2025-2026学年下学期2026年6月高二数学核心高频考点汇总学案

这是一份2025-2026学年下学期2026年6月高二数学核心高频考点汇总学案
（空间向量与立体几何+平面解析几何+数列+导数+计数原理+概率与统计）
速查 01 空间向量与立体几何（10 个核心考点）
空间向量共线的充要条件：若空间向量a与b(b ≠ 0)共线，则存在唯一实数λ，使得a = λb，坐标形式为对应坐标成比例.
空间向量共面的充要条件：三个空间向量a，b，c共面，等价于存在实数λ、μ，使得c = λa + μb；若三个向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0.
空间向量的数量积：设向量a与b的夹角为θ(θ ∈ [0°,180°])，则a·b = |a|·|b|csθ，结果为实数，可用于求夹角、判断垂直.
空间向量垂直的充要条件：两个空间向量a与b垂直，等价于a·b = 0，坐标形式为对应坐标乘积之和为
0.
空间向量的模：若向量a = (x,y,z)，则|a| =x2 + y2 + z2，可用于求空间中两点间的距离.
空间向量夹角公式：csθ = |cs⟨a，b⟩| = |a·b| ，θ为两向量的夹角.
|a||b|
向量法证明平行、垂直
直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b.若a ∥ b，即a = λb，则a ∥ b；
若a ⊥ b，即a·b = 0，则a ⊥ b.
直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l ⊥ α.
若a ∥ n，即a = λn，则l ⊥ α；若a ⊥ n，即a·n = 0，则a ∥ α.
平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，若n1 ∥ n2，即n1 = λn2，则α ∥ β；若n1 ⊥ n2，即 n1·n2 = 0，则α ⊥ β.
空间角与空间距离的求法：
异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线l1，l2上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则
csθ = |cs⟨a，b⟩| = |a·b| 。
|a||b|
线面角公式：设l为平面α的斜线，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成角的大小，则
sinθ = |cs⟨a，n⟩| = |a·n| 。
|a||n|
二面角公式：设n1，n2分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则θ = ⟨n1，n2⟩或
π — ⟨n1
，n2
⟩（需要根据具体情况判断相等或互补），其中|csθ| = |n1·n2| 。
|n1||n2|
点到平面的距离：A为平面α外一点，n为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH，则
→
|AB·n|
d =。
|n|
异面直线间的距离（拓展）
两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算。
如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为n，这时分别在a，b上任取A，B两点，则向量在n上的
||
→
正射影长就是两条异面直线a，b的距离。即d = AB· n =
|n|
|AB·n|
→
即异面直线间的距离，等于两异面直线
|n|
上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值。
10.最小角定理csθ = csθ1csθ2
如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么
csθ = csθ1csθ2。
速 查 06 直线与圆（24 个核心考点）
直线方程
直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素。
直线的倾斜角：直线与 x 轴正方向所成的最小正角，范围为[0°,180°)，倾斜角为90°时直线垂直于 x
轴。
直线的斜率：倾斜角为α（α ≠ 90°）时，斜率k = tanα；倾斜角为90°时，斜率不存在。
直线的斜率公式：过两点P1
(x1
,y1
)、P2
(x2
,y2
)（x1
≠ x2
）的直线斜率k = y2—y1。
x2—x1
直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化。
直线的一般式方程：Ax + By + C = 0（A、B 不同时为 0），可快速判断直线的斜率和截距。
两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k1 = k2且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于
x 轴。
两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，k1·k2 = —1；一条斜率为 0，另一条斜率不存在（垂直于 x
轴）。
两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合。
点到直线的距离公式：点P(x0,y0)到直线Ax + By + C = 0的距离
