期末综合能力培优导航练习卷2025-2026学年苏科版七年级数学下册（江苏省南京市）

这是一份期末综合能力培优导航练习卷2025-2026学年苏科版七年级数学下册（江苏省南京市），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分16分）
1．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余B．对顶角相等
C．等边三角形的每个内角都是D．全等三角形的对应边相等
4．下列四对数值，是二元一次方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，，则A，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．下面四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（ ）
A．，B．，C．，D．x=1，
8．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
9．已知，，则______．
10．已知关于的方程组的解是，则_________．
11．若关于x的一元一次不等式组，无解，则a的取值范围是______．
12．已知关于的方程组的解满足，则的值为_____．
13．已知，现给出3个数之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是___________．（填序号）
14．某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划时间晚一天完成；如果每天生产25个，则比计划时间早一天完成，则计划生产的天数是_______天．
15．有一根的金属棒，欲将其截成x根的小段和y根的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数的和为_____________．
16．若，则________________．
17．如图，将△ABC绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为_________．
18．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共9小题，共计64分，解答题要有必要的文字说明）
19．（6分）计算：（1）；
（2）．
20．（6分）解方程组及解不等式组．
(1)解方程组：；
(2)解不等式组：．
21．（6分）先化简，再求值：，其中，．
22．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，、点平移后的对应点分别是点、F．
(1)作出平移后的；
(2)连接、，线段、的数量关系是 ；
(3)画格点，使得直线．
23．（6分）如果，那么规定．例如：如果，那么．
(1)根据规定填空：___________，___________；
(2)记，，，若，求m的值；
(3)若，，比较a，b的大小关系．
24．（8分）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元．
(1)求a，b的值；
(2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？
(3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．
25．（8分）已知M，N分别是长方形纸条边AB，CD上两点（其中且），如图1所示沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A、D的对应点分别为点、F，交CD于点P．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，．
若，则的度数=__________．
若，请求出的度数．
26．（8分）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放：
(1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上；
(2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？
(3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，AB所在直线与CD所在直线平行或垂直？
27．（10分）【基本方法】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解
(1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ．
(2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值．
(3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．D
6．A
7．C
8．B
9．
10．5
11．
12．
13．①②③
14．9
15．5
16．
17．
18．
19．【详解】（1）
；
（2）
．
20．【详解】（1）解：，
得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：．
21．【详解】解：
，
当，时，原式．
22．(1)如图，即为所求．
(2)
相等
(3)如图，点即为所求．
23．【详解】（1）解：，则，
，则．
（2）解：，则，，则，
，
若，则，可得，
，故．
（3）解：，则，即，
，则，即，
，故．
24．【详解】（1）解：根据题意，得
解得
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台．根据题意，得

解得．
答：至少购买甲型设备4台．
（3）根据题意，得
解得，
∴．
∵x取整数，
∴x的取值为4或5．
共有两种购买方案：
方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台；
所需资金为 （元）；
方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台；
所需资金为 （元）．
∵ ，∴方案二省钱．
答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台．
25．【详解】（1）解：由翻折的性质得：，
，
∵四边形是矩形，
，
；
（2）解：，，
， ，
由翻折的性质得：，
，
，
∵继续沿进行第二次折叠，
，
；
，
，
由翻折得，
，
，
∵继续沿进行第二次折叠，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．【详解】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，
由三角板的性质可知：
∵，，
∴，
∴至少旋转，与重合．
故答案为：75；
（2）由旋转的性质得，
设，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当在点O的右侧时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在点O的左侧时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴旋转的角度，
综上所述：旋转的角度为或时，AB所在直线与CD所在直线平行．
当在点O的上侧时，如图，延长交CD于点E，
∵，
∴，
∴，
∴．
当在点O的下侧时，如图，延长，相交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述：旋转的角度为或时，AB所在直线与CD所在直线垂直．
27．【详解】（1）解：
，
∵其值与x的取值无关，
，
；
（2）∵，，
，
的值与x无关，
，即；
（3）设，由图可知，，
，
∵当AB的长变化时，的值始终保持不变．
取值与x无关，
，
．
甲型
乙型
价格（单位：元/台）
a
b
有效监控半径（单位：米/台）