2025-2026学年广东省佛山市新质高中联盟高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省佛山市新质高中联盟高二（下）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2-x-6≤0}，若a∈A，且a+3∈A，则a的取值范围是（ ）
A. [-2，3]B. [-3，-1]C. [-2，0]D. [-3，2]
2.已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量，，若，则|=（ ）
A. 2B. C. 3D.
4.已知数列{an}是首项为4，公比为q的等比数列，若4a1，a5，-2a3成等差数列，则a5=（ ）
A. 4B. 8C. -4D. -8
5.若f（x）=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，则函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A. （-∞，1）B. （2，+∞）C. （1，2）D.
6.函数的图象大数为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=（n+1）an+1，若，则数列{bn}的最大项为第（ ）项.
A. 6B. 7C. 8D. 9
8.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得y=lnx在x=1处的切线方程为y=x-1，再把x=1.01代入切线方程，即得ln1.01≈0.01，类比上述方式，则≈（ ）
A. 1.00025B. 1.00005C. 1.0025D. 1.0005
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导计算中，错误的有（ ）
A. 若，则y′=cs2xB. 若，则
C. 若y=x2+e2，则y′=2xD. 若，则
10.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a4=7，S3=9，则（ ）
A. a2=3B. a2n=2an-1
C. 为等差数列D. 为等比数列
11.已知函数f（x）=xea-x+x,a∈R，则（ ）
A. f（x）在（-∞，1）上单调递增
B. 当a=2时，f（x）有且只有一个极值点
C. 若f（x）有两个极值点，则a＞2
D. 若f（x）有两个极值点x1，x2，则x1+x2＞3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=3，S6=12，则S9= .
13.设函数f(x)=x-k(x-),若函数f(x)在(0,+)上是单调减函数,则k的取值范围是 .
14.已知等差数列{an}首项为2，公差为2，前n项和为Sn，数列{bn}前n项和为Tn，且满足.若对于任意n∈N*，Tn≤m成立，则m的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在点P（0，-2）处的切线斜率为-1，且在x=1处取得极值.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，2]时，求函数f（x）的最值.
16.(本小题15分)
已知数列{an}中，a1=1，an=an+1+2anan+1.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）令的前n项和为Tn，求证：.
17.(本小题15分)
如图，已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，点A1在底面ABCD的射影为O，且AD=BC=CD=AA1=1，AB=2，A1O=，AA1⊥BC.
（1）求证：平面ABCD⊥平面ACC1A1；
（2）已知点M满足，λ∈（0，1），且平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为，求直线A1M与平面MBC所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=4，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）等差数列{cn}满足c4=5，c8=17，对于任意的n∈N*，kan≥恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有b1an+b2an-1+b3an-2+...+bna1=（）n-成立，求证：数列{bn}是等差数列．
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a≥e时，判断f（x）的零点个数，并证明结论；
（3）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】39
13.【答案】[，+∞）
14.【答案】2-ln3
15.【答案】解：（1）因为f（x）=x3+ax2+bx+c,
所以f'（x）=3x2+2ax+b,
由题意可知，f（0）=-2，f'（0）=-1，f'（1）=0，
所以，解得a=-1，b=-1，c=-2，
所以函数f（x）的解析式为f（x）=x3-x2-x-2，经检验适合题意，
所以f（x）=x3-x2-x-2；
（2）由（1）知f'（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），
令f'（x）=0，则（3x+1）（x-1）=0，解得，或x=1，
当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0；
所以f（x）在和[1，2]上单调递增，在上单调递减，
当时，f（x）取的极大值为，
当x=1时，f（x）取得极小值为f（1）=13-12-1-2=-3，
又f（-1）=（-1）3-（-1）2-（-1）-2=-3，f（2）=23-22-2-2=0，
所以f（x）min=-3，f（x）max=0．
16.【答案】已知an=an+1+2anan+1，且a1=1≠0，由递推关系可知an≠0对任意正整数n成立，
则该递推关系可整理为，又首项，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列 由（1）可得，∴，
∴，
∴
=
17.【答案】证明见解析
18.【答案】解：（1）因Sn+an=4，即Sn=4-an，
则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-1-an，即，
而当n=1，则a1=S1=4-a1，即a1=2，
于是有数列{an}是以为公比，2为首项的等比数列，
因此，，
所以数列{an}的通项公式是：；
（2）数列{cn}为等差数列且c4=5，c8=17，
则公差，
对于任意的恒成立，
即，亦即恒成立，
令，则，
当n=1，2时，f（n+1）-f（n）＞0，
当n≥3时，f（n+1）-f（n）＜0，
于是得，
则，
所以实数k的取值范围是[，+∞）；
证明：（3）对于任意的正整数，
当n=1时，，而a1=2，则，
当n≥2时，，
上式两边同时乘以得：，
因此，，
即，从而有，
而也满足上式，则，
所以数列{bn}是以为首项，公差为的等差数列．
19.【答案】解：（1）由函数的定义域为（0，+∞），且，
若a≤0，令f′（x）=0，解得x=1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
若a＞0，令f′（x）=0，解得x=1或x=lna,
①若lna≤0时，即0＜a≤1时，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
②若0＜lna＜1时，即1＜a＜e时，
当x∈（0，lna）或x∈（1，+∞），f′（x）＞0；当x∈（lna,1）时，f′（x）＜0；
③若lna=1时，即a=e时，可得f′（x）≥0，且仅f′（1）=0；
④若lna＞1时，即a＞e时，
当x∈（0，1）或x∈（lna,+∞），f′（x）＞0；当x∈（1，lna）时，f′（x）＜0；
综上所述，当a≤1时，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
当1＜a＜e时，函数f（x）的单调递减区间为（lna,1），单调递增区间为（0，lna），（1，+∞）；
当a=e时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞e时，函数f（x）的单调递减区间为（1，lna），单调递增区间为（0，1），（lna,+∞）．
（2）只有一个零点．证明如下：
由（1）知，当a=e时，f（x）单调递增，
又由，可得f（1）=0，此时f（x）在（0，+∞）只有一个零点；
当a＞e时，函数f（x）的单调递减区间为（1，lna），单调递增区间为（0，1），（lna,+∞），
当x=1时，函数取得极大值，极大值为f（1）=e1-a＜0，所以f（x）在（0，1）没有零点；
当x=lna时，函数取得极小值f（lna），其中f（lna）＜f（1）＜0，
所以f（x）在（1，lna）没有零点；
当x＞lna时，因为x＞lna＞1，所以；又因为，
，由，必有正根x0，
当x≥x0时，
取m=x0，显然x0＞lna,有f（m）＞0，所以f（x）在（lna,+∞）有一个零点．
综上，命题成立．
（3）由在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令φ（x）=lnx-x+2，则，
所以当时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
又，φ（1）=1＞0，φ（e2）=4-e2＜0，
所以当时，φ（x）在（1，e2）内存在唯一的零点x0，
所以当时，φ（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，x0）时，φ（x）＞0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以，，
因为φ（x0）=lnx0-x0+2=0，所以lnx0-x0+1=-1，，
所以，
因为，所以，所以，
所以实数a的取值范围为．