A2+B2
两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax + By + C1 = 0与Ax + By + C2 = 0（C1 ≠ C2）的距离 d = |C1—C2|。
一组直线系方程：
过定点P(x0,y0)的直线系方程：A(x — x0) + B(y — y0) = 0(A2 + B2 ≠ 0)，还可以表示为 y — y0 = k(x — x0)和x = x0。
平行于直线Ax + By + C = 0的直线系方程：Ax + By + λ = 0(λ ≠ C)。
垂直于直线Ax + By + C = 0的直线系方程：Bx — Ay + λ = 0。
过两条已知直线A1x + B1y + C1 = 0，A2x + B2y + C2 = 0交点的直线系方程： A1x + B1y + C1 + λ(A2x + B2y + C2) = 0（不包括直线A2x + B2y + C2 = 0）和 A2x + B2y + C2 = 0。
关于对称的二级结论：
点(x，y) 关于 x 轴的对称点为(x， —y)， 关于 y 轴的对称点为( —x，y)。
点(x，y) 关于直线y = x的对称点为(y，x)， 关于直线y = —x的对称点为( —y， —x)。
点(x，y) 关于直线x = a的对称点为(2a — x，y)， 关于直线y = b的对称点为。
点(x，y) 关于点(a，b) 的对称点为(2a — x，2b — y)。
点(x，y) 关于直线x + y = k的对称点为(k — y，k — x)， 关于直线x — y = k的对称点为(k + y， x — k)。
圆的核心考点（11 个）
E
2
圆的标准方程：(x — a)2 + (y — b)2 = r2（r > 0），其中（a，b）为圆心坐标，r 为半径。
圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 — 4F > 0），圆心为 — D , —
2
，半径
1
D2 + E2 — 4F
r =
2
点与圆的位置关系：设点到圆心距离为 d，d < r 则点在圆内，d = r则点在圆上，d > r 则点在圆外。
直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为 d，d < r 则相交，d = r则相切，d > r 则相离。
直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等。
直线与圆相交的弦长公式：弦长=2 r2 — d2（d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径）。
圆与圆的位置关系：设两圆半径为r1、r2，圆心距为 d。内含(d < |r1 — r2|)、内切(d = |r1 — r2|)、相交(|r1 — r2| < d < r1 + r2)、外切(d = r1 + r2)、外离(d > r1 + r2)。
圆的切线方程常用结论
（1）过圆x2 + y2 = r2上一点 P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x + y0y = r2。
（2）过圆(x — a)2 + (y — b)2 = r2上一点 P（x0， y0）的圆的切线方程为 (x0 — a)(x — a) + (y0 — b)(y — b) = r2。
（3）过圆x2 + y2 = r2外一点 M（x₀，y₀）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
x0x + y0y = r2。
圆系方程
同心圆系方程：(x — a)2 + (y — b)2 = r2(r > 0)，其中 a，b 是定值，r 是参数；
(2)过直线Ax + By + C = 0与圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0交点的圆系方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C) = 0(λ ∈ R)；
（3）过圆C1:x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0和圆C2:x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0交点的圆系方程： x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + λ(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0(λ ≠ —1)（该圆系不含圆 C₂，解题 时，注意检验圆 C₂是否满足题意，以防漏解）。
二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x2、y2项）。
圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形。
速查 03 圆锥曲线（38 个核心考点）
椭圆
椭圆的定义：平面内与两个定点 F₁、F₂(焦点)的距离之和等于常数(2a，2a > |F₁F₂|)的点的轨迹，|F₁F₂|
= 2c(c < a)。
x2 + y2 = 1(a > b > 0)y2 + x2 = 1(a > b > 0)
椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上：a2b2
