2026年八年级数学人教版 第08讲 画轴对称的图形(暑假预习讲义)

这是一份2026年八年级数学人教版 第08讲 画轴对称的图形(暑假预习讲义)，共6页。学案主要包含了方法总结，技巧归纳，变式 1-1，变式 1-2，变式 2-1，变式 2-2，变式 3-1，变式 3-2等内容，欢迎下载使用。
内容导航
预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型 1 画轴对称图形
题型 2 镜面对称
题型 3 坐标系中的对称
题型 4 坐标与图形变化-轴对称
题型 5 线段问题（轴对称综合题）
题型 6 面积问题（轴对称综合题）
题型 7 角度问题（轴对称综合题）
过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
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关键词
学习目标导航
轴对称作图、对称点、作垂直、加倍延长、坐标轴对称、横同纵反、纵同横反、网格作图
理解轴对称变换的概念，掌握画平面图形关于某直线对称的图形的方法。
掌握平面直角坐标系中关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，能利用规律画图。
培养作图能力、空间观念，能运用轴对称作图解决简单实际问题（。
学习重点：掌握画轴对称图形的三步作图法，熟练运用坐标对称规律求解与作图。
学习难点：准确作出对称轴外侧点的对称点；按正确顺序连线，避免对称图形变形。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点 01 尺规作图：画点关于直线的对称点
已知：点 P 和直线 l
求作：点 P 关于直线 l 的对称点 P'
作图步骤
过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 O；
延长 PO 至 P'，使 OP' = OP；
点 P' 即为点 P 关于直线 l 的对称点
即时即练如图，在平面直角坐标系中， V ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1, 0), B(3, 3), C(5,1) ．
(1)画出与V ABC 关于 y 轴对称的 DEF ，且点 A，B，C 的对应点分别为 D，E，F；
(2)点 E 的坐标为．
【答案】(1)作图见解析
(2)点3, 3
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，平面直角坐标系内点的坐标，
对于（1），作点 A 关于 y 轴对称的点 D，点 B 关于 y 轴对称的点 E，点 C 关于 y 轴对称的点 F，再依次连接可得答案；
对于（2），在平面直角坐标系内可知点 E 在第一象限，且到两个坐标轴的距离都是 3，可得答案．
【详解】（1）解：如图所示， DEF 即为所求作的三角形；
（2）解：如上图，点 E(3, 3) ．故答案为： 3, 3 ．
【方法总结】
作垂直，定垂足，加倍延，得对称
知识点 02 画平面图形关于某直线的对称图形
原理
几何图形由无数点组成，只需画出图形特殊点（顶点、端点、交点等）的对称点，再顺次连接即可。
作图三步法
找：在原图形上找所有特殊点（如三角形 3 个顶点、四边形 4 个顶点）；画：按 “点对称作图法”，画出每个特殊点关于对称轴的对称点；
连：按原图形顺序，顺次连接各对称点，得到对称图形。
示例：画△ABC 关于直线 l 的对称图形△A'B'C'找：确定 A、B、C 三个顶点；
画：分别作 A、B、C 关于 l 的对称点 A'、B'、C'；
连：顺次连接 A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C' 即为所求。
即时即练如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，V ABC 是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．
(1)画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ：
(2)若点 P m, n 为V ABC 边上一点，请直接写出点 P 经过（1）中的一次图形变换后的对应点 P1 的坐标
．
【答案】(1)见解析
(2) m, n
【分析】此题考查了画轴对称图形，关于 y 轴对称的坐标特征；
分别作出点 A 、 B 、C 关于 y 轴对称的点 A1、B1、C1 ，顺次连接即可；
根据轴对称的规律写出点 P1 的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求；
（2）点 P m, n 关于 y 轴对称的点为点 P1 m, n ，
【方法总结】
找错特殊点：漏找顶点、交点，导致图形残缺；
作图不规范：
作垂线不画直角符号；
对称点到对称轴距离不相等（未“加倍延”）；
连接顺序错误：未按原图顺序连接，导致图形变形；
坐标规律混淆：x 轴对称记成“横反纵同”，y 轴对称记反；
忽略对称轴位置：对称轴在图形外/斜向时，不会作垂线延长。
知识点 03 平面直角坐标系中的轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特点：
点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，-y）（横同纵反）；
点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（-x，y）（纵同横反）．已知两个点的坐标分别为 P1（x1，y1），P2（x2，y2），
若 x1=x2，y1+y2=0，则点 P1，P2 关于 x 轴对称；
若 x1+ x2=0，y1= y2，则点 P1，P2 关于 y 轴对称．反之也成立．
在坐标系中画轴对称图形的方法：
计算——计算对称点的坐标；
描点——根据对称点的坐标描点；
连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形．
即时即练已知点 Aa  2b,1 与点 P 5, a  b 关于 x 轴对称（）
a  1 、b  3
【答案】B
a  1 、b  2
a  1 、b  3
a  1 、b  3
【分析】两点关于 x 轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列方程组计算即可.
