2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末模拟考试（一）试题（Word版附解析）

这是一份2025-2026学年高二下学期人教A版数学期末模拟考试（一）试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
答案速查表
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={0,1,2,3,4}，B={x∣x≥1+3}，则 A∩B=（ ）
A. {x∣−1≤x≤3} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {3,4}
【答案】D
【解析】由 A={0,1,2,3,4}，B={x∣x≥1+3}，
又 1+3≈2.732，
∴ A∩B={3,4}.
【点拨】本题考查集合的交集运算，正确估算无理数的大小是解题的关键.
2. 复数 2i1+i 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】由题意，复数 2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数对应的点 (1,1)，故选A.
【点拨】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题.
3. 已知 a>0，若 x2+ax6 的展开式中，常数项等于240，则 a=（ ）
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4
【答案】B
【解析】由二项展开式的通项公式可得 Tr+1=C6r(x2)6−raxr=arC6rx12−3r，
令 12−3r=0，解得 r=4，
即常数项为 T5=a4C64=240，解得 a=2.
故选：B
【点拨】本题考查二项式定理中特定项的求解，掌握通项公式是解题的关键.
4. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
【答案】B
【解析】设“解出第一问”为事件 A， “解出第二问”为事件 B，
由题意可得： P(A)=3050=0.6,P(B∣A)=0.1,P(B∣A)=0.7，
则 P(A)=0.4,P(B∣A)=0.3，
∴ P(B)=P(A)P(B∣A)+P(A)P(B∣A)=0.6×0.3+0.4×0.1=0.22.
故选：B
【点拨】本题考查全概率公式的应用，正确识别事件并套用公式是解题的关键.
5. 已知点 P 在曲线 E:xy=1(x>0) 上，点 Q 在直线 2x+y=0 上，则 P,Q 两点距离最小值为（ ）
A. 105 B. 2105 C. 55 D. 255
【答案】B
【解析】 E:y=1x,x>0,y'=−1x2,x>0，设 Qx0,1x0，过 Q 的切线斜率为 −1x02，当且仅当切线与 2x+y=0 平行时，P,Q 两点距离最小值为两平行线的距离. 由 −1x02=−2，解得 x0=22，此时 Q22,2，最小距离为 d=225=2105，故选B.
【点拨】本题考查利用导数求曲线上一点到直线距离的最小值，利用平行线间的距离求解是常用技巧.
6. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种
【答案】D
【解析】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法，
然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为 A61A51×(4+A42)=480；
若1和5区不同色，一共的涂法种数为 A61A51A41×(3+A32)=1080.
故一共的涂色总数为 480+1080=1560.
故选：D.
【点拨】本题考查排列组合在涂色问题中的应用，采用分步与分类相结合的方法是解题的关键.
7. 等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 S3=9,S6=36，则 S9 为（ ）
A. 45 B. 81 C. 90 D. 162
【答案】B
【解析】∵等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，
∴ S3,S6−S3,S9−S6 也成等差数列，即 9,27,S9−36 成等差数列，
∴ 2×27=9+S9−36⇒S9=81，
故选：B.
【点拨】本题考查等差数列前 n 项和的性质，利用片段和成等差数列可快速求解.
8. 已知 a=20222024,b=20232023,c=20242022，则 a,b,c 的大小关系为（ ）
A. b>c>a B. b>a>c C. a>c>b D. a>b>c
【答案】D
【解析】∵ lnalnb=2024ln20222023ln2023=ln20222023ln20232024，
构造函数 f(x)=lnxx+1(x≥e2)，f'(x)=(x+1)−xlnxx(x+1)2，
令 g(x)=(x+1)−xlnx，则 g'(x)=−lnx0⇒lnblnc=ln20232022ln20242023=ℎ（2023）ℎ（2024）>1⇒lnb>lnc⇒b>c，
故 a>b>c.
故选：D.
【点拨】本题考查利用导数构造函数比较大小，通过取对数并构造合适的函数是解决此类问题的通法.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时 X 和骑自行车用时 Y 均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（ ）
A. E(X)0，有 x>lna，
可得函数 f(x) 的减区间为 (−∞,lna)，增区间为 (lna,+∞) ……………… 4 分
（2） ①当 a=0 时，由 f(x)=ex>0，符合题意 …………………………………… 5 分
②当 a11，只需要证 5ax1+6ax2>11a，
只需要证：5ex1+6ex2>11(ex2−ex1)x2−x1 ……………………………………………… 11 分
只需要证：5ex1+6ex2ex2−ex1>11x2−x1，即 5+6ex2−x1ex2−x1−1>11x2−x1，
令 t=x2−x1(t>0)，上述不等式可化为 5+6etet−1>11t ………………………… 13 分
只需证：(6t−11)et+5t+11>0 …………………………………………………… 14 分
令 g(x)=(6x−11)ex+5x+11(x≥0)，有 g'(x)=(6x−5)ex+5 ………… 15 分
令 ℎ(x)=(6x−5)ex+5(x≥0)，有 ℎ'(x)=(6x+1)ex>0 ………………… 16 分
可得函数 ℎ(x) 单调递增，有 ℎ(x)≥ℎ（0）=0，
可得函数 g(x) 单调递增，有 g(x)≥g（0）=0（当且仅当 x=0 时取等号），
可得不等式 5+6etet−1>11t(t>0) 成立，由上知 5x1+6x2>11 ………………… 17 分
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性及极值点偏移问题，通过比值代换构造单变量函数是解决极值点偏移问题的通法.1
2
3
4
5
D
A
B
B
B
6
7
8
9
10
D
B
D
ACD
BCD
11
12
13
14
15
ABD
3x−y−2=0
3364
2n
（1）列联表见解析，1819 （2）有关
16
17
18
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（1）an=n(n+2) （2）证明见解析
（1）x24+y2=1 （2）（i）证明见解析 （ii）π6
（1）1927 （2）E(Xn)=n1−1nn，证明见解析 （3）证明见解析
（1）见解析 （2）[0,e] （3）证明见解析
检测结果
患病
不患病
合计
阳性
90
5
95
阴性
10
95
105
合计
100
100
200