（a > b > 0），其中b2 = a2 — c2。
；焦点在 y 轴上：a2b2
判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x2、y2项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴。
椭圆的离心率：e = c，范围为（0，1），e 越接近 1，椭圆越扁；e 越接近 0，椭圆越接近圆。
a
椭圆的顶点：长轴端点（±a，0）或（0，±a），短轴端点（0，±b）或（±b，0），长轴长 2a，短轴长 2b。
椭圆的焦点坐标：焦点在 x 轴上为（±c，0），焦点在 y 轴上为（0，±c），满足c2 = a2 — b2。
椭圆的焦半径公式：椭圆上的点P(x0,y0)与左（下）焦点F1与右（上）焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1 = |PF1|，r2 = |PF2|。
x2 + y2 = 1(a > b > 0)r = a + exr = a — ex
2
（1）
ab2
， 10， 20；
y2 + x2 = 1(a > b > 0)r = a + eyr = a — ey
a2b2
， 10， 20；
椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的∆PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2 = θ，
∆PF F
x2 + y2 = 1(a > b > 0)
1 2的面积为 S，则在椭圆a2b2中
（1）当 P 为短轴端点时，θ 最大。
（2）S = 1 |PF ||PF |·sinθ = b2tan θ = c|y |，
21220
当|y0| = b时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc。
焦点三角形的周长为2(a + c)。
l= 2b2
椭圆的焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长 mina 。
x2 + y2 = 1(a > b > 0)
A(x
,y )
B(x
,y )
M(x
,y )
2
椭圆的弦长问题：AB 为椭圆
ab2
的弦，
1 1 ，
2 2 ，弦中点
0 0 ，
则
弦长l =1 + k2|x1
x2
21
| =1 + 1 |y
k
y2|；
直线 AB 的斜率kAB
= — b2x0
a2y 。
0
椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2b2/a，是椭圆的最短弦。
12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a + c，最小值为a — c.
椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光性 ）.
P (x
,y )
x2 + y2 = 1
若 0
0 0 在椭圆b2
上，则
2
a
（1P (x
,y )
k = — b2x0
）以 0
0 0 为切点的切线斜率为
；
a2y0
（2）过P
x0x + y0y = 1.
0的椭圆的切线方程是a2b2
P (x
,y )
x2 + y2 = 1
p (x
,y )
PPP P
若 0
0 0 在椭圆b2
外 ，则过 0
0 0 作椭圆的两条切线切点为
1、 2，则切点弦 1 2
2
a
x0x + y0y = 1
的直线方程是.
a2b2
双曲线的核心考点
双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2（焦点）的距离之差的绝对值等于常数
(2a,0 < 2a < |F1F2|)的点的轨迹，|F1F2| = 2c（c > a）.
x2 — y2 = 1y2 — x2 = 1
双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上：a2b2（a > 0，b > 0）；焦点在 y 轴上：a2b2
（a > 0，b > 0）， 其中b2 = c2 — a2.
双曲线的离心率：e = c，范围为(1, + ∞)，e 越接近 1，双曲线开口越窄；e 越大，开口越宽.
a
双曲线的顶点：实轴端点( ± a,0) 或 (0, ± a) ，虚轴端点(0, ± b) 或 ( ± b,0)， 实轴长2a，虚轴长 2b.
双曲线的焦点坐标：焦点在 x 轴上为( ± c,0)，焦点在 y 轴上为(0, ± c)，满足c2 = a2 + b2.
双曲线的渐近线方程：焦点在 x 轴上：y =± b x；焦点在 y 轴上：y =± a x，渐近线是双曲线的重要
ab
特征.
双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点（发散性）.
双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为2b2.
a
双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为 ab.
x2 — y2 = 1x2 — y2 = —1
2
2
（1）与
ab2
共轭的双曲线方程为
ab2
，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以
原点为圆心，c+
11
e
e
为半径的圆上； ③
= 1.
