第1讲　集合及其运算高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第1讲　集合及其运算高考数学一轮复习讲义练习，共12页。
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1. (人A必一P9习题T1改)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是( D )
A. 1∈A B. {－1}⊆A
C. ∅⊆A D. {－1，1}∉A
2. (多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是( BC )
A. A∪B＝B
B. (∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}
C. A∩B＝{x|1＜x≤2}
D. (∁RB)∪(∁RA)＝R
【解析】 因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}．因为2＜2x≤8，所以1＜x≤3，所以B＝{x|1＜x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}，(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1或x＞2}．
3. (人A必一P35复习参考题T9改)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_2_．
【解析】 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即 a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2.
4. (人A必一P9习题T5改)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_[2，＋∞)_．
【解析】 由B⊆A，利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
(第4题答)
聚焦知识
1. 集合与元素
(1) 集合中元素的三个特性：_确定性_、_互异性_、_无序性_．
(2) 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4) 常见集合的符号表示
2. 集合间的基本关系
注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有_2n_个子集，_2n－1_个真子集．
3. 集合的基本运算
4. 常见结论与等价关系
(1) A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2) (∁UA)∪A＝_U_；∁U(∁UA)＝_A_．
(3) 摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
研题型 素养养成
举题说法
集合中元素的性质
例1 (1) 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是_{1，－1}_．
【解析】 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}．
(2) 已知a，b∈R，若 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 024＝( C )
A. －1B. 0
C. 1D. －1或0
【解析】 因为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b，0}，所以b＝0，所以{a，0，1}＝{a2，a，0}，则1＝a2且a≠1，解得a＝－1，故a2 024＋b2 024＝1.
集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面利用互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确．
变式1 (1) (2025·沈阳期初联考)设集合A＝{2，3，4，5}，B＝{1，a＋2，2a＋1}．若A∪B＝{x∈N*|x＜6}，则实数a＝_2_．
【解析】 因为A∪B＝{x∈N*|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，所以B⊆A∪B，即{1，a＋2，2a＋1}⊆{1，2，3，4，5}，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＜a＋2≤5，,1＜2a＋1≤5，,a＋2≠2a＋1，,a∈Z，))解得a＝2.当a＝2时，A＝{2，3，4，5}，B＝{1，4，5}，满足条件．
(2) 已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝_1或 eq \f(5,3)_．
【解析】 ①若a2－1＝0，则a＝±1.当a＝1时，x＝－ eq \f(1,2)，此时A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，符合题意；当a＝－1时，A＝∅，不符合题意．②若a2－1≠0，则Δ＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝ eq \f(5,3)，此时A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))，符合题意．综上所述，a＝1或 eq \f(5,3).
集合间的关系
例2 (1) (2024·潍坊、滨州一模)已知集合A＝{x|lg3(2x＋1)＝2}，B＝{2，a}，其中a∈R.若A∪B＝B，则a＝( D )
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【解析】 由lg3(2x＋1)＝2，得2x＋1＝32，解得x＝4，所以A＝{x|lg3(2x＋1)＝2}＝{4}．又B＝{2，a}，A∪B＝B，故A⊆B，所以a＝4.
(2) (2024·济宁一模)设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|－a≤x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是_[3，＋∞)_．
【解析】 由集合A＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|(x－3)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜3}，又B＝{x|－a≤x≤a}，且A⊆B，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a≤－2，,a≥3，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥2，,a≥3，))解得a∈[3，＋∞).
(3) (2024·苏中苏北八市三调)已知集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))，N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝\f(k,2)＋1，k∈Z))，则( A )
A. M⊆NB. N⊆M
C. M＝ND. M∩N＝∅
【解析】 M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))，N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝\f(k,2)＋1，k∈Z))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝\f(k＋2,2)，k∈Z))，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，k＋2，k∈Z表示所有的整数，所以M⊆N.
判断集合间关系的三种方法
变式2 (1) (2024·揭阳二模)(多选)若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是( ACD )
(变式2(1))
A. M＝{0，2，4，6}，N＝{4}
B. M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞－1}
C. M＝{x|y＝lg x}，N＝{y|y＝ex＋5}
D. M＝{(x，y)|x2＝y2}，N＝{(x，y)|y＝x}
【解析】 根据Venn图可知NM.对于A，显然NM，故A正确；对于B，M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M⊆N，故B错误；对于C，M＝{x|x＞0}，N＝{y|y＞5}，则NM，故C正确；对于D，M＝{(x，y)|y＝x或y＝－x}，N＝{(x，y)|y＝x}，则NM，故D正确．
(2) 已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是( A )
A. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))
B. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))
C. (－∞，－1)∪[0，＋∞)
D. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))∪(0，1)
【解析】 因为B⊆A，所以①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，当a＞0时，可得x≤－ eq \f(1,a)，要使B⊆A，则需 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,－\f(1,a)＜－1，))解得0＜a＜1；当a＜0时，可得x≥－ eq \f(1,a)，要使B⊆A，则需 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,－\f(1,a)≥3，))解得－ eq \f(1,3)≤a＜0.综上，实数a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)).
