2026年广东省广州市第十三中学中考数学二模试卷 （含答案+解析）

这是一份2026年广东省广州市第十三中学中考数学二模试卷 （含答案+解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若分式1x−4有意义，则x的取值范围是( )
A. x=4B. x>4C. xb)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. (a+2b)(a−2b)=a2−ab−2b2
7.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天.已知快马速度是慢马速度的2倍，求慢马的速度.设慢马的速度为x里/天，则可列方程为( )
A. 900x=9002x+4B. 900x=9002x−4C. 9002x−900x=4D. 9002x+900x=4
8.给出下列函数：①y=3x，②y=−3x+2，③y=3x，④y=2x2，其中符合条件“当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是( )
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=60∘，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点.若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( )
A. 3 3B. 2 3C. 2D. 3
10.如图，菱形ABCD，A，C两点在y轴上，BD//x轴，边AD交x轴于点F，BC边交双曲线y=kx(x>0)于点E，BE=2CE，S△EFB=8，则k的值为( )
A. 3B. 83C. 4D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数y= 2x−3中自变量x的取值范围是 .
12.因式分解：ab2−2ab+a= .
13.如图，已知AB=AC，∠A=40∘，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC= 度.
14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是____(结果保留π).
15.在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为6cm、深2cm的小坑，则该铅球的直径为 cm.
16.如图，在△ABC中，AC=3，BC=2，∠C=60∘，D是线段BC上一点(不与端点B，C重合)，连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程组{3x−y=6①3x−5y=6②.
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC=5，求BD的长.
19.(本小题8分)
已知H=(1b−1a)÷a2−2ab+b22ab(a≠0,b≠0,且a≠b).
(1)化简H；
(2)若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且AB=2，求H的值.
20.(本小题8分)
广州市某中学响应国家政策，减轻家长负担，为学生提供优质午托.食堂为参加午托的960名同学提供了A、B、C、D四种套餐，为了解同学对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取了240名进行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
(1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为______.扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为______ ∘；
(2)如果你是学生会主席，你决定从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中随机选两人担任食堂“食品安全监督员”，求甲被选到的概率.
21.(本小题8分)
史载伟大诗人屈原之弟子宋玉与楚怀王对话，赞美东家之子“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱而太赤…”.
(1)据考据，当时一分约为现在的0.3厘米，若东家之子增十分后的身高是减十分后身高的1.03倍，求其身高是多少厘米？
(2)楚时好华服，东家之子欲买绢与锦共12匹制成裳，绢价每匹15钱，锦价每匹20钱，若锦的数量不少于绢数量的2倍，请你为他设计一种购买方案，使所需总费用最低.
22.(本小题8分)
如图，已知△ABC，∠BAC=90∘.
(1)尺规作图：在BC边求作点D，使得∠DAC=∠B(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接AD，若tanB=23，求△ADC与△ABC的面积比.
23.(本小题8分)
【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示.
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m，球网上端点B到地面的距离BC=1.55m，人与球网之间的距离OC=1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F.
(1)请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式.
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离CE的长是______m；
(3)甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度ℎ(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系式为ℎ=5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s.请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球.
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，平移抛物线Q1：y=x2−2ℎx+c的图象，若其顶点P始终都在直线y=kx+b(k,b均为常数)上，则称直线y=kx+b为抛物线Q1的“k−b型亲密线”.
(1)当抛物线Q1满足c=(ℎ+1)2时，
①若此时抛物线Q1的图象恰好经过原点，求顶点P的坐标；
②求该抛物线Q1的“k−b型亲密线”的表达式；
(2)将抛物线Q1进行平移，得到抛物线Q2，设抛物线Q2与y轴交点的纵坐标为n，顶点P的横坐标为m，当−2≤m≤1时，n有最小值1，若此时抛物线Q2有“k−3型亲密线”，求k的值.
25.(本小题8分)
问题提出：
(1)如图①，半圆O的直径AB=10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是______.
问题探究：
(2)如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．
问题解决：
(3)如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60∘，∠BCD=120∘，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵分式1x−4有意义，
∴x−4≠0，
解得，x≠4，
故选：D.
根据分母不等于零分式有意义，可得答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
故选：B.
先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180∘后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】解：由于有7个人，他们的成绩各不相同，第3的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，不仅要知道自己的分数，还应知道中位数的多少．
故选：D.
由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4.【答案】D
【解析】解：A.∵ 9=3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵ (−7)2=7，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵3ab−ab=2ab，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵(−2x2)2=4x4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D.
A.根据算术平方根的定义进行计算，然后判断即可；
B.根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可；
C.根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
D.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了二次根式和整式的有关运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质、积的乘方法则、幂的乘方法则、合并同类项法则．
5.【答案】B
【解析】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE，
∵AE⊥CF，
∴∠AEF=∠AEC=90∘，
在△AEF和△AEC中，
∠FAE=∠CAEAE=AE∠AEF=∠AEC，
∴△AFE≌△ACE(ASA).