x2 — y2 = 1
22
12
x2 — y2= 1
(λ ≠ 0,a2 — λ > 0,λ + b2 > 0)
2
（2）与
ab2
有相同焦点的双曲线方程为
a2—λ
λ+b2，
x2 — y2 = 1
x2 + y2= 1
(λ ≠ 0,a2 + λ > λ — b2 > 0)
2
（3）与
ab2
有相同焦点的椭圆方程为：
a2+λλ—b2，
x2 + y2 = 1
x2 — y2= 1
(λ ≠ 0,a2 — λ > 0,λ — b2 > 0)
2
（4）与
ab2
有相同焦点的双曲线方程为：
a2—λλ—b2，
x2 — y2 = 1
2
（5）与
ab2
有相同离心率的双曲线方程为：
x2 — y2 = λ
①焦点在 x 轴上时： a2b2
，(λ > 0,λ ≠ 1)
y2 — x2 = λ
②焦点在 y 轴上时： a2b2
，(λ > 0)
设 P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2 为其焦点记∠F1PF2 = θ，则
（1） |PF
2
||PF | =2b.
121—csθ
（2）焦点三角形的面积 S∆PF1F2
= c|yP
| = b2ct θ.
2
P (x
,y )
x2 — y2 = 1
若 0
0 0 在双曲线b2
上，则
2
a
（1P (x
,y )
k = b2x0
）以 0
0 0 为切点的切线斜率为
a2y0
过P
x0x — y0y = 1.
0的双曲线的切线方程是a2b2
P (x
,y )
x2 — y2 = 1
PPP P
若 0
0 0 在双曲线b2
外 ，则过P作双曲线的两条切线切点为 1、
2，则切点弦 1
2的直
2
a
x0x — y0y = 1
线方程是.
a2b2
抛物线的核心考点
抛物线的定义：平面内与一个定点 F（焦点）和一条定直线 l（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准线的距离为 p（p>0）。
抛物线的标准方程：四种形式，焦点在 x 轴正半轴：y2 = 2px；x 轴负半轴：y2 = —2px；y 轴正半轴：x2 = 2py；y 轴负半轴：x2 = —2py（p>0）。
抛物线的离心率：e = 1，是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征。
抛物线的顶点：坐标原点（0，0）是抛物线的最低点（或最高点）。
pp
抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为2，顶点到准线的距离为2，焦点到准线的距离为 p。
抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点。
抛物线y2 = 2px（p>0）上一点 P（x₀，y₀）的切线方程为y0y = p(x + x0)。
过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点。
设 AB 是过抛物线y2 = 2px(p > 0)焦点 F 的弦，若 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x x = p2y y = — p2
（1） 1 24 ， 1 2；
（2）|AF| =p，|BF| =p，弦长|AB| = x + x + p = 2p （α 为弦 AB 的倾斜角）；
1—csα
1+csα
12sin2α
）
（3 1 + 1 = 2；
|FA||FB|p
以弦 AB 为直径的圆与准线相切；
以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切；
过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上。
速查 04 导数（24 个核心考点）
导数的概念：一般地，函数y = ?(x)在x = x 处的瞬时变化率 lim Δy = lim ?(x0+Δx)—?(x0)
0Δx→0 Δx
Δx→0
为函数
Δx
y = ?(x)在x = x
处的导数，记作?′(x
)或y′|
即?′(x
) = lim Δy = lim ?(x0+Δx)—?(x0)
0
?′(x) = lim ?(x+Δx)—?(x)
0x=x0
0
Δx→0 Δx
Δx→0
。称函数
Δx
Δx→0
Δx为?(x)的导函数。
导数的几何意义：函数?(x)在点x0处的导数?′(x0)的几何意义是在曲线y = ?(x)上点P(x0,?(x0))处的切线的斜率。相应地，切线方程为y — ?(x0) = ?′(x0)(x — x0)。
导数的物理意义：若s = s(t)表示位移函数，则s′(t)表示瞬时速度，s′′(t)表示瞬时加速度。
基本初等函数的导数公式
导数的运算法则
?(x) ± g(x)′ = ?′(x) ± g′(x)；
?(x)·g(x)′ = ?′(x)g(x) + ?(x)g′(x)；
基本初等函数
导函数
?(x) = c（c
为常数）
?′(x)
= 0
?(x) = sinx
?′(x)
= csx
?(x) = ex
?′(x) =
?(x) = lnx
?′(x)
1
= x
?(x) = xα(α
?′(x) =
?(x) = csx
?′(x) =
—sinx
?(x) = ax(a >
≠ 1)
?′(x) =
?(x) = lgax(
> 0,a
≠ 1)
?′(x)
1
= xlnx
(?)
