2023年广东省广州市天河区中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省广州市天河区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个选项中，为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，国务院新闻办公室公布：截至年末全国人口总数为万，比上年末增加万人，中国人口的增长逐渐缓慢，用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是分，甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，下列说法正确的是(    )

A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定

4.  方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，四边形内接于，，连接、，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列命题中，是真命题的有(    )
全等三角形的对应边相等；
有两个角为的三角形一定是等边三角形；
两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
等腰三角形的角平分线和中线相互重合．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  已知点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 和的大小不能确定

9.  已知抛物线开口向下，且经过第三象限的点，若点与原点在抛物线对称轴的异侧，则一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

10.  定义：不大于实数的最大整数称为的整数部分，记作，例如，按此规定，若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若有意义，则的取值范围是        ．

12.  一个圆锥的侧面积为，底面圆半径为，则该圆锥的母线长为______ ．

13.  一个正多边形的每一个外角都等于，则该正多边形的内角和等于          度．

14.  已知一根弹簧在不挂重物时长，在一定的弹性限度内，每挂重物弹簧伸长则该弹簧总长随所挂物体质量变化的函数关系式为______ ．

15.  若关于的方程有两个不相等的实数根，则点在第______ 象限．

16.  如图，四边形为矩形，，，点，分别为边，上动点，且，连接，，分别将和沿，翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，当点，均落在矩形的同一条对角线上时，长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.  解方程组：．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图所示，，，，求证：≌．

19.  本小题分
某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生第一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，抽查情况如表：

请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
所抽查学生阅读量的众数为______ ，中位数为______ ；
样本数据中优秀等级学生有人，其中仅有名男生现从中任选派名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选名同学中有男生的概率．

20.  本小题分
某校九年级组织各班级每班人数都大于但不超过同学观看励志电影，由各班班长负责买票，票价为每张元在询问买团体票的优惠情况时，售票员说：“人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案一是全班同学打折；方案二是班级中可有人免费，剩余同学打折”
填空：若三班班长说：“我们班无论选择何种方案，付的钱数都是一样的”那么，三班人数为______ ；
若二班班长通过比较发现，确定二班采用方案一比较优惠，求二班的人数．

21.  本小题分
已知代数式．
化简；
若是方程的根，求的值．

22.  本小题分
已知正方形中，，是边上的动点，连接和．
尺规作图：在图中分别作线段和的中点和，连接；不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹
当时，求中所作的线段的长度．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴负半轴分别相交于，两点，连接并延长分别交，轴于点和点，连接并延长交轴的正半轴于点，已知，点的坐标为．
求点的坐标；
求点的坐标．

24.  本小题分
已知函数和函数，其中，，为常数，且，记函数的顶点为．
当时，点恰好在函数的图象上，求的值；
随着的变化，点是否都在某一条抛物线上？如果是，求出该抛物线的解析式，如果不是，请说明理由；
当时，总有，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，在菱形中，，，点在边上，过点作，，分别交直线于点，．
当点与点重合时，求的长；
设与菱形重叠部分图形的面积为，当时，求的最大值；
若以线段为边，在的右侧作等边三角形，当线段长最小时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B.是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C.是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
根据无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：乙的成绩方差甲成绩的方差，
乙的成绩比甲的成绩稳定，
故选：．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是，
故选：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则、二次根式的加法、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法，同底数幂的乘法法则，完全平方公式及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由圆周角定理得到，由圆心角，弧，弦的关系得到，于是得到，即可得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，涉及到圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：全等三角形的对应边相等，是真命题；
有两个角为的三角形一定是等边三角形，是真命题；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题说法是假命题；
等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线相互重合，故本小题说法是假命题；
故选：．
根据全等三角形的性质、等边三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的三线合一判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
图象位于二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
又，
图象在第四象限，
，
故选：．
反比例函数的系数为，在每一个象限内，随的增大而增大．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，且经过第三象限的点，若点与原点在抛物线对称轴的异侧，
，，
，
当时，，
的图象在第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：．
根据二次函数的图象可以判断、、的正负情况，从而可以得到一次函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，
即，
解得，
故选：．
先由题意得，再运用解不等式组的知识进行求解．
此题考查了无理数的估算与一元一次不等式组的求解能力．关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
．
故答案为：．
直接根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设该圆锥的母线长为，
根据题意得：，
解得，
即该圆锥的母线长是．
故答案为：．
设该圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面积公式得到方程，然后解方程即可求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理，外角和是多边形内角和定理：且为整数，多边形的外角和是，由此即可求解．
【解答】
解：正多边形的边数是，
正多边形的内角和等于．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根据实际问题列一次函数关系式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
弹簧总长挂上的重物时弹簧伸长的长度弹簧原来的长度，把相关数值代入即可．
【解答】
解：每挂重物弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为．  

