广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高二年级期中联考试卷数学学科

这是一份广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高二年级期中联考试卷数学学科，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，若，且，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量，，若，则|（ ）
A. 2B. C. 3D.
4.已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（ ）
A. 4B. 8C. -4D. -8
5.若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（ ）项.
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（ ）
A. 1.00025B. 1.00005C. 1.0025D. 10005
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导计算中，错误的有（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10.记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A. B. C. 为等差数列D. 为等比数列
11.已知函数，，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 当时，有且只有一个极值点
C. 若有两个极值点，则
D. 若有两个极值点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前n项和为，且，则 .
13.设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是 ．
14.已知等差数列{an}首项为2，公差为2，前n项和为Sn，数列{bn}前n项和为Tn，且满足.若对于任意n∈N*，Tn≤m成立，则m的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的最值．
16.(本小题15分)
已知数列中，，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令的前项和为，求证：.
17.(本小题15分)
如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．
19.(本小题17分)
已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，判断的零点个数，并证明结论；
(3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】39
13.【答案】
14.【答案】2-ln3
15.【答案】解：（1）因为，
所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，
所以；
（2）由（1）知，
令，则，解得，或，
当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
所以，.

16.【答案】解：（1）已知，且，由递推关系可知对任意正整数成立，
则该递推关系可整理为，又首项，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
所以，
所以

17.【答案】解：（1）
证明：等腰梯形中，，，延长，交于，则，，所以为等边三角形，
所以，且，，平面，平面，
所以面，
又因为平面，则平面平面.
（2）过作交于，
以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
设平面的一个法向量为
，则，取，则
取平面的法向量，
，得，因为，所以，
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角正弦值为．

18.【答案】解：（1）因，即，则当时，，即，
而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列，
因此，，
所以数列的通项公式是：，.
（2）数列为等差数列且，则公差，，
对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，
令，则，
当，2时，，当时，，
于是得，，则，
所以实数k的取值范围是.
（3）对于任意的正整数n，，
当时，，而，则，
当时，，
上式两边同时乘以得：，
因此，，
即，从而有，而也满足上式，则，，，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列.

19.【答案】解：（1）由函数的定义域为，且，
若，令，解得，当时，；当时，，
若，令，解得或，
①若时，即时，
当时，；当时，；
②若时，即时，
当或，；当时，；
③若时，即时，可得，且仅；
④若时，即时，
当或，；当时，；
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）只有一个零点证明：由（1）知，当时，单调递增，
又由，可得，此时在只有一个零点；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当时，函数取得极大值，极大值为，在没有零点；
当时，函数取得极小值，其中，
在没有零点；
当时，，；又，
，由，必有正根，
当时，
取，显然，有，所以在有一个零点．
综上，命题成立．
（3）由在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
当时，在内存在唯一的零点，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为．