′ = ?′(x)g(x)—g(x)g′(x) (g(x) ≠ ?).
?(x)
g(x)
[g(x)]?
复合函数的求导法则：设y = ?(u)，u = g(x)，则y′x = y′u·u′x，即链式法则。
隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y 是 x 的函数，需用链式法则。
导数与函数单调性的关系：?′(x) > 0 时，函数单调递增；?′(x) < 0 时，函数单调递减；?′(x) = 0
时，函数可能为极值点。
函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点。
极值点的判定方法：先求导数，找到?′(x) = 0 或 ?′(x) 不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改变。
函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点。
函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值。
利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件。
利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件。
导数在切线方程中的应用：已知切点求切线方程，或已知切线斜率求切点坐标。
导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式。
函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质。
求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间。
二阶导数的意义：?′′(x) 可判断函数的凹凸性，?′′(x) > 0 为凹函数，?′′(x) < 0 为凸函数。
导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。
可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。
导数为 0 的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变。
利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x 轴的交点个数。
导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质。
速 查 05 数列（57 个核心考点）
数列
数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{an}，n ∈ N∗，n 为项数。
数列的项与项数：an 表示数列的第n 项，n 为项数，项是具体数值，项数是项的个数。
数列的通项公式：如果数列{an} 的第n 项与项数n 之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式．
数列的递推公式：如果已知数列{aₙ}的首项(或前几项)，且任意一项 aₙ与它的前一项 aₙ₋₁(或前几项)间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式．
数列的前 n 项和：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an，记为 Sₙ，S0 = 0．
通项公式与前 n 项和的关系：an = Sn — Sn—1(n ≥ 2)，a1 = S1，需检验 a₁是否满足n ≥ 2时的通项．
数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列；按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．
常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为an = C（C 为常数），前 n 项和Sn = nC．
摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性．
数列的单调性判断：比较 aₙ?₁与 aₙ的大小，可通过作差、作商等方法判断．
数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项．
数列的周期性：若存在非零常数 T，使得对任意n ∈ N∗，都有an+T = an，则 T 为数列的周期．
等差数列
等差数列的定义：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，记为 d．
等差数列的通项公式：an = a1 + (n — 1)d（a₁为首项，d 为公差）．
等差数列通项公式变形：an = am + (n — m)d(m，n ∈ N∗)．
等差数列的判定方法：定义法（an+1 — an = d，常数）、中项法（2an+1 = an + an+2）．
等差数列的前 n 项和公式：S = na + n(n—1) d = n(a1+an)
n122
等差数列的常用性质
在等差数列{aₙ}中，当m + n = p + q时，am + an = ap + aq(m,n,p,q ∈ N∗)．特别地，若m + n = 2t，则am + an = 2at(m,n,t ∈ N∗)．
ak，ak+m，ak+2m，⋯仍是等差数列，公差为 md(k，m ∈ N∗)．
Sn，S2n — Sn，S3n — S2n，⋯也成等差数列，公差为n2d．
若{aₙ}，{bₙ}是等差数列，则{pan + qbn}也是等差数列．
若{aₙ}是等差数列，则{ Sn }也成等差数列，其首项与{aₙ}首项相同，公差是{aₙ}1
公差的．
n2
（6） 若项数为偶数 2n，则S= n(a + a) = n(a + a)；S — S = ndS = an ．
2n12n
nn+1
；
San+1
若项数为奇数2n — 1，则S
= (2n — 1)a ；S — S = a
S = n
n
2n—1
n
；
．
Sn—1
a≤ 0
在等差数列{aₙ} 中，若 a1 > 0，d < 0，则满足 { am ≥ 0
m+1
的项数 m 使得 Sn
取得最大值 Sm；若
a≥ 0
a1 < 0，d > 0，则满足 { am ≤ 0
m+1
的项数 m 使得 Sn
取得最小值 Sm。
d
?