集合间的运算
视角1 集合的基本运算
例 3-1 (1) (2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x| eq \r(x)∈A}，则∁A(A∩B)＝( D )
A. {1，4，9}B. {3，4，9}
C. {1，2，3}D. {2，3，5}
【解析】 因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x| eq \r(x)∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}．
(2) (2024·河南济、洛、平、许三模)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|lg2(x2－4x＋5)＜1}，则A∪B＝( D )
A. {x|1＜x＜2}B. {x|2＜x＜3}
C. {x|－2＜x＜1}D. {x|－2＜x＜3}
【解析】 由|x|＜2得－2＜x＜2，即A＝{x|－2＜x＜2}．由lg2(x2－4x＋5)＜1得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋5＞0，,x2－4x＋5＜2，))解得1＜x＜3，即B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．
(3) (2024·南通模拟)设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B＝A∪C，那么下列各式一定成立的是( D )
A. B⊆A
B. C⊆A
C. A∩(∁UB)＝A∩(∁UC)
D. (∁UA)∩B＝(∁UA)∩C
【解析】 当U＝{1，2，3}，A＝{1}，B＝{2，3}，C＝{1，2，3}时，满足A∪B＝A∪C，此时B，C不是A的子集，所以选项A，B不一定成立．∁UB＝{1}，∁UC＝∅，A∩(∁UB)＝{1}，A∩(∁UC)＝∅，所以选项C不一定成立．对于D，若∀x∈(∁UA)∩B，则x∉A，但x∈B，因为A∪B＝A∪C，所以x∈C，于是x∈(∁UA)∩C，所以(∁UA)∩B⊆(∁UA)∩C；同理若∀x∈(∁UA)∩C，则x∈(∁UA)∩B，(∁UA)∩C⊆(∁UA)∩B，因此，(∁UA)∩B＝(∁UA)∩C成立，所以选项D成立．
(1) 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2) 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
变式 3-1 (2024·景德镇三检)已知全集U＝{x∈N*|x≤8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5，7}，则{1，6，8}是( D )
A. A∪(∁UB)B. ∁U(A∩B)
C. (∁UA)∪(∁UB)D. (∁UA)∩(∁UB)
【解析】 因为U＝{x∈N*|x≤8}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以画出Venn图如图所示．由图可知{1，6，8}＝∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
(变式3-1答)
视角2 利用集合运算求参数
例 3-2 (2024·阜阳一测)设集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，且S∪T＝R，则实数a的取值范围为( B )
A. (－∞，－3)∪(－1，＋∞)
B. (－3，－1)
C. (－∞，－3]∪[－1，＋∞)
D. [－3，－1]
【解析】 因为S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，且S∪T＝R，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜－1，,a＋8＞5，))解得－3＜a＜－1，即实数a的取值范围为(－3，－1).
变式 3-2 (2024·合肥一检)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是_(－∞，－3)∪(3，＋∞)_．
【解析】 由x2≤4，解得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}．因为A∩B＝∅，所以a＋1＜－2或a－1＞2，解得a＜－3或a＞3，所以a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).
集合新定义问题
例4 (2024·怀化二模)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T＝{|a－b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)＝1，那么称集合S为一个n元规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数)．对于集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}，N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}，则( C )
A. M是规范数集，N不是规范数集
B. M是规范数集，N是规范数集
C. M不是规范数集，N是规范数集
D. M不是规范数集，N不是规范数集
【解析】 对于集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}，由2∈M，2.5∈M，且|2－2.5|＝0.5＜1，得M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；对于集合N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}，|－1.5－(－0.5)|＝1，|－0.5－0.5|＝1，|0.5－1.5|＝1，|－1.5－0.5|＝|－0.5－1.5|＝2，|－1.5－1.5|＝3，即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集．
变式4 设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为( B )
A. 7B. 8
C. 9D. 10
【解析】 当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}．综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
随堂内化
1. (2023·全国甲卷文)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪(∁UM)＝( A )
A. {2，3，5}B. {1，3，4}
C. {1，2，4，5}D. {2，3，4，5}
【解析】 因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}．又N＝{2，5}，所以N∪(∁UM)＝{2，3，5}．
2. (2021·全国乙卷理)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( C )
A. ∅B. S
C. TD. Z
【解析】 任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故TS.因此，S∩T＝T.