a  2b  5

【详解】解：由题意得a  b  1，
a  1

解得．
b2
题型 1 画轴对称图形
【例 1】如图4  4 的正方形网格中， V ABC 的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与V ABC 成轴对称的格点三角形共有（ ）个（注：与V ABC 重 合的不计）
A．7B．9C．11D．13
【答案】C
【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案．按照题意，在网格中作出与V ABC 成轴对称的格点三角形即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
在网格中与V ABC 成轴对称的格点三角形
共有11个，故选：C．
【例 2】如图，在 2×2 的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，
V ABC 是一个格点三角形，图中与V ABC 成轴对称的格点三角形共有（ ）
A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个
【答案】A
【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】符合题意的三角形如图所示：
满足要求的图形有 5 个故选：A．
【技巧归纳】
通用三步法：找点→作对称点→顺次连线
找点：选取图形顶点、端点、交点等关键点；
作对称点：过关键点向对称轴作垂线，延长垂线并截取等长线段，得到对称点（口诀：作垂线、定垂足、加倍延）；
连线：严格按照原图形顶点顺序连接对称点。 补充：对称轴上的点，对称点为自身，无需重新作图。 易错提醒 漏画部分关键点；垂线不标准、两侧线段长度不等；连线顺序错乱导致图形变形；不保留作图痕迹。
【变式 1-1】如图，在平面直角坐标系中， PQR 三个顶点的坐标分别为 P 1, 3 ， Q 4, 5 ， R 4,1
求 PQR 三个顶点关于 x 轴对称的点 P1 ,Q1 , R1 的坐标；
作出 PQR 关于直线 m（直线 m 上各点的横坐标都为 1）的对称图形△P2Q2R2 ；
直接写出点 P 关于直线m 轴对称的点 P2 的坐标．
【答案】(1) P1 1, 3, Q1 4, 5, R1 4, 1
画图见解析
3, 3
【分析】（1）根据关于 x 轴对称的点的坐标特点可得答案．
分别确定 P, Q, R 关于直线 m（直线 m 上各点的横坐标都为 1）对称的对称点 P2 , Q2 , R2 ，再顺次连接即可．
根据对称的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵ PQR 三个顶点的坐标分别为 P 1, 3 ， Q 4, 5， R 4,1 ，
∴ PQR 三个顶点关于 x 轴对称的点 P1 ,Q1 , R1 的坐标为： P1 1, 3 ， Q1 4, 5 ， R1 4, 1 ．
解：如图， △P2Q2R2 即为所求．
解：点 P 1, 3 关于直线m 的对称点 P2 的坐标为3, 3 ．
【变式 1-2】已知，如图，在平面直角坐标系中， A1，4 ， B 4，3 ， C 2，1 ．
请作出V ABC 关于 y 轴的对称图形 DEF ，并写出点 D、E、F 的坐标（点 A 对点 D 、点 B 对点 E 、点C 对点 F ）．
作 DEF 关于 x 轴的对称图形 GHK （ D、E、F 分别对应G、H、K ）．
请直接写出COK 与xOy 的数量关系：．
【答案】(1)作图见解析； D 1, 4 ， E 4, 3 ， F 2,1
作图见解析
COK  2xOy
【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可作图，再由关于 y 轴对称的点的坐标变化即可写出点 D、E、F
的坐标；
根据轴对称图形的性质即可作图；
由图可得COK  180， xOy  90 ，即可解答．
【详解】（1）解：如图， DEF 为所求； D 1, 4 ， E 4, 3 ， F 2,1 ．
解：如图， GHK 为所求图形；
解：由图可得COK  180， xOy  90 ，
∴ COK  2xOy ．
题型 2 镜面对称
【例 1】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是．
【答案】K62897
【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．
【详解】解：实际车牌号是K62897 ．故答案为： K62897 ．
【例 2】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ）
A．2653B．5623C．3562D．3265
【答案】D
【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码．
【详解】
解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为
，即组合得到实际号码为 3265．
故选：D．
【技巧归纳】
本质：镜面相当于对称轴，实物与镜中图像成轴对称；
规律：左右方向相反，上下方向不变；
数字 / 钟表类：可把试卷翻到背面透光观察，快速读出镜像内容；
图形类：按轴对称作图规则，画出镜面另一侧图形即可。
易错提醒 混淆左右、上下翻转规律；钟表读数时直接按正面数字认读，忽略镜像反转。
【变式 2-1】小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近 8 点的是（）