∴FE=EC.AF=AC=4，
∵点D是边BC的中点，
∴DE为△CFB的中位线，
∴DE=12BF，
∴BF=2DE=2×1=2，
∴AB=AF+BF=6.
故选：B.
证明△AFE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到FE=EC.AF=AC=4，再利用三角形的中位线定理证明BF=2DE，即可求出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，根全等三角形的性质据证明FE=EC，AF=AC，再利用三角形中位线定理证明BF=2DE是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据图甲可得阴影面积为a2−b2，
根据图乙可得阴影面积为(a+b)(a−b)，
∴可以验证等式a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：C.
根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案．
此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，
根据题意，得：900x=9002x+4，
故选：A.
设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，由题意得等量关系：慢马所需的天数=快马所需的天数+4，根据等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8.【答案】C
【解析】解：①y=3x是一次函数，
∵k=3>0，
∴y随x增大而增大，
∴当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大，符合题意；
②y=−3x+2是一次函数，
∵k=−30，
∴x>0时y随x增大而减小，
∴当x>1时，函数值y随自变量x增大而减小，不符合题意；
④y=2x2是二次函数，函数图象开口向上，对称轴为x=0，
∴x>0时y随x增大而增大，
∴当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大，符合题意．
∴符合条件的是①④，
故选：C.
分别根据一次函数的性质、反比例函数的性质及二次函数的性质逐个判断各函数在x>1时的增减性即可得到答案．
本题考查的是一次函数的性质、反比例函数的性质及二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：过点A作AE⊥A′C于点D.
由旋转得，BC=B′C，∠A′CA=∠BCB′，
∴△BCB′为等腰三角形，
∵∠B=60∘，
∴△BCB′为等边三角形，
∴∠BCB′=∠A′CA=60∘.
在Rt△ABC中，AC=BC⋅tan60∘=2× 3=2 3，
在Rt△ADC中，AD=AC⋅sin60∘=2 3× 32=3，
∴点A到直线A′C的距离等于3.
故选：D.
过点A作AE⊥A′C于点D，由旋转得，BC=B′C，∠A′CA=∠BCB′，可得△BCB′为等边三角形，则∠BCB′=∠A′CA=60∘.在Rt△ABC中，AC=BC⋅tan60∘=2× 3=2 3，在Rt△ADC中，AD=AC⋅sin60∘=2 3× 32=3，根据点A到直线A′C的距离等于AD的长可得答案．
本题考查旋转的性质、等边三角形的判定、点到直线的距离、解直角三角形，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定、点到直线的距离、锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点E作y轴的垂线EQ与过B作x轴的垂线BN交于M，设菱形对角线交点为P，连接PE、OE，
∵S△EFB=8，
∴S△EFP=12×8=4，
∵BE=2CE，
∴S△CEP=12×4=2，
∵MN//y轴，
∴△CQE∽△BME，
∴CQ：BM=QE：EM=1：2，
∵QE：EM=1：2，
∴NB：BM=1：2，CQ=BN，
∴CQ=OP，
∴S△OEQ=S△CPE=2，即|k|2=2，
∵k>0，
∴k=4.
故选：C.
由△BEF与△BEP为同底三角形，且高之比为2：1，得S△EFP=4，再由CE：BE=1：2，得S△CEP=2，由相似证出CQ：BM=1：2，根据矩形与反比例函数的交点的性质得出BN：BM=1：2，得到CQ=OP，从而求出S△OEQ=2，再根据几何意义解答即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，菱形性质、同高或同底的三角形面积之比的性质及相似三角形的性质的应用是解题关键．
11.【答案】x≥32
【解析】解：由题意得，2x−3≥0，
解得x≥32.
故答案为：x≥32.
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】a(b−1)2
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(b2−2b+1)=a(b−1)2.
13.【答案】30
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40∘，
∴∠ABC=180∘−40∘2=70∘.
∵MD是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=70∘−40∘=30∘.
故答案为：30.
先根据“等边对等角”求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，然后结合“等边对等角”求出∠ABD，则此题可解．
本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
14.【答案】8−2π
【解析】【分析】
本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
根据S阴=S△ABD−S扇形BAE计算即可；
【解答】
解：S阴=S△ABD−S扇形BAE=12×4×4−45⋅π⋅42360=8−2π，
故答案为8−2π.
15.【答案】132
【解析】解：如图，由题意知，AB=6cm，CD=2cm，OD是半径，且OC⊥AB，
∴AC=CB=12AB=3(cm)，
设铅球的半径为r cm，则OC=(r−2)cm，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：(r−2)2+32=r2，
解得：r=134，
则铅球的直径为：2r=132(cm)，
故答案为：132.