3. (2024·聊城一模)已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x－a＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为( C )
A. (－∞，－2)B. (－∞，－2]
C. (2，＋∞)D. [2，＋∞)
【解析】 由|x|≤2，可得－2≤x≤2，故A＝{x|－2≤x≤2}．由x－a＜0，可得x＜a，故B＝{x|x＜a}．由A⊆B，得a＞2.
4. (2024·河南济、洛、平、许四模)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，2}，B＝{－1，1}，则集合A⊗B中的所有元素之和为_4_．
【解析】 A＝{0，2}，B＝{－1，1}，当x＝0，y＝±1时，z＝0；当x＝2，y＝－1时，z＝－2；当x＝2，y＝1时，z＝6，所以A⊗B＝{0，－2，6}，所以集合A⊗B中的所有元素之和为0＋(－2)＋6＝4.
5. 某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有_7_人．
【解析】 设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．画出Venn图如图所示，因为总参加人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人．
(第5题答)
配套精练
一、 单项选择题
1. (2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝( A )
A. {－1，0} B. {2，3}
C. {－3，－1，0} D. {－1，0，2}
【解析】 因为A＝{x|－ eq \r(3,5)＜x＜ eq \r(3,5)}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜ eq \r(3,5)＜2，从而A∩B＝{－1，0}．
2. (2023·全国乙卷文)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝( A )
A. {0，2，4，6，8} B. {0，1，4，6，8}
C. {1，2，4，6，8} D. U
【解析】 由题得∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．
3. (2024·南京、盐城一模)已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为( A )
(第3题)
A. A∩∁UB B. A∪∁UB
C. B∩∁UA D. B∪∁UA
【解析】 观察Venn图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为A∩∁UB.
4. (2024·连云港、如皋联考)已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是( C )
A. A＝B B. B⊆A
C. A∩(∁UB)＝∅ D. (∁UA)∩B＝∅
【解析】 因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，所以A⊆B.对于A，B，D，当A为B的真子集时，不成立；对于C，A∩(∁UB)＝∅，恒成立．
5. (2024·扬州期末)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B中元素的个数为( B )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】 方程x2＋y2＝2表示圆心为(0，0)，半径为 eq \r(2)的圆．由圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为 eq \f(|0＋0－2|,\r(2))＝ eq \r(2)，得直线与圆相切，只有一个交点，则A∩B中元素的个数为1.
6. (2024·临汾三模)已知集合A＝{x|x＞a}，B＝{x|1＜x≤2}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是( A )
A. (－∞，1] B. (－∞，1)
C. [2，＋∞) D. (2，＋∞)
【解析】 因为B＝{x|1＜x≤2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x＞2}，如图，又A∪∁RB＝R，所以a≤1.
(第6题答)
7. (2024·威海二模)在研究集合时，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|x＞m}，若card(M∩N)＝2，则实数m的取值范围为( A )
A. [2，3) B. [2，3]
C. (2，3) D. (2，＋∞)
【解析】 由题知M∩N＝{3，4}，所以2≤m＜3.