B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过 12 时、6 时的直线成轴对称．
【详解】解：实际时间为 8 点的时针关于过 12 时、6 时的直线的对称点是 4 点，
那么 8 点的时钟在镜子中看来应该是 4 点的样子，
所以应该是 A 或 D 答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形．故选：D．
【变式 2-2】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（ ）
01:12B．10 : 12C．10 : 21D．10 : 51
【答案】D
【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键．
根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，12 : 01与10 : 51成轴对称，
∴此时实际时刻为10 : 51．故选 D．
题型 3 坐标系中的对称
【例 1】在平面直角坐标系中，若点a, 5 关于 y 轴对称的点是4,b ，则a  b 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了关于 y 轴对称的点的坐标，有理数的加法，根据关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出 a、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵点a, 5 关于 y 轴对称的点是4,b ，
∴ a  4，b  5 ， 解得a  4，b  5 ，
∴ a  b  4  5  1．故答案为：1．
【例 2】在平面直角坐标系中，点 A 2, 3 与点 B m, n 关于 x 轴对称，则m  n 的值是．
【答案】1
【分析】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征，关于 x 轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数．根据关于 x 轴对称的点的坐标特征求出m  2 ， n  3 ，进而代入m  n 计算即可．
【详解】解：∵点 A 2, 3 与点 B m, n 关于 x 轴对称，
∴ m  2 ， n  3 ，
∴ m  n  2  3  1．故答案为： 1．
【技巧归纳】
牢记坐标变换口诀，直接套用公式：
点 P(x,y)关于 x 轴对称：横不变，纵变号，坐标(x,-y)点 P(x,y)关于 y 轴对称：纵不变，横变号，坐标(-x, y)
解题步骤：看清对称轴→对照口诀→直接写出对称点坐标。
易错提醒 记混 x 轴、y 轴的变号规则；负数、零参与运算时符号出错。
【变式 3-1】已知点 A a  3, 1 与点 B 1, b  4 关于 x 轴对称，则a  b  ．
【答案】1
【分析】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征．
根据关于 x 轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，建立方程求解 a 和 b，再计算它们的和即可．
【详解】解：∵点 A a  3, 1 与点 B 1, b  4 关于 x 轴对称，
∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，即a  3  1 ， 1  b  4 ，
解得： a  2 ， b  3 ， 因此a  b  2  3  1．故答案为： 1．
【变式 3-2】已知点 Am 1, 3 与点 B 2, n 1 关于 y 轴对称，则m  n 的值为（ ）
A．0B．3C． 1
【答案】B
D．1
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称特点，根据两点关于 y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此列式求解．
【详解】解：∵点 Am 1, 3 与点 B 2, n 1 关于 y 轴对称，
∴ m 1  2 ， 3  n 1 ，解得， m  1，n  4 ，
∴ m  n  1 4  3 ，故选：B．
题型 4 坐标与图形变化-轴对称
【例 1】如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点 F 的坐标为n, 2 ，其关于 y 轴的对称点 E 坐标为
n  4, 2 ，则 3 1 n 值为（ ）
B． 3 2
1
【答案】A
D．1
C． 3 3
【分析】根据关于 y 轴对称的点的性质，得n  4  n ，求出 n 值代入 3 1 n 计算即可．
【详解】解：∵ E n  4, 2，F n, 2 关于 y 轴对称，
∴ n  4  n ，解得， n  2 ，
∴ 3 1 n  3 1  1 ．
【例 2】如果点 P 2, b 和点Q a, 3 关于 x 轴对称，则a  b 的值是（ ）
5
【答案】C
1
C．1D．5
【分析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出 a，b 的值，再计算a  b
的值即可．
【详解】解：∵点 P 2, b 和点Q a, 3 关于 x 轴对称， 又∵关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴ a=-2 ， b  3 ，
