河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求函数的定义域求得集合A ，由此求得.
【详解】对于集合，则，解得，即．
因为，所以．
2. 若函数，则的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】令，则．
因为，所以，
所以，所以的值域为．
3. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（a ，），则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合了狄利克雷函数的定义和基本不等式求最值.
【详解】①当时，．因为，所以．
因为，所以不符合题意．
②当时，．因为，
所以．因为，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值是．
4. 某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（ ）
A. 432种B. 144种C. 96种D. 48种
【答案】B
【解析】
【分析】应用捆绑法解决相邻问题，应用间接法解决不相邻计算求解.
【详解】将2个体育类作品捆绑，共种排法，其他作品任意排列，共有种不同的展示方法．
将2个体育类作品捆绑，有种排法，将绘画类与演讲类作品捆绑，有种排法，其他作品任意排列，此时共有种不同展示方法，
所以体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有（种）．
5. 在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A. B. 256C. 960D. 3840
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据二项式系数之和求出n ，然后求展开式的通项公式，确定展开式的常数项.
【详解】因为的展开式中，二项式系数之和为64，
所以，解得，
所以，
展开式的通项为.
令，得，
所以展开式的常数项为．
6. 函数，若对任意，（），都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解.
【详解】设，因为对任意，都有成立，
所以对任意，都有成立，
即对任意，都有成立．
因为，
所以函数，在上单调递减，
所以，
解得，即实数a 的取值范围是．
7. 若曲线在x=1 处的切线也是曲线的切线，则ab 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用a 表示b 并建立函数关系，利用导数求出最大值.
【详解】函数，求导得，则，而，
曲线在x=1 处的切线方程为，即，
设曲线在x=1 处的切线与曲线相切的切点为，
而，则且，于是，
解得，，即．
因此，令函数，
求导得，由，得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，所以ab 的最大值为.
8. 已知双曲线：，椭圆C2：，若M ， 分别是，C2上的动点，O 为坐标原点，若，则点O 到直线的距离是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】分情况讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，直接求出点O 到直线的距离；当斜率存在时，设出直线方程，联立方程组，利用向量垂直的性质得到直线方程中参数的关系，再根据点到直线的距离公式求解.
【详解】因为，所以．
当直线轴时，，，
则，
故点O 到直线 的距离是；
如图，
当直线不垂直于x 轴时，设直线的方程为，
则直线的方程为．
联立，解得，
所以．同理可得．
设点O 到直线 的距离是．
因为，，
所以，
所以．
综上，点O 到直线 的距离是．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知变量x ，之间的经验回归方程是，且变量x ，之间的一组相关数据如下表所示，经验回归直线过点，当时，的预测值为0.6，则下列说法正确的是（ ）
提示：相关系数，．
A. B. 变量x ，之间成负相关关系
C. 数据的残差平方和较大D.
【答案】BD
【解析】
【详解】对于A，由，得；由，得，因此，A错误；
对于B，当时，的预测值为，则，解得，
经验回归方程为，因此变量之间成负相关关系，B正确；
对于CD，，
，
，
因此，，接近于1，数据的残差平方和很小，C错误，D正确.
10. 一袋中装有10个小球，小球表面印有长城、九寨沟、张家界三种图案，其数量分别为4，3，3，小球除表面的图案不同外，其余均相同．每次从中随机摸出1个小球，连续摸球两次．设事件为“第一次摸到印有长城图案的小球”，事件为“第二次摸到印有张家界图案的小球”，则下列结论正确的有（ ）
A. 若摸出后放回，则第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是
B. 若摸出后不放回，则
C. 若摸出后不放回，则
D. 若摸出后不放回，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，因为摸出后放回，所以每次摸出球的概率不变；对于选项B，根据条件概率求解；对于选项C，利用概率的乘法公式求解；对于选项D，利用全概率公式求解.