S = d n? + a —n。数列{aₙ} 是等差数列 ⇔S = An? + Bn(A、B 为常数)。
n?
?n
等差数列的公差与单调性：d > 0 时，数列递增；d < 0 时，数列递减；d = 0 时，数列为常数列。
等比数列
等比数列的定义：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，记为 q（q ≠ 0）。
等比数列的通项公式：an = a1qn—1（a1 为首项，q 为公比，a1 ≠ 0，q ≠ 0）。
等比数列通项公式变形：an = amqn—m（m、n ∈ ℕ∗，am ≠ 0，q ≠ 0）。
等比数列的判定方法：定义法（an+1 = q·q 为常数，q ≠ 0）、中项法（a2= a ·a，
an ≠ 0）。
an
na1(q = 1)
n+1
n n+2
等比数列的前 n 项和公式：Sn = {a1(1−qn) = a1−anq (q ≠ 1)
等比数列的性质
等比中项的推广。
1−q
1−q
p
若 m + n = p + q 时，则 aman = apaq，特别地，当 m + n = 2p 时，aman = a2。
n
①设{aₙ} 为等比数列，则 {λan}(λ 为非零常数)，{|an|}，{ak} 仍为等比数列。
②设 {aₙ} 与{bₙ} 为等比数列，则 {anbn} 也为等比数列。
等比数列{aₙ} 的单调性(等比数列的单调性由首项 a1 与公比 q 决定)。
当 a1 > 0a1 < 0
{ q > 1 或 {0 < q < 1 时，{aₙ} 为递增数列；
当 {
a1 > 0
0 < q < 1
a < 0
或1
{ q > 1 时，{aₙ} 为递减数列。
其他衍生等比数列。
若已知等比数列{aₙ}，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则：
①等间距抽取
ap，ap+k，ap+2k，⋯，ap+(n—1)k，⋯为等比数列，公比为qk；
②等长度截取
Sm，S2m — Sm，S3m — S2m，⋯ 为等比数列，公比为qm（当q = —1时，m 不为偶数）。
等比数列的最值：当q > 1，a1 > 0时，数列递增，无最大值，有最小值a1；当0 < q < 1，a1 > 0
时，数列递减，无最小值，有最大值a1。
数列求和与递推数列
数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法。
裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式，
1
（1）
= 1 — 1 。
n(n+1)n
1 1
2 n
1
n(n+2) =
1
​
n+1
1
n+2
—
11
2 2n—1
=

1
2n+1
—。
(2n—1)(2n+1)
1
n+ n+1
​
1
​
=
n + 1
=
—n。
11
2 n(n+1)
1
(n+1)(n+2)
—。
n(n+1)(n+2)
错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{anbn}，{an}为等差，{bn}为等比）。
倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前 n 项和推导）。
分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求和后相加。
递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于an+1 = an + ?(n)）、累乘法（适用于
an+1 = an·?(n)）、构造法。
构造法二级结论：
形式
构造方法
速查 06 计数原理、概率（20 个核心考点）
计数原理
完成一件事可以有 n 类不同方案，各类方案相互独立，在第 1 类方案中有 m₁种不同的方法，在第 2 类方案中有 m₂种不同的方法……在第 n 类方案中有 mₙ种不同的方法.那么，完成这件事共有
N = m1 + m2 + … + mn种不同的方法.
完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第 1 步有 m₁种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法……做第 n 步有 mₙ种不同的方法.那么，完成这件事共有N = m1 × m2 × … × mn种不同的方法.
an+1
+ q
引入参数 c，构造新的等比数列
{a — c}，其中c =q (p ≠ 1)
n1—p
an+1
+ qn
+ c
引入参数 x，y，构造新的等比数列
{an + xn + y}
an+1
两边同除以qn+1，构造新的数列 an
qn
m
排列数公式： An
= n(n — 1)(n — 2)…(n — m + 1) =n!