∴ a  b  2  3  1，故选：C．
【技巧归纳】
算坐标：求出原图形所有顶点的对称点坐标；
描点：在平面直角坐标系中依次描出对称顶点；
连线：按原图顺序顺次连接各点，得到轴对称图形。 拓展：可结合坐标变化，判断图形平移、对称组合变换。
易错提醒：只算部分顶点坐标，遗漏关键点；描点位置偏差；连线顺序错误。
【变式 4-1】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， V ABC 的顶点均在格点上，点 A 的坐标是3, 1
将V ABC 沿 y 轴正方向平移4 个单位得到△A1B1C1 ，画出△A1B1C1 ，并写出点 B1 坐标；
画出△A1B1C1 关于 y 轴对称的△A2 B2C2 ，并写出点C2 的坐标
【答案】(1)作图见解析， B1 坐标2, 0
(2)作图见解析， C2 坐标1, 2
【分析】（1）把点 A 、 B 、C 分别沿 y 轴正方向平移4 个单位长度，得到点 A1 、 B1 、C1 ，连接点 A1 、 B1 、
C1 ，得到 A1B1C1 即为所求，借助网格可知，点 B1 的坐标；
（2）分别作点 A1 、B1 、C1 关于 y 轴的对称点 A2 、B2 、C2 ，连接点 A2 、 B2 、C2 ，得到 A2 B2C2 即为所求，借助网格可知点C2 的坐标．
【详解】（1）解：如下图所示，把点 A 、B 、C 分别沿 y 轴正方向平移4 个单位长度，得到点 A1 、B1 、C1 ，
连接点 A1 、 B1 、C1 ，得到 A1B1C1 即为所求，
借助网格可知，点 B1 的坐标是2, 0 ；
（2）解：如下图所示，分别作点 A1 、 B1 、C1 关于 y 轴的对称点 A2 、 B2 、C2 ，
连接点 A2 、 B2 、C2 ，得到 A2 B2C2 即为所求，
借助网格可知点C2 的坐标为1, 2 ．
【变式 4-2】按要求完成作图：已知点V ABC 三个点的坐标分别为 A 4,1, B 3, 3, C 1, 2 ．
(1)作出V ABC 关于 x 轴对称的图形；
(2)写出 A、B、C 的对应点 A 、 B 、C 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) A4, 1, B 3, 3 ,C 1, 2 
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A ， B ， C 即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图， ABC 即为所求；
（2）解：由图可知： A4, 1, B 3, 3 ,C 1, 2  ．
题型 5 线段问题（轴对称综合题）
【例 1】在边长为 1 的8  8 正方形网格中，点 A, B,C 均在格点（网格线的交点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，将V ABC 向左平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到△A1B1C1 （点 A, B,C 的对应点分别为 A1, B1, C1）．
(1)画出△A1B1C1 ；
(2)在 y 轴上求作点Q ，使QB1  QC1 的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路线问题，熟记平移变换的性质是解题的关键．
根据平移变换的性质找出对应点，顺次连接即可；
作点C1 关于 y 轴的对称点C ，连接 B1C  交 y 轴于点 Q，则点 Q 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求
（2）解：如图所示，点Q 即为所求．
【例 2】如图，在平面直角坐标系中， A2, 3，B 5,1，C 3, 2 ．
(1)在图中作出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 ，并写出点 A1，B1，C1 的坐标；
(2)在 x 轴上作一点 P ，使 PA  PB 的值最小．
【答案】(1)作图见解析， A1 2, 3 ， B1 5,1 ， C1 3, 2
(2)作图见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（ 2 ）作点 A 关于 x 轴的对称点 A ，连接 AB 交 x 轴于点 P ，则 PA  PA ，即得 PA  PB  PA PB  AB ，由两点之间线段最短，可知此时 PA  PB 的值最小，故点 P 即为所求；
本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，轴对称- 最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求，由图可得， A1 2, 3 ， B1 5,1 ， C1 3, 2 ；
（2）解：如图所示，点 P 即为所求．
【技巧归纳】
核心依据：成轴对称的图形对应线段相等；对称轴垂直平分对应点连线；
线段求值：利用等线段代换，直接转化边长、线段和差；
周长计算：借助轴对称进行线段转移，将折线转化为已知线段，简化周长运算；
证明线段相等：证两点关于直线对称，再用轴对称性质推导。
易错提醒：找错对应线段；复杂图形中不会利用轴对称进行线段等量替换。
【变式 5-1】在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形 ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点 A ， B 的坐标分别是6, 7 ， 4, 3 ．
