新高考数学二轮复习选题题+解答题专项练考点九 集合、复数与逻辑用语（选填题10种考向）（2份，原卷版+解析版）

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考向一 集合的运算
【例1-1】（2025·广东深圳·一模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式，可解得：或 ，
而，因此，.
故选：A.
【例1-2】（2025·福建漳州·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为集合，，
，所以，故选项A错误.
，故选项B错误.
，故选项C错误.
，故选项D正确.
故选：D.
【例1-3】（2025·河南南阳·一模）集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
.
故选：D.
【例1-4】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.
故选：A.
【例1-5】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
【答案】A
【解析】不等式的解为，因为，所以，
所以集合的真子集个数为.
故选：A.
【例1-6】（2025·河北邯郸·一模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，所以；由，所以.所以.故选：A
考向二 已知集合求参数
【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以当，即时，，满足，即；
当，即时，，满足，即；
当，即时，由，得，，即；
综上，．
故选：C．
【例2-2】（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解集合，
解集合，
因为，所以，
故选：B.
【例2-3】（2025高三·全国·专题练习），集合，则 .
【答案】2
【解析】由题意知，所以，则，又，所以，.
故.
故答案为：2.
【例2-4】（2025·贵州毕节·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】集合，，，，，
则实数的取值范围是．故选：C．
考向三 充分、必要条件
【例3-1】（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，则，可得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【例3-2】（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（ ）
A．是的充分条件B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要条件D．是的充要条件
【答案】D
【解析】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误；
对于B，因为，所以，
因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误；
对于C，因为，所以，当时，
成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误；
对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件，
由，可得，所以，所以是的必要条件，
所以是的充要条件，故D正确.
故选：D.
【例3-3】（2025·福建漳州·一模）锐角的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为是锐角三角形，所以，
若，则，即，
又在上单调递增，所以成立.
若，且，则，所以成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
【例3-4】（2025·湖北·模拟预测）已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
当圆心到直线的距离时，直线与圆有公共点，
即，解得，
所以“”是“直线与圆有公共点”的充分不必要条件.
故选：.
考向四 命题的否定
【例4-1】（2025·江西·二模）若命题，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】命题的否定为: ，,
故选：C
【例4-2】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以为“”.
故选：A.
【例4-3】（24-25高一上·湖北·期中）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】命题“”的否定是.
故选：D
考向五 全称命题与存在命题
【例5-1】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】命题“”是假命题，则 是真命题，∴，
解得：或，即a的范围是故选：D.
【例5-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
故当时，，即为，符合题意；
当时，需满足解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
【例5-3】（24-25高一上·广东珠海·期中）命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为“，使”是假命题，
所以，恒成立是真命题，
当时，，即，不恒成立，不符合题意；
当时，有，解得.
综上所述，实数m的取值范围为.
故选：C.
【例5-4】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知命题为假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得为真命题，
令，则定义域为R，
，
故为R上的偶函数，
又，
所以为的一个周期，
当时，，
因为，所以，所以，
故在R上的值域为，
所以a的取值范围为.
故选：C
考向六 命题真假的判断
【例6-1】（24-25高三上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量ξ，η满足，则
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“”是“”的必要而不充分条件
D．已知平面内两个单位向量，的夹角为θ，若，则
【答案】C
【解析】因为随机变量ξ，η满足，所以，故A错误；
命题“，”的否定是“，”，故B错误；
由，可得或，所以可得“”是“”的必要而不充分条件，故C正确；
因为，所以，又，是单位向量，
所以，所以，又，
所以，故D错误.
故选：C.
【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）下列四个命题
①直线不平行于平面，则平面内不存在与平行的直线；
②两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件；
③平面平面，过内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面；
④空间中，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
其中正确的命题是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】A
【解析】对于①，已知直线不平行于平面，那么直线与平面相交.
理由：假设平面内存在与平行的直线，根据直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，
就会得出，这与已知条件矛盾，所以平面内不存在与平行的直线，命题①正确；
对于②，若两直线平行，根据线面角的定义和性质，它们与同一平面所成的角一定相等，
所以两直线平行能推出它们与同一平面所成的角相等；
但是两直线与同一平面所成的角相等时，两直线可能平行、相交或异面，
因此，两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件，命题②正确；
对于③ ，根据面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.这里强调的是过内的任意一点作交线的垂线，
此垂线必须在平面内才垂直于平面，而题中的垂线不一定在平面内，故命题③错误；
对于④，如图，过平面内一点作于点，点()，连接，
过平面内一点作于点，点()，连接，
则，而，，故，
但是和大小关系不确定，故命题④错误.

综上所得，①②正确.
故选：A.
【例6-3】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）（多选）下列命题中，真命题的有（ ）．
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“”的否定是“”
C．若，则
D．若，则.
【答案】BD
【解析】对于A，将不等式化为，即，解得或；
因此“”能推出“”，反之则不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，即A错误；
对于B，易知命题“”的否定是“”，即B正确；
对于C，若且异号时，为负值，显然不成立，即C错误；
对于D，易知，所以，
当且仅当时，等号成立,可得D正确.
故选：BD
【例6-4】（23-24湖北孝感·阶段练习）(多选)下列说法中正确的有（ ）
A．命题p：，，则命题p的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”是真命题
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【解析】对于A，命题p的否定是，A正确；
对于B，不能推出，如，但；也不能推出，如，而，
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，关于x的方程有一正一负根，则，解得m