(n—m)!
A
m
组合数公式： Cm = n
= n(n—1)(n—2)…(n—m+1)!
A
m
nmm!
排列数、组合数性质：
(1)An = n!，0! = 1;(2)C0 = 1，Cm = Cn—m，Cm + Cm—1 = Cm
nnnnnnn+1
二项式定理：（1） (a + b)n = C0an + C1an—1b + … + Ckan—kbk + … + Cnbn(n ∈ N∗)；
nnnn
n
(2)通项公式： Tk+1 = Ckan—kbk，它表示第k + 1项；
二项式系数：二项展开式中各项的系数为（C0，Cn，，，Cn.
二项式系数的性质
概率
概率的几个基本性质
（1） 概率的取值范围：0 ≤ P(A) ≤ 1.
必然事件的概率：P(E) = 1.
不可能事件的概率：P(F) = 0.
概率的加法公式：
（1）如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则A ∪ B为必然事件，P(A ∪ B) = 1， P(A) = 1 — P(B).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B).
古典概型的概率公式
P(A) = m，m 为该事件包含的样本点个数，n 为该试验的样本点总个数. n
条件概率及其性质
条件概率的定义：对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做
条件概率，用符号 P（B| A）来表示，其公式为P(B|A) = P(AB) (P(A) > 0).
P(A)
条件概率的性质
①非负性：0 ≤ P(B|A) ≤ 1；
②可加性：如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B ∪ C|A) = P(B|A) + P(C|A).
全概率公式
¯¯
P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A)；
定理 1：若样本空间 Ω 中的事件 A₁，A₂，…，An 满足：
①任意两个事件均互斥，即 AiAj = ∅，i，j = 1，2，…，n，i≠j；
A1 + A2 + ⋯ + An = \varOmega；
P(Ai)>0， i = 1，2，….n.
则对 Ω 中的任意事件 B，都有 B = BA1 + BA2 + ⋯ + BAn，且
i=1
i=1
P(B) = ∑n P(BAi) = ∑n P(Ai)P(B∣Ai)．
贝叶斯公式
一般地，当 0 < P（A） < 1 且 P（B） > 0 时，有 P(A∣B) = P(A)P(B∣A) =P(A)P(B∣A)
P(B)¯¯
定理 2 若样本空间 Ω 中的事件 A1，A2，…，An 满足：
①任意两个事件均互斥，即 AiAj=∅， i，j = 1，2，…，n， i≠j；
A1 + A2 + ⋯ + An = \varOmega；
0 < P(Ai) < 1， i = 1，2，….n.
则对 Ω 中的任意概率非零的事件 B，都有 B = BA1 + BA2 + ⋯ + BAn，且
P(A)P(B∣A)+P(A)P(B∣A)
P(Aj)P(B∣Aj)P(Aj)P(B∣Aj)
P(Aj∣B) =
P(B)= ∑n P(A )P(B∣A )
i=1ii
相互独立事件
（1）对于事件 A，B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互独立事件
(2)若 P(AB) = P(A)P(B)， 则 A 与 B 相互独立.
¯¯¯¯
若 A 与 B 相互独立，则 A 与B，A与 B，A与B也都相互独立．
若 A 与 B 相互独立，则 P(B ｜ A) = P(B)，
P(AB) = P(B ｜ A)P(A) = P(A)P(B).
一般地，如果事件 A1，A2，…，An(n>2，n ∈ N*) 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2⋯An) = P(A1)P(A2)⋯P(An)．
概率分布
随机变量的有关概念
随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X，Y，ξ，η，…表示
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.