请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系．
请画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1
在 x 轴上找一点 P ，使 PA  PB 最小
【答案】(1)图见解析
图见解析
图见解析
【分析】本题主要考查了画轴对称图形，最短路径问题，根据点的坐标确定原点位置，熟练掌握轴对称变换是解题的关键．
根据点 B 的坐标可确定原点位置，然后画出平面直角坐标系即可；
首先确定点 A 、 B 、C 三点关于 y 轴对称的对称点位置，依次连接即可求解；
作点 A 关于 x 轴的对称点 A ，连接 AB ，与 x 轴交于一点 P ，根据轴对称的性质可得 PA  PA ，根据两点之间，线段最短，即可得出 PA  PB 的值最小．
【详解】（1）解：如图：
解：如图所示： △A1B1C1 即为所求．
解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A ，连接 AB ，与 x 轴交于一点 P ，点 P 即为所求．如图：
∵点 A 与点 A ，关于 x 轴对称，故 PA  PA ，
即 PA  PB  PA PB  AB ，
根据两点之间，线段最短，即可得出此时 AB 的值最小，即 PA  PB 的值最小．
【变式 5-2】如图，在Rt ABC 中， B  30 ，点 D 在斜边 BC 上，且 BC  4CD  4 ， AE 是 ABC 的角平分线，点 F 、点G 分别为 AC ， AE 上一点，则 DG  FG 的最小值为．
【答案】 3
2
【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，含 30 度角的直角三角形的性质；作点 F 关于 AE 的对称点 F ，由于 AE 为BAC 的角平分线，则点 F  落在 AB 上，连接 DF 交 AE 于点G ，当 DF   AB 时，
DG  FG  DG  F G  DF  最小，再根据含30 度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，作点 F 关于 AE 的对称点 F ，
由于 AE 为BAC 的角平分线，则点 F 落在 AB 上，连接 DF 交 AE 于点G ，
当 DF   AB 时， DG  FG  DG  F G  DF  最小，
∵ BC  4CD  4 ，则CD  1，在Rt BDF  中， B  30 ，
∴ BD  BC  CD  4 1  3
 DF   3 ，
2
 DG  FG 的最小值为 3 ．
2
故答案为： 3 ．
2
题型 6 面积问题（轴对称综合题）
【例 1】V ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， A 、 B 、C 三点都在格点上．
画出V ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 （点 A ， B ， C 的对称点分别是 A1 ， B1 ， C1 ）．
点 A1 到 x 轴的距离为；点C1 的坐标为．
在（1）问的结果下，连接 AA1 ， BB1 ，求四边形 AA1B1B 的面积
【答案】(1)图见解析
(2) 5 ； 4, 3
(3) 20
【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键．
根据轴对称的性质作图即可；
根据图象作答即可；
根据梯形面积公式运算即可．
【详解】（1）解：由题意作图可得：
解：由图可得： A1 到 x 轴的距离为5 ，点C1 的坐标为4, 3，故答案为： 5 ； 4, 3；
解：根据题意连接可得：
1 1
∴ S梯形AA B B 
52  6
2
 20 ．
【例 2】如图，在平面直角坐标系中， V ABC 三个顶点的坐标分别为 A4, 3 ， B 1,1 ， C 3, 0 ．
以 x 轴为对称轴，画出V ABC 的轴对称图形 ABC ，并写出 A 的坐标；
连接OB ， OB，求四边形OBCB 的面积．
【答案】(1)作图见详解，点 A 的坐标为4, 3
(2)3
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于 x 轴的轴对称变换及在平面直角坐标系中求四边形面积．
利用轴对称的性质在平面直角坐标系图中作出V ABC 关于 x 轴的轴对称图形 ABC 即可，再根据图形得出点 A 的坐标；
根据题意先连接OB ， OB ，将四边形OBCB 分成△OBC 和△OBC ，分别求其面积再相加即可．
【详解】（1）解：如图所示 ABC 即为所求：
由图可知，此时点 A 的坐标为4, 3 ．
（2）解：如图，连接OB ， OB ，
∴四边形OBCB 由△OBC 和△OBC 组成，
1
2
1
2
∴ S S SOC  y OC  y ，
四边形OBCBOBCOBCBB
即 1  31 1  31  3 ，
22
∴四边形OBCB 的面积为 3．
【技巧归纳】
基础结论：成轴对称的两个图形面积完全相等；
分割图形：轴对称图形可被对称轴分成面积相等的两部分；
不规则图形：利用轴对称补全 / 割补图形，转化为规则图形（三角形、矩形等）再求面积；
网格图形：数方格、割补法结合轴对称性质计算。
易错提醒：误以为对称轴分割后的图形面积不等；割补图形时改变原有面积大小。
【变式 6-1】如图，已知AOB  45 ，点 P 在AOB 内部，点 P1 与点 P 关于OA 对称，点 P2 与点 P 关于OB
