新高考数学二轮专题复习练习 导数专题九（含答案）

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利用导数证明不等式
典例1、设函数，其中为自然对数的底数.
（1）当时，判断函数的单调性（2）若直线是函数的切线，求实数的值；
（3）当时，证明：.
随堂练习：已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．
（1）求a的值； （2）求函数的单调区间；
（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．
典例2、已知函数
（1）若曲线在点处的切线与轴平行.（i）求的值；（ii）求函数的单调区间；
（2）若，求证：.
随堂练习：已知函数，g .
（1）求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性；
（3）当时，求证： .
典例3、形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.
（1）求曲线在处的切线方程； （2）若，求的单调区间；
（3）求证：恒成立.
随堂练习：已知函数，．
（1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间；
（3）证明：对任意的实数，，，都有恒成立．
知识点二 函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数证明不等式
典例4、已知函数在处的切线过点，a为常数．
（1）求a的值； （2）证明：．
随堂练习：已知函数(为自然对数的底数，为常数)的图像在(0，1)处的切线斜率为.
（1）求的值及函数的极值； （2）证明：当时，.
典例5、已知函数.
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）若曲线的一条切线为，证明：当时，恒成立.
随堂练习：：已知函数（），曲线在点处的切线在轴上的截距为.
（1）求的最小值； （2）证明：当时，.
典例6、已知函数.
（1）当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求a的值；
（3）求证：对任意正整数，都有（其中e为自然对数的底数）.
随堂练习：已知曲线在处的切线方程为．其中a、b均为实数．
（1）求的值； （2）若是函数的极小值点，证明：．
2024年高考导数复习专题九答案
典例1、答案：（1）在区间上单调递增.（2）（3）见证明
解：（1）函数的定义域为.
因为，所以， 所以在区间上单调递增.
（2）设切点为，则，
因为，所以，得， 所以.
设，则， 所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减， 所以.
因为方程仅有一解， 所以.
（3）因为，
设，则，所以在单调递增.
因为，， 所以存在，使得.
当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，
所以. 因为，所以，，
所以.
随堂练习：答案： （1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是；
（3）
解: （1）的定义域为．
曲线在处的切线平行于直线，，．
（2），．
当时，是增函数；当时，是减函数．
函数的单调增区间是，单调减区间是．
（3），，．
又，
．
设，则， 在上是增函数．
令，不妨设，，，
即．又，，．
典例2、答案：（1）（i），（ii）单增区间为，单递减区间为（2）证明见解析.
解:（1）（i）定义域为，由 可得，
因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，可得：，
（ii）当时，，， 令，则，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，；当时，，；
所以单增区间为，单递减区间为；
（2）要证明，即证， 等价于
令，只需证明， ，，
由得有异号的两根， 令其正根为，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以，
所以，，可得，
所以，即.
随堂练习：答案：（1） （2）当时，在R上单调递增；当时，在 上单调递减，在上单调递增； （3）证明见解析
解：（1）定义域为，，则，
所以在点处的切线方程为：，即
（2）定义域为R，，当时，恒成立，在R上单调递增，
当时，令，解得：，令，
解得：，故在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，
在上单调递增.
（3）令，，，当时，，
单调递减，故，即，故，
令，，其中，
则，
令，则，令，解得：，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由于，故，
所以在上恒成立，故在上单调递增，，
所以，证毕.
典例3、答案：（1）；（2）的单调增区间为，无单调减区间；（3）证明见解析.
解: （1）由幂指函数导数公式得， 所以，又，
所以，曲线在处的切线方程为.
（2），
则，
所以的单调增区间为，无单调减区间.
（3）构造，， 则，
令， 所以，
因为与同号，所以，所以，又，所以，
所以即为上增函数，又因为， 所以，当时，；
当时，. 所以，为上减函数，为上增函数，
所以，， 即，
因此，恒成立，即证.
随堂练习：答案：（1）；（2）单调递增区间是，单调递减区间是；
（3）证明见解析.
解:（1）由题意可知，，， 所以，
所以在处的切线方程为，即．
（2），
当时，； 当时，；
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（3）证明：不等式 可化为．
设， 即证函数在上是增函数，
即证在上恒成立，
即证在上恒成立． 令，则，
在上单调递减，在上单调递增，， 所以，即．
因为，所以， 所以要证成立，只需证．
令，， 则，
当时，，单调递减； 当时，，单调递增，
所以， 所以，
即在上恒成立，即证．
典例4、答案：（1） （2）证明见解析.
解：（1）由，得， 所以，，
因为在处的切线过点， 所以，
所以，解得，
（2）证明：要证，即证， 即证，
即证， 因为， 所以即证，
令，则， 当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增， 所以， 所以恒成立，
令，则， 所以在递增，
所以当时，取得最小值0， 所以原不等式成立.
随堂练习：答案：（1），极小值，无极大值 （2）证明见解析
解：（1）由，得. 由题意得，，即，
所以，. 令，得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
所以当时，取得极小值，且极小值为， 无极大值．
（2）证明：令，则. 由(1)知，，
故在上单调递增． 所以当时，， 即.
典例5、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由，得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
，此时恒成立，
当时，令则，解得， 当时，，
当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最小值为 ，不满题意，
综上所述，的取值范围为.
（2）由题意可知，， 所以，
设切线为的切点为， 则 ，解得，
所以， 所以，
要证，只需证即可，
所以表示点与点连线的斜率，
因为，所以当距的距离越远，斜率越小，当b趋近a时，，
所以成立，即证.
随堂练习：答案：（1） 的最小值为0. （2）详见解析.
解：（1），，
故曲线在点处的切线方程为：
将代入求得，所以.
当时，，单调递增； 当时，，单调递减；
所以， 故的最小值为0.
（2）由（1）知当时，，从而
所以有，，（当时等号成立）， 所以有，
要证成立，只要证成立，
令，且 ， ，
故在上为增函数，所以
即恒成立，故成立，
所以成立.
典例6、答案：（1） 单调增区间是，单调减区间是和 （2） （3）证明见解析
解：（1）的定义域为，，
令得或，当时，；当时，；当时，，
∴的单调增区间是，单调减区间是和.
（2）由，得对恒成立. 记，，
1°若，则恒成立，在上单调递减，
当时，，不符合题意.
2°若，令，得， 当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减， ∴.
记，. 令得，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
∴，即（当且仅当时取等号），
∴.又因为，故.
（3）由（2）可知：，（当且仅当时等号成立）.
令，则，（，3，4…，n）.
∴，
即，
也即，
所以，
故对任意正整数，都有.
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）定义域为 ， ， 由题意知， ,
解得 , ∴;
（2）由（1）知 ， 令 ，则 ，
从而 ，即单调递增，
，故存在唯一的 使得，
故可得下表：
从而是仅有的一个极小值点，∴ ，∴，
令 ， 则 ，
从而 在 上单调递减，， 故 ；
下证 ，即证； 一方面令，则，
则 在上单调递增，从而 ，
另一方面，令， 令有，
从而， 从而即成立，故 ，
故.
x


-
0
+
递减
极小值
递增
x
+
0
-

递增
极大值
递减