由题意画出图形，设出未知数，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题．
本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，利用勾股定理进行求解是解题的关键．
16.【答案】34
【解析】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△AHC中，∠C=60∘，∠AHC=90∘，AC=3，
∴AH=AC⋅sinC=3 32，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60∘=∠C，
又∵∠DAC=∠FAD，
∴△DAC∽△FAD，
∴AFAD=ADAC，
∴AF=AD2AC=AD23，
∵CF=AC−AF，
∴当AF有最小值时，CF有最大值，
∴当AD有最小值时，AF有最小值，
∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，
∴AD的最小值为3 32，
∴AF的最小值为(3 32)23=94，
∴CF的最大值为3−94=34，
故答案为：34.
过点A作AH⊥BC于H，解Rt△AHC得到AH=3 32，证明△DAC∽△FAD，可得AF=AD2AC=AD23，根据CF=AC−AF可知，当AF有最小值时，CF有最大值，当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，可求出AF的最小值为94，则CF的最大值为3−94=34.
本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，掌握以上性质是解题的关键．
17.【答案】x=2y=0.
【解析】解：{3x−y=6①3x−5y=6②，
①-②解得：y=0，
把y=0代入①解得：x=2，
所以方程组的解为x=2y=0.
先用加减消元法求出y=0，将y=0代入①求出x，即可求解．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键．
18.【答案】解：在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=DB，
∵AC=5，
∴DB=5，即BD=5，
∴BD的长是5.
【解析】由AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△DCB，则AC=BD=5，所以BD的长是5.
此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABC≌△DCB是解题的关键．
19.【答案】解(1)H=(1b−1a)÷a2−2ab+b22ab
=a−bab÷(a−b)22ab
=a−bab⋅2ab(a−b)2
=2a−b；
(2)∵数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且AB=2，
∴a−b=±2，
∴H=2±2=±1.
【解析】(1)先把括号内的分式通分，再根据分式的除法计算法则求解即可；
(2)根据题意得到a−b=±2，据此代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，数轴，熟练掌握分式的化简求值的步骤是解题的关键．
20.【答案】60;108 12
【解析】解：(1)240×25%=60(人)，
360∘×240−60−84−24240=360∘×0.3=108∘，
故答案为：60；108；
(2)从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中随机选两人担任食堂“食品安全监督员”，作树状图如下：
由图知，总共有12种情况，其中甲被选到的情况数有6种，
∴甲被选到的概率为612=12.
(1)利用240人乘以A套餐的百分比，即可得到喜欢A套餐的人数，再利用360∘乘以C套餐所占人数比，即可解题；
(2)根据题意画出树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
本题主要考查了列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
21.【答案】解：(1)设东家之子的身高是x厘米，
根据题意得：x+0.3×10=1.03(x−0.3×10)，
解得：x=203.
答：东家之子的身高是203厘米；
(2)设购买m匹绢，则购买(12−m)匹锦，
根据题意得：12−m≥2m，
解得：m≤4.
设所需总费用为w钱，则w=15m+20(12−m)，
即w=−5m+240，
∵−50，
∴x=8 35，
∴E(8 35,0)，
∴OE=8 35(m)，
∴CE=OE−OC=(8 35−1.6)m.
故答案为：(8 35−1.6)；
(3)对于y=−12x+125，令y=0，则−12x+125=0，
∴x=245，
∴F(245,0)，
∴OF=4.8.
∴AF= OF2+OA2= (245)2+(125)2=12 55m
∵扣杀球时， 羽毛球的平均速度约为36m/s，∴12 5536= 515(秒)
∵ 5150，
∴t=2 35，
∵2 35>0.5
∴乙能接到网前吊球的击球.

【解析】(1)以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；
(2)利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则OE可求，利用CE=OE−OC解答即可得出结论；
(3)分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
24.【答案】①(−1,−1)；②y=2x+1 k的值为−3或2 2
【解析】解：(1)①由题意可得Q1：y=x2−2ℎx+(ℎ+1)2，且过原点，
故(ℎ+1)2=0，解得ℎ=−1，
则Q1：y=x2+2x，顶点P的坐标为(−1,−1)；
②∵y=x2−2ℎx+(ℎ+1)2的顶点坐标P(ℎ,2ℎ+1)，
∴点P在直线y=2x+1上，
故该抛物线Q1的“k−b型亲密线”的表达式为y=2x+1；
(2)∵抛物线Q2有“k−3型亲密线”，
∴抛物线Q1进行平移后的顶点在直线y=kx+3上，且顶点P的横坐标为m，
则二次函数可表示为y=(x−m)2+km+3，
令x=0，则n=m2+km+3，
∵当−2≤m≤1时，n有最小值1，则n为m的二次函数，开口向上，对称轴为m=−k2，
∴①当−2≤−k2≤1，即−2≤k≤4时，nmin=−14k2+3=1，
解得k=2 2(舍去负值−2 2)；
②当−k24时，nmin=4−2k+3=1，
解得k=3(不合题意，舍去)；
③当−k2>1，即k