对称，连接 P1P2 ，分别交OA ， OB 于点 E，F，连接 PE ， PF ．若 P1E  a ， P2 F  b ，则! PEF 的面积为
．(用含 a，b 的代数式表示)
【答案】 1 ab
2
【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出! PEF 为直角三角形，
利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出即可求解．
【详解】解：连接OP ，
OP1 P2 为等腰直角三角形，进一步证明出! PEF 为直角三角形
根据轴对称的性质可知： OP1E≌ OPE, OPF≌ OP2 F，
OP1  OP  OP2 ， P1OE  POE, POF  P2OF， P1E  PE  a ,P2 F  PF  b ，
OP1  OP  OP2 ，
AOB  EAP  FOP  45 ，
P1OP2  P1OE  POE  POF  P2OF 90 ，
OP1 E  OP2 F  OPE  OPF 45 ，
EPF  OPE  OPF  90 ，
 PEF 为直角三角形，
 S PEF
 1 EP  PF  1 ab ，
22
故答案为： 1 ab ．
2
【变式 6-2】如图，点 P 为AOB 内部任意一点，点 P、 P1 关于OA 对称，点 P、 P2 关于OB 对
称, OP  3, AOB  45 ，则 OP1 P2 的面积为．
【答案】 9
2
【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题．
连接OP1 ，OP2 ，根据轴对称的性质得到OP1  OP2  3 ，AOP1  AOP ，BOP2  BOP，求出P1OP2  90 ， 根据面积公式计算即可．
【详解】解：连接OP1 ， OP2 ，
点 P、 P1 关于OA 对称，点 P、 P2 关于OB 对称， OP  3 ，
OP1  OP2  3 ，AOP1  AOP ，BOP2  BOP ，
AOB  45
P1OP2  AOP1  AOP  BOP2  BOP  2AOB  90  ，
 OPP 的面积 1  OP  OP  1  3 3  9 ，
1 22
故答案为： 9 ．
2
1222
题型 7 角度问题（轴对称综合题）
【例 1】如图， AOB  50，点 P 为AOB 内一定点，点 E、F 分别在OA、OB 上．当! PEF 周长最小时，
EPF  （ ）
A． 50B． 80C．100D．130
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质．
作点 P 关于直线OA,OB 的对称点，为 P1 , P2 ，连接 P1P2 ，交OA, OE 于点 E, F ，连接 PE, PF, OP ，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：如图所示，作点 P 关于直线OA,OB 的对称点，为 P1 , P2 ，连接 P1P2 ，交OA, OE 于点 E, F ，连接
PE, PF, OP ，
∴此时，! PEF 周长最小，为线段 P1P2 的长度，
根据轴对称得， OA 垂直平分线段 PP1 ， OB 垂直平分线段 PP2 ，
∴ P1  EPP1 ,P2  FPP2 ，
∵ AOB  50，
∴ P1PP2  360  90  90  AOB  130 ，
∴ P1  P2  180  P1PP2  50 ，
∴ EPF  P1PP2  EPP1  FPP2  P1PP2  P1  P2   130  50  80 ，故选：B．
【例 2】矩形 ABCD ，若按如图（1）翻折，点 A 的对应点 A 恰好落在 PB 上，折痕分别为 PE ，PG ，则EPG
的度数为90 ；若按如图（2）翻折，点 A 的对应点 A 落在BPG 的内部（不含角的两边），已知APE  48 ，
APG  EPB ，则APB 的度数为．
【答案】12 /12 度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系．根据折叠的性质得APE  APE  48， BPG  BPG ，结合APG  EPB 进而得出
BPG  BPG  48 ，再求出BPE 即可求解．
【详解】解：根据折叠性质得APE  APE  48， BPG  BPG ，
∴ EPB  48  APB  APG ，
∴ BPG  BPG  48 ，
∴ BPE  180  APE  BPG  BPG  36 ，
∴ APB  APE  BPE  48  36  12．故答案为：12 ．
【技巧归纳】
基础结论：成轴对称的两个图形面积完全相等；
分割图形：轴对称图形可被对称轴分成面积相等的两部分；
不规则图形：利用轴对称补全 / 割补图形，转化为规则图形（三角形、矩形等）再求面积；
网格图形：数方格、割补法结合轴对称性质计算。
易错提醒：误以为对称轴分割后的图形面积不等；割补图形时改变原有面积大小。
【变式 7-1】如图，在菱形 ABCD 中， ABD  48 ，P 为 AD 边上一点，连接 BP ，作△PBA 关于 BP 对称的△PBE ，点 F 与点 E 关于 BD 对称．设ABP  x ，若点 F 在△PBD 内（不包括边界），则 x 的取值范围是（ ）
A． 21  x  24
C． 24  x  42
【答案】B
B． 24  x  32
D． 42  x  48
【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质.分别求出两极值点即可.