【详解】对于A，若摸出后放回，每次只摸一个球，则每次摸出球的概率不变，故第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是，故A正确；
对于B，若摸出后不放回，则，故B正确；
对于C，若摸出后不放回，则，故C错误；
对于D，若摸出后不放回，设事件为“第一次摸到印有张家界图案的小球”，则，
所以，故由全概率公式得，故D正确．
11. 已知函数（），其中是在处的导数值，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则是奇函数且在上单调递增
B. 若函数在定义域上无极值点，则
C. 若a=4 ，则函数的图象的对称中心是
D. 若a=4 ，有三个不相等的实数根，则当取得最大值时，m 等于16
【答案】BCD
【解析】
【分析】A. 代入得，虽在上单调递增，但不满足奇函数定义；
B. 求导得导函数为二次式，无极值点等价于导函数无变号零点，即两根相等，可解得a 的值；
C. 代入a=4 得的表达式，求二阶导可得拐点横坐标，验证对称性得对称中心；
D. 三次方程三根时由韦达定理及根与系数关系，用表达并配方求最大值，代回得对应.
【详解】由题意，得，所以，所以．
对于A，若，则，所以在上单调递增，但它是非奇非偶函数，故A错误．
对于B，由得．
因为函数在定义域上无极值点，所以无变号零点．
令，得．当时，，此时无变号零点；
当时，有变号零点，不符合题意，舍去．所以，故B正确．
对于C，当a=4 时，．
因为，所以，所以．
令，则．令，得x=−1 ，
所以，所以函数的图象的对称中心是，故C正确．
对于D，由C项分析知，．
当和时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减．
因为，
所以要使得有三个解，则，
且是方程的根．
为了简化研究，由对称性，只研究的情况．
因为，
所以，
且，
故，即．
所以．
所以，当时，取得最大值，
此时，
所以，则，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量服从正态分布，，则________．
【答案】##
【解析】
【详解】因为，所以，
所以．
13. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，判定其单调性，然后利用单调性比较大小.
【详解】构造函数，其中，则．
因为，所以，则函数在0, +∞上单调递增．
因为，所以．
因为2f18=14g18, 12f12=14g12, 18f2=14g2，
所以．
14. 盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸m 次，每次摸出1个小球，记这m 次摸出的小球中最大编号为，若要求成立，则当m 最小时________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定随机变量的所有可能取值，利用概率公式得到的分布列，进而求出的表达式，解不等式得到最小的正整数，最后根据期望的线性性质计算.
【详解】因为，
所以．
令，则在时单调递减．
因为，所以．
又，所以m 的最小值是5．
所以当m 取最小值5时，．
所以当m 取最小值时，．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，计划到北京旅游，对选择乘飞机和坐高铁进行了问卷调查，得到了如下的列联表．
（1）补全列联表；
（2）根据小概率值 的独立性检验，分析喜爱乘飞机和坐高铁是否与性别有关．
附：临界值表供参考．
【答案】（1）
（2）认为喜爱乘飞机和坐高铁与性别有关.【解析】
【分析】（1）根据总人数和性别比例补全列联表；
（2）写出零假设，代入卡方公式计算观测值，与临界值比较，若大于临界值则拒绝零假设，认为出行方式与性别有关．
【小问1详解】
因为社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，所以男队员与女队员各有25名．
结合题表可知，该社区花鼓队中，选择乘飞机的男队员有20人，选择坐高铁的女队员有15人．
所以补充完整的列联表如下：
【小问2详解】零假设为：喜爱乘飞机和坐高铁与性别无关．
．
因为，
所以根据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立，
故认为喜爱乘飞机和坐高铁与性别有关．
16. 已知数列的前n 项和为,,且．
（1）若是，的等比中项，求正整数m 的值；
（2）若，求数列的前n 项和Tn．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）写出时的已知表达式，再写出n≥2 时的对应表达式，两式作差推导数列的递推关系；令n=1 代入原式求的关系，结合递推关系确定数列的通项公式，根据等比中项性质有，代入通项公式求解m 即可；
（2）先写出的表达式，在用错位相减法求前n 项和Tn即可.
【小问1详解】
因为数列中，．所以，
所以，
所以，即，所以，
所以a2=1, a6=9 ．因为是，的等比中项，
所以，所以，解得．
【小问2详解】
由（1）知，所以．
因为，所以，
所以，①
所以．②
①②得
，
所以．
17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求a 的值；
（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差．
【答案】（1）
（2） 的分布列为
数学期望为
（3） 的分布列为
方差为
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于a 的方程并求解；
（2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数， 服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望；
（3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率， 服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差.
