新高考数学三轮冲刺训大题仿真卷04（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺训大题仿真卷04（2份，原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是≤1+13+⋯+13n−1=，
所以.
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.
2．（23-24高三上·山东日照·期末）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.
参考公式：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据最小二乘法的估计公式求出相关数据，求出，即可求得关于的线性回归方程；
（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，确定的所有可能值，求出每个值相应的概率，即可求得X的期望，进而可得该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望，列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得，
又，
，
，
，
所以，
故得关于的线性回归方程为；
（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为，
，
，
，
，
则，可得，
又因为，可得，
故.
3．（2024·山东威海·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)令.若曲线与存在公切线，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，即可对讨论求解导函数的单调性，结合二次函数的性质求解，
（2）设出切点，根据点斜式求解直线方程，根据公切线可得，进而可得，构造函数且求导，即可根据单调性求解函数的值域得解.
【详解】（1），
①当时，的定义域为0,+∞，
令f′x>0，即得，所以，
因为，解得：；
令，解得：，
②当时，的定义域为，
令f′x>0，即得，所以，
因为，解得：，
令，解得：，
综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意知：设的切点横坐标，则hx在处的切线方程为.③
设的切点横坐标，则在处的切线方程为.④
联立③④，得，
当时，，代入方程组，不成立，
所以消去得.
设函数且.
令，得或.
令φ′x>0，解得且；令φ′x0，当时，f′x