新高考数学二轮专题复习练习 导数专题六（含答案）

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典例1、已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
随堂练习：已知，，
（1）若与在处的切线重合，分别求，的值.
（2）若，恒成立，求的取值范围.
典例2、已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）已知，对，，求a的取值范围.
随堂练习：已知函数在点处的切线方程2x－2y－3=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）设函数的两个极值点为，且，若恒成立，求满足条件的的最大值．
典例3、已知函数.
（1）若在处的切线与轴垂直，求的极值；
（2）若有两个不同的极值点，且恒成立，求的取值范围.
随堂练习：已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
（1）求实数m的值，并求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
知识点二 利用导数研究方程的根,由导数求函数的最值（含参）
典例4、已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
典例5、已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.
随堂练习：已知函数.
（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?
典例6、已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．
随堂练习：已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x.
（1）若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
2024年高考导数复习专题六答案
典例1、答案:（1） （2）
解：（1）当时，, 所以.
所以,，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题易得，由，得:
，
令， 则，所以在上单调递增，
式等价于，即．
所以，，
令，则有， 令，即，解得，
当时， ；当时， ；
所以在上单调递减，在上单调递增， 所以；
所以只需，即． 综上，实数m的取值范围是．
随堂练习：答案：（1）， （2）
解：（1）因为，， 所以.，，
因为且， 即且， 解得，.
（2）因为对恒成立，
.对恒成立，
即对恒成立，
令，
因为， 所以是的最小值点，且是的极值点，即，
因为在上单调递增，且，所以，
下面检验：当时，对恒成立，
因为，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，符合题意， 所以.
典例2、答案：（1） （2）
解：（1），
， 的图象在处的切线方程为：
， ， ，在上恒成立，
令， ，
令， ，
令， ，
， ，则在上单调递减，
， 在上单调递减， ，
①当，即时，， ，在上单调递减，
， 解得，
②当时，， 所以存在使得，
当时，， ，在单调增， ，
因为，所以， 所以，
所以当，与矛盾，所以当时，不符合题意，
综上所述，a的取值范围.
随堂练习：答案：（1），b=1 （2）
解：（1）由，得，
因为点在切线方程2x－2y－3=0上，所以2－2y－3=0， 解得，即，
又∵，所以解得，b=1．
（2）由（1）知，，则，
则，
由，得，因为，是函数g（x）的两个极值点，
所以方程有两个不相等的正实根，，
所以，，所以．因为，所以，解得或．
因为，所以，
所以，
令，则，
所以F（x）在当上单调递减，所以当时，F（x）取得最小值，
即，所以， 即实数的最大值为．
典例3、答案：（1） 极大值为，极小值为 （2）
解：（1），的定义域为， ，
若在处的切线与轴垂直， 则，
所以，，
所以在区间递增； 在区间递减.
所以的极大值为，极小值为.
（2）若有两个不同的极值点，则有两个不同的正根，
即有两个不同的正根， 所以，解得.
， ， 依题意，恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，所以，
解得. 故的取值范围为
随堂练习：答案：（1），增区间是，减区间是 （2）
解：（1）函数的定义域为，，
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，故，解得，所以，所以．
当时，，又，则， 故，所以在上单调递减．
（2）设，则，
当时，，，是增函数，即在上单调递增，
所以，因此在上单调递增，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
不等式可化为，
设，由已知可得在上恒成立，满足题意．
因为，令，
则，令，
则，所以即在上是增函数，
，当时，，
函数即在上单调递增， 所以，在上单调递增，
所以恒成立，原不等式恒成立；
当时，则，又，
所以存在，使得，
时，，即在上单调递减，
时，，即在上单调递增，
又，所以时，，从而在上单调递减，
于是当时，，不合题意．
综上，实数a的取值范围是．
典例4、答案：（1）单增区间是，单减区间是，极小值，无极大值；（2）.
解:（1）的定义域是，， 可得，
所以的单增区间是，单减区间是
当时，取得极小值，无极大值.
（2）由（1）以及当，， ，， ，
因为方程有两个不同的解， 所以a的取值范围为.
随堂练习：答案：（1） 见解析； （2） .
解：（1）， 时，，在R上单调递减；
时，，，单调递增， ，，单调递减；
综上，时，在R上单调递减；
a＞0时，f(x)在单调递增，在单调递减.
（2），
令， 则，
∴g(x)在(1，e)上单调递增， ∴ ∴.
典例5、答案：（1） 答案见解析 （2）
解：（1），，.
①当，，函数在上单调递增；
②当，令，得， 时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间；
（2）当，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
根据题意可知：方程，即有两个不同的实根.
由可得：. 令，当时，，
时，，，所以在上单调递增，
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根.
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，.
①若，则，没有零点；
②若，则，当且仅当时取等号，只有一个零点；
③若，则，，.
令，则当时，，即在上单调递增，
所以，即.
故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件.
综上可知，实数的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）1答案见解析 （2）存在，理由见解析.
解：（1）当时，，，
令，解得，此时在和上单调递减，在上单调递增，
由于，故当时，；
当时，，，
故当时，在区间上单调递减，；
当时，在区间上单调递增，，
当时，.
综上，当时，在上的最大值为，
当时，在上的最大值为.
（2）假设曲线上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形，
且此直角三角形斜边的中点在y轴上，则，只能在轴的两侧，
不妨设（），则，且．
因为△是以为直角顶点的直角三角形，所以，即： ①
是否存在点，等价于方程①是否有解．
若，则，代入方程①得：，此方程无实数解；
若，则，代入方程①得：，
设（），则在上恒成立，
所以在上单调递增，从而，
所以当时，方程有解，即方程①有解．
所以，对任意给定的正实数，曲线上存在两点，，
使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．
典例6、答案： （1）答案详见解析 （2）
解：（1）的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上递增；
当时，在区间递增；在区间递减.
（2）依题意有且仅有两个不相等实根，即有两个不相等的实根，
，构造函数，
，所以在区间递增；在区间递减.
所以. ，当时，，，
， 所以的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）－；（2）(－∞，－1]；（3）.
解:（1）由题意，得 (x>0)，
因为x＝2时，函数f(x)取得极值，所以，即，解得，
则，则，令，则或，所以和时，，单调递减，时，，则单调递增，故函数在x＝2处取得极大值，故符合题意，因为；
（2）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意在时恒成立，
即在时恒成立，则在时恒成立，即，
当时，取最小值，所以a的取值范围是.
（3）当时，， 即.
设， 则，令，或，
当变化时，的变化情况如下表：
所以g(x)极小值＝g（2）＝ln2－b－2， g(x)极大值＝g（1）＝－b－，
又g（4）＝2ln2－b－2，
因为方程g(x)＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根， 则，解得ln2－2