2025-2026学年下学期河南开封高一数学2026年6月期末试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河南开封高一数学2026年6月期末试卷含答案，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11:7:2的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（ ）
A. 140 B. 105
C. 70 D. 30
2. 若z=i6+2+1i，则z+z¯=（ ）
A. −4 B. −2
C. 2 D. 4
3. 已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，且(a−b)⊥a，则实数m=（ ）
A. −5 B. −3
C. 5 D. 3
4. 在∆ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:6:(3+1)，则A=（ ）
A. 45° B. 60°
C. 120° D. 135°
5. 已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，方差为2，则x12，x22，x32，x42，x52的平均数为（ ）
A. 17 B. 18
C. 20 D. 21
6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形O'A'B'C'，O'A'=6，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ）
A. 8+42+43 B. 12+43
C. 8+83 D. 8+82
7. 如图，在∆ABC中，∠BAC=π3，AD→=3DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+14AB→，若|AC→|=3，|AB→|=4，则AP→·CD→的值为（ ）
A. −3 B. 3
C. −32 D. 32
8. 已知正四棱锥P−ABCD的外接球O的表面积为32π，点P在底面ABCD的射影为O'，当|AB·|OO'|取最大值时，正四棱锥的体积为（ ）
A. 16(2+1)3
B. 16(2+1)3或16(2−1)3
C. 8+423或8−423
D. 16(2+1)
二、多选题
9. 为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（ ）
A.20000名学生的数学成绩是总体B.200名学生是样本
C. 每名学生是个体D. 样本容量是200
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=30°，则△ABC的面积为12
B. 已知向量a=(−2,3)，b=(1,2)，则|a+b|=5
C. 在△ABC中，若(AB→+AC→)·BC→=0，则△ABC是等腰三角形
D. 已知向量a=(2,−1)，b=(x,1)，a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是−∞,12
11. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是线段BC1上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. D1M⊥DA1
B. A1M∥平面ACD1
C. 异面直线A1M与AD1所成的角的取值范围是π6,π2
D. 二面角M−AD1−C的正弦值为33
三、填空题
12. 光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为 。
13. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=4，AB=2，则直线A1B与直线B1C所成角的正切值为 。
14. 在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcsC+ccsB=4acsA，若S为∆ABC的面积，则Sa2的最大值为 。
四、解答题
15. 已知复数z=m+2+(m2+2m−3)i（m∈R）。
（1） 若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围；
（2） 若z为正实数，z−4i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求a+b的值。
16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AB=2CD，PD⊥BC，E是棱PC上的一点，且PE=2EC。
（1） 求证：PA∥平面BDE；
（2） 若∆PDC是锐角三角形，且DE⊥PB，求证：DE⊥平面PBC。
17. 对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图。
（1）求出表中N，p及图中a的值：
(2)若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间[15，20)内的人数；
（3）估计该校学生参加此活动次数的众数、中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）
18. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是BB1和AC1的中点.
（1）证明：平面AC1D⊥平面ACC1A1；
（2）若AB=2，平面AC1D与平面ABC的锐二面角的余弦值为255，求该三棱柱的体积.
19. 在∆ABC中，设A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b=2a−2ccsB，且三角形外接圆半径为3.
（1） 求C的大小；
（2） 若∆ABC的面积为23，求 cs2A+cs2B的值；
（3） 设∆ABC的外接圆圆心为O，且满足csBsinACB→+csAsinBCA→=2mCO→，求m的值.
参考答案
1.B
由题意，会试南卷、北卷、中卷的录取比例为11：7：2，
因此北卷录取人数占总录取人数的比例为720，
已知该年会试录取总人数为300，故北卷录取人数为300×720=105．
2.C
原式z=i6+2+1i=(i2)3+2+1i2=−1+2+1(−1)=1−i，
∵z=1−i，∴z=1+i， 则z+z=(1−i)+(1+i)=2.
3.D
已知a=(1,2)，b=(m,1)，故a−b=(1−m,2−1)=(1−m,1)，
根据两非零向量垂直的充要条件可得：(a−b)·a=0，
则 (1−m)×1+1×2=0，整理得3−m=0，解得m=3．
4.A
由正弦定理，sinA:sinB:sinC=a:b:c=2:6:(3+1)，
不妨设a=2，b=6，c=3+1，
则由余弦定理，csA=b2+c2−a22bc=6+(3+1)2−42×6×(3+1)=23(3+1)2×6×(3+1)=22，
因为0°0，csC=12，故C=π3；
，可得ab=8，则 sinAsinB=ab(23)2=23，
cs2A=cs[(A+B)+(A−B)]=cs(A+B)cs(A−B)−sin(A+B)sin(A−B)，
cs2B=cs[(A+B)−(A−B)]=cs(A+B)cs(A−B)+sin(A+B)sin(A−B)，
cs(A+B)=cs(π−C)=−csC=12，
因为
cs(A−B)−cs(A+B)=(csAcsB+sinAsinB)−(csAcsB−sinAsinB)=2sinAsinB=43
所以，cs(A−B)=43+cs(A+B)=43−12=56，
因此，cs2A+cs2B=2cs(A+B)cs(A−B)=2×(−12)×56=−56；
（3） 取AC的中点D，则OD⊥AC，如下图所示：
CO→·CA→=CD→+DO→·CA→=CD→·CA→+DO→·CA→=12CA→2
，同理可得
CO→·CB→=12CB→2
，
设∆ABC的外接圆半径为r，
因为csBsinACB→+csAsinBCA→=2mCO→，故csBsinACB→·CO→+csAsinBCA→·CO→=2mCO→2，
即csB2sinACB→2+csA2sinBCA→2=2mCO→2，即a2csB2sinA+b2csA2sinB=2mCO→2，
则有4r2sin2AcsB2sinA+4r2sin2BcsA2sinB=2mr2，
整理可得m=sinAcsB+csAsinB=sinA+B=sinC=32。分组
频数
频率
[10,15)
10
0.20
[15,20)
24
n
[20,25)
14
0.28
[25,30]
m
p
合计
N
1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
A
B
A
C
B
AD
AC
ABD