15.【答案】四 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，即，
，
，，
在第四象限，
故答案为：四．
根据关于的方程有两个不相等的实数根，可得，从而可得答案．
本题考查一元二次方程根的判别式和直角坐标系中点坐标的符号特征，解题的关键是利用一元二次方程有两个不相等的实数根列出关于的不等式，解得的范围．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当点，均落在矩形的对角线上时，如图，

四边形为矩形，，，
，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
，，
，
；
当点，均落在矩形的对角线上时，如图，交于点，

四边形为矩形，，，
，，，
，
根据折叠可的性质可得，，，
垂直平分，
，
，即，
，
在中，，
，
，
，
∽，
，即，
．
综上，当点，均落在矩形的同一条对角线上时，长为或．
故答案为：或．
分两种情况：当点，均落在矩形的对角线上时，先根据勾股定理求出，由折叠可知，，利用可得，代入计算即可求出；当点，均落在矩形的对角线上时，设交于点，先根据勾股定理求出，由折叠可知垂直平分，根据等面积法求出，在中，再利用勾股定理求出，则，进而求得，易证∽，最后根据相似三角形的性质即可求出．
本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
 

17.【答案】解：
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
原方程组的解为． 

【解析】本题考查解二元一次方程组，考查计算能力，属于基础题．
利用加减消元法解二元一次方程组．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
在和中，

≌． 

【解析】已知，是公共角，从而可推出，已知，，从而可以利用来判定≌．
此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有：，，，等，做题时注意灵活运用．
 

19.【答案】   

【解析】解：由表格知，所抽查学生阅读量的众数为，中位数为，
故答案为：，；
画树状图如下：

共有种情况，其中所选名同学中有男生的有种结果，
所选名同学中有男生的概率为．
根据众数和中位数的定义求解即可；
画树状图，共有种情况，其中所选名同学中有男生的有种结果，再由概率公式即可得出答案．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、众数、平均数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】 

【解析】解：设三班有人，根据题意得，
，
解得．
答：三班有人．
故答案为：；
设二班有人，根据题意得，
，
解得，
每班人数都大于但不超过，
二班可能是或人．
设三班有人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出一元一次方程求解即可；
设二班有人，根据题意列不等式进行分析即可解答本题．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
 

21.【答案】解：


；
是方程的根，
，
． 

【解析】先进行同分母的减法运算，再约分和进行多项式乘法运算，然后合并即可；
根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了分式的加减法．
 

22.【答案】解：图形如图所示：


设，则．
，，，
，
负根已经舍去，
，
，，
． 

【解析】连接交于点，作平分，交于点，点，即为所求；
利用三角形中位线定理求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

23.【答案】解：如图，过点作轴于点，连接，，
则．
又，，
≌，
，，

点的坐标为；
过点作于点，
设，
易得，，
，
用勾股定理可得：
解得，
点的坐标为．
设直线的解析式为：则得，
解
直线的解析式为：，
当，即，
解得，
点的坐标． 

【解析】如图中，过点作轴于点，由≌，推出，即可得到点的坐标；
过点作于点，设，根据勾股定理得到，求得点的坐标为求得直线的解析式为，解方程即可得到结论．
本题考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质以及切线的判定与性质．解题时，注意数形结合数学思想的应用．
 

24.【答案】解：当时，，
此时，顶点的坐标为，
点在函数的图象上，
，
解得：；
，
，
设，则，
，
点是在抛物线上运动；
，
，
整理得：，
，
，
，
，
当时，总有，
小于的最小值，
． 

【解析】把代入得，则，再将点的坐标代入函数的解析式中即可求解；
将函数化为顶点式得，在，设，则，将其代入中即可求解；
由可得，化简得，根据总有可得小于的最小值，以此即可求解
本题主要考查二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、利用换元法求二次函数解析式、二次函数与不等式，会将二次函数的一般式化为顶点式是解题关键．
 

25.【答案】解：当点与点重合时，如图，

四边形是菱形，，，
，
，
，
，
；
时，如图，

，，，
，
，，
，
当时，的最大值为；
当时，如图，过点作于，

，，
，
，，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
当时，的最大值为；
，
当时，的最大值为；
如图，

为等边三角形，
，
在中，，
为定值，
点的运动轨迹为直线，
当时，线段长最小，
过点作于，过点作于，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
当线段长最小时，的值为． 

【解析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质可得出答案；
分两种情况：当时，当时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；
连接，由直角三角形的性质得出为定值，则点的运动轨迹为直线，求出的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确进行分类讨论，数形结合是解题的关键．