【详解】由题意可知ABP  EBP  x
当点 F 在 BD 上时，点 E，F 重合，此时ABP  EBP  48
即 x  24 ；
当点 F 在 PB 上时，
∴ DBP  DBE  1 x
2
∵ ABP  x ， ABP  DBP  48
∴ x  1 x  48 ，
2
解得 x  32 ．
所以 x 的取值范围是24  x  32 ．故选 B．
【变式 7-2】如图，在四边形 ABCD 中， DAB  130 ， D  B  90 ，点 M，N 分别是CD ， BC 上两个
动点，当 AMN 的周长最小时， AMN  ANM 的度数为 ．
【答案】100
【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点 A 关于 BC 的对称点 A ，关于CD 的对称点 A  ，连接 AA  与 BC、CD 的交点即为所求的点 M 、N ，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：作点 A 关于 BC 的对称点 A ，关于CD 的对称点 A  ，则： AM  AM , AN  A N ．
∵ AMN 的周长 AM  MN  AN  AM  MN  A N  AA ，
∴当 A, A, M , N 四点共线时， AMN 的周长最短，
连接 AA  与 BC、CD 的交点即为所求的点 M 、 N ，如图：
∵ DAB 130, D  B  90，
∴ A, B, A三点共线， A, D, A 三点共线，
A  A   180 130  50 ，
由轴对称的性质得： A  BAN, A''  DAN
AMN  ANM  A  BAM  A  DAN  2A  A   100
故答案为：100 ．
点 P 1, 2关于 y 轴对称点的坐标是（ ）
A． 1, 2
【答案】A
B． 1, 2
C．1, 2
D．2, 1
【分析】根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可．
【详解】解：点 P 1, 2关于 y 轴对称点的坐标是1, 2 ．
已知点 P a, 3 和点Q 4, b 关于 x 轴对称，则a  b 的值为（ ）
B． 1
【答案】A
C．7D． 7
【分析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出 a 和 b 的值，进而计算a  b ．
【详解】解：∵点 P a, 3 与点Q 4, b 关于 x 轴对称，
∴ a  4, b  3 ，
∴ a  b  4  3  1．
如果点 A m  5, m  3 在 x 轴上，那么点 B m 1, m  5 关于 x 轴的对称点的坐标是（ ）
A． 6,10
【答案】B
B． 2, 2
2, 2
6, 10
【分析】先根据 x 轴上点的纵坐标为0 求出m 的值，再确定点 B 的坐标，最后根据对称规律求出对称点坐标即可．
【详解】解：∵点 A m  5, m  3 在 x 轴上， x 轴上点的纵坐标为0 ，
∴ m  3  0 ，解得m  3 ，
将m  3 代入点 B 的坐标，得m 1  3 1  2 ， m  5  3  5  2 ，
∴点 B 的坐标为2, 2 ，
∵关于 x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点 B 关于 x 轴的对称点坐标为2, 2 ．
已知点 P m, 3 与点Q 2, n 关于 y 轴对称，则m  n  ．
【答案】1
【分析】根据 y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可求解．
【详解】∵点 P m, 3 与点Q 2, n关于 y 轴对称，
∴ m  2 ， n  3 ，
∴ m  n  2  3  1 ．
已知点 P a, 3 和点Q 4, b 关于 x 轴对称，则a  b2026 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标特征，代数式求值，有理数的乘方运算，掌握关于 x 轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据关于 x 轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a 和b 的值，再代入计算即可．
【详解】解： 点 P a, 3 和点Q 4, b 关于 x 轴对称，
a  4 ， b  3 ，
a  b  4  3  1，
a  b2026  12026  1 ．故答案为：1．
剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系 xOy 中，如果图中点 E 的坐标为n, 2m ，其关于 y 轴对称的点 F 的坐标为