8. (2024·深圳二模)对于任意集合M，N，下列关系正确的是( B )
A. M∪(∁M∪NN)＝M∪N
B. ∁M∪N(M∩N)＝(∁M∪NM)∪(∁M∪NN)
C. M∩(∁M∪NN)＝M∩N
D. ∁M∪N(M∩N)＝(∁M∪NM)∩(∁M∪NN)
【解析】 若M，N如图所示，对于A，∁M∪NN为区域①，所以M∪(∁M∪NN)＝M，故A错误；对于B，∁M∪N(M∩N)为区域①和③，∁M∪NM为区域③，∁M∪NN为区域①，则(∁M∪NM)∪(∁M∪NN)也为区域①和③，两边相等，故B正确；对于C，∁M∪NN为区域①，M∩(∁M∪NN)为区域①，不等于区域②(区域②为M∩N)，故C错误；对于D，∁M∪N(M∩N)为区域①和③，而∁M∪NM为区域③，∁M∪NN为区域①，所以(∁M∪NM)∩(∁M∪NN)为空集，所以D错误．
(第8题答)
9. (2024·邢台一模)设集合A＝{x|x2－x≤6}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，则下列说法错误的是( A )
A. A∩B＝B
B. B∩Z的元素个数为16
C. A∪B＝B
D. A∩Z的子集个数为64
【解析】 对于A，B，C，因为A＝{x|x2－x≤6}＝{x|－2≤x≤3}，所以B＝{xy|x∈A，y∈A}＝{x|－6≤x≤9}，即A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，B∩Z有6＋1＋9＝16(个)元素，故A错误，B，C正确；对于D，A∩Z有2＋1＋3＝6(个)元素，所以A∩Z的子集个数为26＝64，故D正确．
10. (2024·石家庄三模)某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和1 500米”都参加的有3人，则下列说法不正确的是( C )
A. 三项比赛都参加的有2人
B. 只参加100米比赛的有3人
C. 只参加400米比赛的有3人
D. 只参加1 500米比赛的有1人
【解析】 根据题意，设A＝{x|x是参加100米比赛的同学}，B＝{x|x是参加400米比赛的同学}，C＝{x|x是参加1 500米比赛的同学}，则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加 1 500米比赛的有1人．
二、 多项选择题
11. 已知集合A＝{x|lg2x≤0}，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(y))\f(y＋1,y－1)≥0))，D＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(z))3z≥\f(1,9)))，则( BCD )
A. A∪D＝R B. A∩B＝∅
C. ∁R(A∪B)D D. ∁RDB
【解析】 由lg2x≤0，得0＜x≤1，所以A＝{x|0＜x≤1}．由 eq \f(y＋1,y－1)≥0，得(y＋1)(y－1)≥0且y－1≠0，得y≤－1或y＞1，所以B＝{y|y≤－1或y＞1}．由3z≥ eq \f(1,9)＝3-2，得z≥－2，所以D＝{z|z≥－2}.对于A，A∪D＝{x|x≥－2}≠R，所以A错误；对于B，A∩B＝∅，所以B正确；对于C，因为A∪B＝{x|x≤－1或x＞0}，所以∁R(A∪B)＝{x|－1＜x≤0}D，所以C正确；对于D，因为D＝{z|z≥－2}，所以∁RD＝{z|z＜－2}．又B＝{y|y≤－1或y＞1}，所以∁RDB，所以D正确．
12. (2025·邯郸期中)下列选项中的两个集合相等的有( AC )
A. P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}
B. P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}
C. P＝{x|x2－x＝0}，Q＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝\f(1＋(－1)n,2)，n∈Z))
D. P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}
【解析】 对于A，集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}表示偶数集，集合Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}也表示偶数集，所以P＝Q，故A正确；对于B，P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}＝{1，3，5，7，…}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}＝{3，5，7，9，…}，所以P≠Q，故B错误；对于C，P＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，又(－1)n＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n为偶数，,－1，n为奇数，))所以x＝ eq \f(1＋(－1)n,2)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(1，,n为偶数，,0，,n为奇数，)))即Q＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝\f(1＋(－1)n,2)，n∈Z))＝{0，1}，所以P＝Q，故C正确；对于D，集合P＝{x|y＝x＋1}＝R为数集，集合Q＝{(x，y)|y＝x＋1}为点集，所以P≠Q，故D错误．
13. 设Z表示整数集，且集合M＝{m|m＝5k－2，k∈Z}，N＝{n|n＝10k＋8，k∈Z}，则( AD )
A. M∪N＝M B. M∩N＝∅
C. (∁ZM)∪N＝Z D. (∁ZM)⊆(∁ZN)
【解析】 因为n＝10k＋8＝5×2k＋5×2－2＝5(2k＋2)－2，由k∈Z，得2k＋2∈Z，即N中元素都是M中元素，因此N⊆M.而对于集合M，当k＝1时，m＝3，故3∈M，但3D∈/N，所以NM.由NM，得M∪N＝M，A正确；M∩N＝N，B错误；由NM，得(∁ZM) (∁ZN)，又(∁ZN)∪N＝Z，所以(∁ZM)∪N≠Z，C错误，D正确．
14. 用Card(A)来表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则Card(A)＝3.已知U是全集，A，B是U的两个非空真子集，Card(U)＝24. ( ABD )