离散型随机变量分布列的概念及性质
概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为x1，x2，⋯，xi，⋯，xn，取每一个值
xi(i = 1,2,⋯,n)的概率P(X = xi) = pi，以表格的形式表示如下：
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列.有时也用等式P(X = xi) = pi，i = 1， 2，⋯，n表示 X 的分布列.
i=1
分布列的性质：①pi ≥ 0，i = 1，2，3，⋯，n;②∑n pi = 1.
x
x
x
xi
x
P
P
P
p
p
常见的离散型随机变量的分布列
（1）两点分布列
若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则
Cn
M N—M
P(X = k) = Ck Cn—k ，k = 0，1，2，⋯，m，其中m = min{M，n}，且n ≤ N，M ≤ N，n，M，
N
N ∈ N ∗ .
若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从超几何分布，
独立重复试验与二项分布
独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
n
二项分布：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则事件 A 恰好发生 k 次的概率为P(X = k) = Ckpk(1 — p)n—k，k = 0，1，2，⋯，n，则称随机变量 x 服从二项分布，记作 X ~ B（n，p），并称 p 为成功概率．
正态分布
正态曲线的特点
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x = μ对称；
1
③曲线在x = μ处达到峰值 ；
σ 2π
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散．
正态分布的三个常用数据
①P(μ — σ < X ≤ μ + σ) ≈ 0.6826；
x
0
1
P
1 - p
p
x
0
1
·
m
P
C0
M
C1
M
Cm
M
②P(μ — 2σ < X ≤ μ + 2σ) ≈ 0.9544；
③P(μ — 3σ < X ≤ μ + 3σ) ≈ 0.9974．
离散型随机变量的均值与方差
均值： E(X) = x1p1 + x2p2 + ⋯ + xipi + ⋯ + xnpn
i=1
方差： D(X) = ∑n (xi — E(X))2pi，其算术平方根 D(X)为随机变量x的标准差.
两个特殊分布的期望与方差：
两点分布： E(X) = p，D(X) = p(1 — p)；二项分布： E(X) = np；D(X) = np(1 — p).
常用结论：若 Y = aX + b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
E(k) = k，D(k) = 0，其中k为常数；
E(aX + b) = aE(X) + b，D(aX + b) = a2D(X)；
E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2)；
D(X) = E(X2) — (E(X))2；
若X1，X2相互独立，则E(X1·X2) = E(X1)·E(X2).
速查 07 统计案例（5 个核心考点）
变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
两个变量的线性相关
（1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
^∑n¯¯n¯ ¯
^^^
b =i=1(xi−x)(yi−y) = ∑i=1xiyi−nxy
（2y = bx + a{
¯
∑n (xi−x)2
¯ 2
∑n x2−nx
）回归方程为
，其中
i=1
^
¯^ ¯
i=1 i。
a = y−bx
i=1
（3）通过求Q = ∑n (yi — bxi — a)2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线
的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法。
相关系数：
当r > 0时，表明两个变量正相关；当r < 0时，表明两个变量负相关。
r的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于 0 时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性。
独立性检验
分类变量和列联表
分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。列联表：
定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表。
2 × 2列联表。
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数列联表（称为
2 × 2列联表）为：
y
y
总计
x1
a
b
a + b
x2
c
d
c + d
总计
a
+
b
+
n = a
+ b
+ c
+ d
a
从2 × 2列联表中，依据与
c
的值可直观得出结论：两个变量是否有关系。
a+bc+d
等高条形图
① 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征。
a
②观察等高条形图发现与
c
相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．
a+bc+d
独立性检验
χ2 =
n(ad—bc)2
计算随机变量
，利用χ2
的取值推断分类变量 x 和 Y 是否独立的方法称为χ2独立
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
性检验．
¯¯
一元线性回归方程过样本中心点（x，y）．
独立性检验的三个步骤
第一步：根据样本数据制成2 × 2列联表；
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
χ2 =
n(ad—bc)2
第二步：根据公式
，计算χ2
的值；
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断．