新高考数学二轮专题复习练习 导数专题七（含答案）

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典例1、已知：函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
随堂练习：已知函数.
（1）讨论的单调性；（2）求证：当时，.
典例2、已知函数．
（1）讨论函数的单调性； （2）若且，求证：．
随堂练习：已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性； （2）若且，求证：.
典例3、已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）证明：当时，，.
随堂练习：已知函数
讨论函数的单调性；
设，对任意的恒成立，求整数的最大值；
求证：当时，
知识点二 利用导数研究方程的根,由导数求函数的最值（含参）
典例4、已知函数，其中.
（1）当时，求的最小值； （2）讨论方程根的个数.
随堂练习：已知，．
（1）存在满足：，，求的值；
（2）当时，讨论的零点个数．
典例5、已知函数，．
（1）当a＝2时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论关于x的方程的实根个数．
典例6、函数，.
（1）试讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的集合；
（3）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.
2024年高考导数复习专题七答案
典例1、答案： （1）单调递增；（2）.
解:（1）当时，， 所以，
令，则， 当时，，递减；
当时，，递增； 所以取得最小值，
所以在上成立， 所以在上递增；
（2）因为在上单调递增， 所以，恒成立，
即，恒成立， 令，则，
当时，当时，，递减； 当时，，递增；
所以取得最小值， 所以
当时，易知，不成立， 当a=0时，成立，
综上：， 所以实数的取值范围.
随堂练习：答案：（1）见解析；（2）证明见解析.
解：（1）函数，定义域为， 所以，
当时，，在单调递减；
当时， 令，则，解得，在单调递增；
令，则，解得；在单调递减；
综上：当时，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）要证当时，， 只须证：，
而，因此，只要证：， 设，
则， 当时，单调递增；
当时，单调递减； 所以，即；
所以当时，．
典例2、答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析.
解:（1）函数的定义域为，．
若，则，在上单调递减．若，当时，；
当时，；当时，，
故在上，单调递减；在上，单调递增．
若，当时，； 当时，；当时，，
故在上，单调递减；在上，单调递增．
（2）若且，则． 欲证，
只需证． 设函数，则．
当时，，函数在上单调递增，所以．
设函数，则．
设函数，则．
当时，， 故存在，使得，
从而函数在上单调递增；在上单调递减， 所以，且，
故存在，使得， 即当时，，当时，，
从而函数在上单调递增；在上单调递减．
因为，， 所以当时，，所以，，
即，．
一题多解：（2）另解一 若且，则，
欲证， 只需证．
设函数，则． 当时，，函数在上单调递增．
所以． 设函数，，
因为，所以，所以， 又，所以，
所以， 即原不等式成立．
随堂练习：答案： (1)答案见解析；(2)证明见解析.
解:（1）函数的定义域为
①若时，则，在上单调递减；
②若时，当时， 当时，；当时，
故在上，单调递减；在上，单调递增
（2）若且，欲证 只需证 即证
设函数，，则
当时，；故函数在上单调递增 所以
设函数，则
设函数，则
当时， 故存在，使得
从而函数在上单调递增；在上单调递减
当时， 当时， 故存在，使得
即当时，，当时，
从而函数在上单调递增；在上单调递减
因为 故当时，
所以 即
典例3、答案：（1）在上单调递增，在上单调递减． （2）证明见解析.
解：（1）由题意知， ,
当 时， 对恒成立，
所以当 时， ；当 时，,
所以函数 在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：要证明当时，，,
即证当时，对任意， 恒成立，
令 ， 所以，
因为，，则，仅在或时取等号，所以函数 在上单调递减，
所以 ， 即当时，，.
随堂练习:答案:（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.
解:（1）
① 若，则，函数在上为增函数；
②若，由可得；由可得
因此在上为增函数，在上为减函数；
（2）若，则，不满足题意；
若，则在上为增函数，在上为减函数；
设，则，又在上单调递增 且，
故存在唯一使得 当时，，当时，
故，解得 ，又， 则综上的最大值为；
（3）由（2）可知，时，
，
记，则 记，则
由可得 ，
所以函数在上单调递减，在上单调递增
所以
故，故函数在上单调递增
即
典例4、答案：（1） （2）答案见解析
解：（1）时，.
