1个非空子集,它有2n-2个非空真子集.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
[诊断自测]
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.(×)
(2)集合{x|x=x3}用列举法表示为{-1,1}.(×)
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×)
(4){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×)
2.(人教A版必修第一册例题改编)已知集合A={x|x2-4x-2},所以∁RS={x|x≤-2}.而T={x|-4≤x≤1},所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.
考点一 集合的基本概念
例1 (1)已知集合A={0,1,2},B={1,2,3},若集合C={xy|x∈A,y∈B},则C的元素之和为( )
A.9B.12
C.16D.18
(2)若含有3个实数的集合既可表示成a,ba,1,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 026+b2 026= .
答案 (1)C (2)1
解析 (1)因为0×1=0×2=0×3=0,1×1=1,1×2=2×1=2,1×3=3,2×2=4,2×3=6,
所以集合C={0,1,2,3,4,6},集合C的元素之和为0+1+2+3+4+6=16.
(2)因为a,ba,1={a2,a+b,0},显然a≠0,所以ba=0,即b=0,
此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0},则a2=1,解得a=1或a=-1.
当a=1时,不满足互异性,故舍去;
当a=-1时,满足题意.
所以a2 026+b2 026=(-1)2 026+02 026=1.
解决集合含义问题的关键点
1.确定构成集合的元素.
2.确定元素的限制条件.
3.根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.
1.已知集合M={1,a+3,a2+2},且6∈M,则a的值为 .
答案 2或3
解析 由M={1,a+3,a2+2},且6∈M,得a+3=6或a2+2=6,
解得a=3或a=±2,
当a=3时,M={1,6,11},符合题意;
当a=2时,M={1,5,6},符合题意;
当a=-2时,M={1,1,6},不符合元素的互异性,舍去.
所以a的值为2或3.
2.若集合{x|x2+2kx+1=0}中有且仅有一个元素,则满足条件的实数k的取值集合是 .
答案 {1,-1}
解析 若集合{x|x2+2kx+1=0}中有且仅有一个元素,则方程x2+2kx+1=0有两个相等的实数根,即Δ=(2k)2-4=0,解得k=±1,所以k的取值集合是{1,-1}.
考点二 集合间的基本关系
例2 (1)已知集合M=xx=k+12,k∈Z,N=xx=k2+1,k∈Z,则( )
A.M⊆NB.N⊆M
C.M=ND.M∩N=⌀
(2)已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为 .
答案 (1)A (2)[-2,2)
解析 (1)M=xx=k+12,k∈Z=xx=2k+12,k∈Z,N=xx=k2+1,k∈Z=xx=k+22,k∈Z,因为2k+1,k∈Z表示所有的奇数,而k+2,k∈Z表示所有的整数,则M⊆N.
(2)①若B=⌀,则Δ=m2-4