新高考数学二轮复习专题巩固练习专题12 数列不等式放缩技巧（练习）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题巩固练习专题12 数列不等式放缩技巧（练习）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了已知为正项数列的前项积，且，，已知数列满足，且.，已知数列的前项和为，且，.，已知数列的前n项和为，且满足，，已知数列的首项，满足.，已知数列满足，且，，已知数列满足，，已知数列的首项，是与的等差中项等内容，欢迎下载使用。
题型一：先求和后放缩
1．已知为正项数列的前项积，且，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，的前项和为，证明：．
2．已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
3．已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和，求并证明：.
4．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求的表达式和数列的通项公式；
(2)证明：
题型二：裂项放缩
5．若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
6．已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)数列是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求；
(3)求证：．
7．已知数列的首项，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明.
8．已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：．
题型三：等比放缩
9．已知数列满足，．
(1)设，，是数列的连续三项，证明：，，不可能为等比数列；
(2)当时，证明：．
10．已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．
题型四：型不等式的证明
11．已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
12．已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：
13．已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.
(1)若；
（i）请写出一个满足条件的数列的前四项；
（ii）求证：存在，使得成立；
(2)设数列的前项和为，求证：.
题型五：型不等式的证明
14．已知数列满足，且，
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求；
（3）是否存在实数k，使得对任意都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
15．设数列满足，，令.
(1)试证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列是等比数列？请说明理由.
(3)令，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型六：型不等式的证明
16．记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
17．已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
18．记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)已知当时，，证明：.
题型七：型不等式的证明
19．已知数列，，为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知当时，不等式恒成立，证明：．
20．已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
重难点突破：利用递推关系进行放缩
21．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
22．不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函数映射到其自身的点.对于函数，我们把满足的称为函数的不动点，已知函数.
(1)证明：在有唯一的不动点；
(2)已知，且的前项和为.证明：
①为递增数列，为递减数列，且；
②.
23．（1）证明：当时，；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明：数列为递增数列；
（ii）证明：若，则对任意正整数，都有.
1．已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明：.
2．记为数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．
3．已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
4．某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
(1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；
(2)假设代仕同学有点积分，该同学用完点积分的方式种数记为，求表达式；
(3)设，记的前项和为，证明：．
5．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求，的值.
(2)若正项数列的前项和为，且，，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
6．已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，证明：.
7．已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，证明：．
8．已知关于x的函数，其图象与x轴相切．
(1)求fx的表达式；
(2)证明：；
(3)设数列，（），的前n项和为，证明：．
9．已知数列的前n项和为，且，其中．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，证明：．
10．已知正项数列的前项和为、且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和为，且，证明:.
11．已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且．
(1)求的周长；
(2)证明：为等比数列；
(3)证明：对任意正整数．
12．如图所示，是抛物线上的一系列点，其中，记直线的斜率分别为.
(1)证明是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)记的面积为，求；
(3)若.求证：.
注：中，若，则面积.
13．已知首项为1的正项数列满足 .
(1)探究数列的单调性；
(2)证明： .
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc187184190" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc187184190 \h 2
\l "_Tc187184191" 题型一：先求和后放缩 PAGEREF _Tc187184191 \h 2
\l "_Tc187184192" 题型二：裂项放缩 PAGEREF _Tc187184192 \h 3
\l "_Tc187184193" 题型三：等比放缩 PAGEREF _Tc187184193 \h 4
\l "_Tc187184194" 题型四：型不等式的证明 PAGEREF _Tc187184194 \h 5
\l "_Tc187184195" 题型五：型不等式的证明 PAGEREF _Tc187184195 \h 6
\l "_Tc187184196" 题型六：型不等式的证明 PAGEREF _Tc187184196 \h 7
\l "_Tc187184197" 题型七：型不等式的证明 PAGEREF _Tc187184197 \h 8
\l "_Tc187184198" 重难点突破：利用递推关系进行放缩 PAGEREF _Tc187184198 \h 9
\l "_Tc187184199" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc187184199 \h 11