【小问1详解】
依题意，得 ，解得 ．
【小问2详解】
依题意，成绩在的人有 （人），
成绩在的人有 （人），
用分层随机抽样的方法抽取5人，
则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人．
所以 的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
所以 的分布列为
所以．
【小问3详解】
因为成绩在的频率为，用频率估计概率，
所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为．
又全公司中成绩在范围的人有 （人），
所以 的可能取值为0，1，2，3，且．
所以，，
，．
所以 的分布列为
所以，
所以．
18. 已知抛物线（）的焦点为F ，抛物线上的任意一点到焦点F 的距离比到直线 的距离少．
（1）求抛物线的方程．
（2）若A ，B 为抛物线上异于点的两点，直线AB 的斜率为．求证：的重心在定直线上运动．
（3）过焦点F 的直线与抛物线交于 ，D 两点,O 为坐标原点，直线OC ，OD 与直线分别相交于M ，两点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）设，则的重心．
由于直线AB 的斜率，
则，所以，
故 的重心在直线上运动．
（3）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题设距离关系推导准线方程，进而求出得到抛物线方程.
（2）设出的坐标，根据直线AB 斜率为得到两点纵坐标的关系；再结合重心坐标公式，用的坐标表示重心坐标，消去参数得到重心横纵坐标的关系，判断是否为定直线.
（3）设过焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，得到坐标的关系；分别求出直线与交点的坐标，用弦长公式写出的表达式，再求最小值.
【小问1详解】
因为抛物线上的任意一点到焦点F 的距离比到直线的距离少，
所以抛物线的准线为直线．
由抛物线的定义知，所以，
所以抛物线的方程是．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
由（1）知焦点．不妨设点 在x 轴上方．
①当直线的斜率不存在时，，则lOC:y=2x, lOD:y=−2x ．
联立方程组，解得，所以．
同理，由，得．
所以．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
如图，作出符合题意的图形，
联立方程组，消去x 并整理，
得，则，
所以y3+y4=2t, y3y4=−1 ．而直线OC 的方程是，
联立方程组，解得，所以．
因为，所以，同理，．
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．所以．
因为，故的最小值是．
19. 已知函数（）．
（1）若在x=2 处取得极值，求m 的值；
（2）求函数的最值；
（3）设，若，，恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）当时，函数无最值；当m>0 时，函数的最大值为，无最小值
（3）
【解析】
【分析】（1）利用求得m ，并进行检验.
（2）对m 进行分类讨论，根据的单调性确定的最值.
（3）将问题转化为，结合导数分别求得的最大值和的最小值，由此列不等式求得m 的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以，其中．
因为函数在x=2 处取得极值，所以，解得．
经检验，符合题意，所以．
【小问2详解】
由（1）知f'x=2x−2mx=21−mx2x, x>0 ．
当时，，所以函数在0, +∞上单调递增，无最值．
当时，，所以函数在0, +∞上单调递增，无最值．
当m>0 时，令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值，也是最大值为，无最小值．
综上，当时，函数无最值；
当m>0 时，函数的最大值为，无最小值．
【小问3详解】
因为fx=2lnx−mx2m∈R, gx=ex−lnx+1x，
恒成立，
所以．
由（2）知，只有当m>0 时，．
因为，其中，
所以．
令，其中，则，
所以函数在区间上单调递增．
因为h1=e>0, h1e=e1ee2−1=e1e−2−11, 1t>1 ．
由，可得，则，所以．
又当时，，即；
当时，，即．
所以函数在0, t上单调递减，在t, +∞上单调递增，
所以．
因为，
所以实数m 的取值范围是．x
6
8
m
12
6
n
3
2
乘飞机
坐高铁
男队员
5
女队员
10
α
0.15
0.010
0.005
2.072
6.635
7.879
乘飞机
坐高铁
合计
男队员
20
5
25
女队员
10
15
25
合计
30
20
50
乘飞机
坐高铁
合计
男队员
20
5
25
女队员
10
15
25
合计
30
20
50

0
1
2
P

0
1
2
3
P

0
1
2
P

0
1
2
3
P