A. 若Card(A)＝18，则Card(∁UA)＝6
B. 若Card(B)＝18，Card(A∩B)＝8，则Card[(∁UA)∩B]＝10
C. 若Card(A)＝12，Card(B)＝16，Card(A∪B)＝20，则Card[(∁UA)∩(∁UB)]＝8
D. 若 eq \f(Card(A),Card(U))＝ eq \f(Card(A∩B),Card(B))，则 eq \f(Card(∁UA),Card(U))＝ eq \f(Card[(∁UA)∩B],Card(B))
【解析】 Card(U)＝24，Card(A)＝18，则Card(∁UA)＝24－18＝6，A正确；若Card(B)＝18，Card(A∩B)＝8，则Card[(∁UA)∩B]＝18－8＝10，B正确；若Card(A∪B)＝20，则Card[(∁UA)∩(∁UB)]＝Card[∁U(A∪B)]＝24－20＝4，C错误；若 eq \f(Card(A),Card(U))＝ eq \f(Card(A∩B),Card(B))，则 eq \f(Card(∁UA),Card(U))＝1－ eq \f(Card(A),Card(U))＝1－ eq \f(Card(A∩B),Card(B))＝ eq \f(Card(B)－Card(A∩B),Card(B))＝ eq \f(Card[(∁UA)∩B],Card(B))，D正确．
三、 填空题
15. (2024·池州二模)已知集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，则A∩B＝_{0，1，2}_．
【解析】 A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－\f(1,2)＜x＜3))，故A∩B＝{0，1，2}．
16. (2024·晋城二模)已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x∈N))\f(1,3)＜3x+1＜27))，B＝{x|x2－3x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B的子集的个数为_8_．
【解析】 由1∈A∩B可知，1∈B，则1－3＋m＝0，解得m＝2，所以B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－1)(x－2)＝0}，即B＝{1，2}．又A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x∈N))\f(1,3)＜3x+1＜27))＝{x∈N|3-1＜3x+1＜33}＝{x∈N|－2＜x＜2}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2}，则A∪B的子集的个数为23＝8.
17. (2024·泰安三模)已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))\f(x＋2,x－2)≤0))，B＝{x|lg2x≥a}，若B⊆(∁RA)，则实数a的取值范围是_[1，＋∞)_．
【解析】 由 eq \f(x＋2,x－2)≤0，得－2≤x＜2，所以A＝{x|－2≤x＜2}，则∁RA＝{x|x＜－2或x≥2}．由lg2x≥a，得x≥2a，又B⊆(∁RA)，所以2a≥2，解得a≥1.
18. (2025·扬州期中)已知非空集合A＝{x|m＜x2－3x＋3＜n}，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))\f(m－x,x－n)＞0)).若A＝B，则m－n的值为_－3_．
【解析】 由A＝{x|m＜x2－3x＋3＜n}为非空集合可知m＜n，故B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))\f(m－x,x－n)＞0))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))\f(x－m,x－n)＜0))＝{x|m＜x＜n}．由于A＝B，故m＜(x2－3x＋3)min，即m＜ eq \f(3,4)，m，n是x2－3x＋3＝n的两个不相等的实数根，故m＋n＝3且mn＝3－n，解得m＝0，n＝3或m＝2，n＝1(舍去)，故m－n＝－3.
19. 若x∈A， eq \f(1,x)∈A，则称A是伙伴关系集合，集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3，4))的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为_15_．
【解析】 因为1∈A， eq \f(1,1)＝1∈A；－1∈A， eq \f(1,－1)＝－1∈A；2∈A， eq \f(1,2)∈A；3∈A， eq \f(1,3)∈A，所以所求集合即为由1，－1，“3和 eq \f(1,3)”，“2和 eq \f(1,2)”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.
20. 设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4，5，6，7，8))的所有非空子集为A1，A2，A3，…，An，其中n∈N*.设Ak(k∈N*，k≤n)中所有元素之和为mk，则m1＋m2＋m3＋…＋mn＝_4 608_．
【解析】 因为集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}中的每一个元素出现在非空子集中的次数为28-1＝27，所以m1＋m2＋m3＋…＋mn＝27(1＋2＋3＋…＋8)＝4 608.
数集
自然
数集
正整
数集
整数
集
有理
数集
实数集
复数
集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
C
关系
定义
记法
相等
集合A与B的所有元素都相同
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
集合的并集
A∪B
集合的交集
A∩B
集合的补集
∁UA
图形
表示
意义
{x|x∈A
或x∈B}
{x|x∈A
且x∈B}
{x|x∈U
且x∉A}
列举法
根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系