①时，， ，
所以，即在时单调递减；
②时，.
所以，即在时单调递增；
当时，取得最小值为 所以的最小值是.
（2）由题，， 则，
即.
所以.由，得.
当时，； 当时，；
所以，在上递减；在上递增.
又因为，所以，当且仅当或.
又，故和不可能同时成立.
所以方程根的个数是两函数和的零点个数之和，其中
当时，函数的零点个数转换为直线与函数图象的交点个数，
，令，即，解得.
当易知时，,单调递减， 当时，，单调递增；
在处取得最小值为，
所以时，直线与函数图象无交点，函数无零点；
时，直线与函数图象有一个交点，函数有1个零点；
时，直线与函数图象有2个交点函数，有2个零点.
同理：函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数，
设，则 所以函数在单调递增，
在处的函数值为， 所以故时，在上必有1个零点.
综上所述，时，方程有1个根； 时，方程有2个根；时，方程有3个根.
随堂练习：答案：（1） 或4； （2）答案见解析.
解：（1）时，原条件等价于， ∴，
令，则，
∴为增函数，由，则有唯一解，所以，
时，，解得：． 综上，或4．
（2）ⅰ.时，则，，
而，，即为增函数，又，
当时；当时，故，
∴恒成立，故时零点个数为0；
ⅱ.时，，由①知：仅当时，此时零点个数为1．
ⅲ.时，，则，，
∴为增函数，，，
∴仅有一解，设为，则在上，在上，
所以最小值为，故．
又，，
故、上各有一零点，即有2个零点．
ⅳ.时，上，
，
∴无零点，则上，，，
∴为增函数，，，
∴有唯一解，设为，则，
又，，
故、上，各有一个零点，即有2个零点．
ⅴ.时，由（1）知：上有唯一零点：；
在上，则，，
所以为增函数，，，故使，
则上，递减；上，递增；
故，而，
又，，故在、上各有一个零点，
所以共有3个零点．
综上：时零点个数为0；时零点个数为1；时零点个数为2；时 零点个数为3．
典例5、答案：（1） （2）答案不唯一，具体见解析
解：（1）当a＝2时，，， 则切线的斜率为，
又，所以曲线在处的切线方程是，即．
（2）即为，化简得，
令，则， 令，则，
令，得． 当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减．
①当时，，即， 所以在R上单调递减．
又，所以有唯一零点0；
②当时，，，所以存在，，
又，
令，，
所以在上单调递减，，
即，所以存在，，
则，又，所以存在，；
同理，，又，所以存在，，
由单调性可知，此时有且仅有三个零点0，，．
综上，当时，有唯一零点，方程有唯一的实根；
当时，有且仅有三个零点，方程有3个实根．
典例6、答案：（1）当时，在 上是减函数，在上是增函数，当时， 在上是减函数；（2）；（3）2，证明见解析.
详解:（1）定义域为： ，， 由得： ，
当时，， 在 上是减函数，在上是增函数，
当时，， 在上是减函数，
当时，，在上是减函数，
综上所述，当时，在 上是减函数，在上是增函数，
当时，在上是减函数.
（2）由（1）知， 当时，，
由恒成立得，， 设，，
， 由得：， 在 上是增函数，在上是减函数，
， ， 要使恒成立，则，
当时，在上是减函数，且， 当，，不合题意，
综上所述，实数的集合；
（3）原问题可转化为方程的实根个数问题，
当时，的图象与的图象有且仅有2个交点，理由如下：
由得，， 令，
因为，所以是的一根， ，
，当时，，，
所以，在上单调递减，， 即在上无实根；
，当时，， 所以在上单调递增，
又，， 所以在上有唯一实数根 ，，
且满足，
①当时，，在上单调递减， 此时，在上无实根；
②当时，，在上单调递增，
此时，
， 故在上有唯一实根；
，当时，由（1）知，在上单调递增，
所以，
故
即在上无实根；
综合，，得，有且仅有两个实根，即的图象与的图象有且仅有2个交点.
x
n
m
－
0
＋
－
单调递减
单调递增
单调递减