m 1, 3  n ，则nm 的值为．
【答案】1
【分析】本题主要考查了关于 y 轴对称的点的坐标特征以及解二元一次方程组，根据“关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”．进一步列方程组求解即可．
【详解】解：∵ E n, 2m  和 F m 1, 3  n 关于 y 轴对称，
n  m  1 0

∴ 3  n  2m，
m  2

解得： n  1，
∴ nm  12  1．故答案为：1．
已知：点 A 1, 2 ， B 2a 1, a  3 ，根据下列条件解决问题．
若 AB∥x 轴，求点 B 的坐标；
若点 B 在第一象限角的平分线上，求 A 、 B 两点间的距离．
【答案】(1) 1, 2
(2)5
【分析】（1）平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出 a 的值，进而求出点 B 的坐标；
（2）第一象限角的平分线上的点横纵坐标相同，据此建立方程求出 a 的值，进而求出点 B 的坐标和点 A 与点 B 的距离．
【详解】（1）解：∵ AB∥x 轴，
a  3  2 ，
 a  1 ，
点 B 的坐标为1, 2 ．
（2） 点 B 在第一象限角的平分线上，
 2a 1  a  3 ，
a  2 ，
点 B 的坐标为5, 5 ．
1 52  2  52
25
 A 、 B 两点间的距离为 5 ．
在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，V ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，点 A 的坐标为2，3 ．
请画出V ABC 关于 x 轴对称的ABC (不写画法，其中 A, B, C 分别是 A，B，C 的对应点)；
直接写出 A, B, C 三点的坐标；
在 y 轴上求作一点 P，使 PAB 的周长最小．(简要写出作图步骤，必要时可用黑色笔描画痕迹)．
【答案】(1)见解析
(2) A2, 3 ， B3, 1 ， C 1, 2
(3)见解析
【分析】（1）描出对应点连接即可；
观察图像写出各点坐标即可；
根据轴对称的性质画图即可．
【详解】（1）解：如图所示： ABC 即为所求；
解：如图所示： A2, 3 ， B3, 1 ， C 1, 2
解：如图所示：P 点即为所求，找到 A 点关于 y 轴对称点 A  ，连接 AB ，交 y 轴于点 P， 如图：
此时 PA = PA ， PA  PB  PA   PB
当 P, A, B 共线时 PA  PB 取最小值， PAB 的周长 PA  PB  AB 取最小值,所以点 P 即为所求．
在平面直角坐标系中， V ABC 的位置如图所示．
(1)将 A 、B 、C 三点的横坐标分别乘以1，纵坐标保持不变，得到△A1B1C1 ，请在图中画出△A1B1C1 ，并直
接写出V ABC 与△A1B1C1 的位置关系；
(2)若 x 轴上存在一点 P ，使得 PA  PB 的值最小，请标出点 P 的位置．
【答案】(1)见解析， V ABC 与△A1B1C1 关于 y 轴对称
(2)见解析
【分析】（1）作出V ABC 关于 y 轴对称的图形，即可求解；
（2）作 A 关于 x 轴的对称点 A ，连接 AB 交 x 轴于点 P ，则点 P 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求，
V ABC 与△A1B1C1 关于 y 轴对称；
（2）解：如图所示，点 P 即为所求．
如图，在直角坐标平面内，已知点 A 的坐标是0, 3 ，点 B 的坐标是3, 2
图中点 C 的坐标是；
点 C 关于 x 轴对称的点 D 的坐标是，并作出四边形 ABCD ；
求四边形 ABCD 的面积．
【答案】(1) 3, 2
(2) 3, 2，作图见解析 (3)21
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出 C 点坐标；
根据关于 x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得 D 点坐标，然后顺次连接 A ，
B ， C ， D 各点即可得四边形 ABCD ；
根据 S四边形ABCD  S梯形AECD  S ABE 计算即可．
【详解】（1）解：由图得C 3, 2 ；
解：
 D 3, 2 ，
C 3, 2，点 C 与点 D 关于 x 轴对称，
四边形 ABCD 如图所示，
解：由（2）图得，
S四边形ABCD  S梯形AECD  S ABE
 1 4  5 3  1  3 5
22
 21 ．