上海市杨浦区2024—2025学年下学期九年级质量调研(二) 数 学 试题（含解析）中考模拟

这是一份上海市杨浦区2024—2025学年下学期九年级质量调研(二) 数 学 试题（含解析）中考模拟，共3页。试卷主要包含了 以下选项中，是素数的是， 在实数范围内因式分解等内容，欢迎下载使用。
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 以下选项中，是素数的是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了素数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个正因数，则这个数称为素数，据此解答即可．
【详解】解：由一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个正因数，则这个数称为素数，
所以选项B符合题意，
故选：B．
2. 在，，，，，六个数中，抽到质数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了质数的定义，概率公式求概率，根据这六个数中，，是质数共3个，再根据概率公式即可求解．
【详解】解：∵这六个数中，，是质数共3个，
∴抽到质数的概率为,
故选：B．
3. 如图，某中学为了调查全校1200名学生的兴趣爱好，组织了试点班级开展社团；其中选音美的占40%，请估计全校选计算机的人数（ ）
A. 720B. 480C. 360D. 240
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，熟练掌握该知识点是解题关键．根据扇形统计图可知选计算机的人数少于选体育的人数，然后计算全校选体育的人数为，对比选项即可得到答案．
【详解】解：根据扇形统计图可知选计算机的人数少于选体育的人数，
估计全校选体育的人数为，
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
4. 一座无人机在飞过上海环球金融中心时（高约米），与建筑底部的控制人员的俯角为，则无人机到控制人员的距离为（ ）米
A. B. C. 1260D. 315
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，可得米，，，解，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意可得米，，
∴
∴米
故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
5. 25的平方根是_____．
【答案】±5
【解析】
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键．
6. 在实数范围内因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查在实数范围内因式分解，先令，利用求根公式求出两个根，根据分解即可．
【详解】解：令，
，
，
，
∴，
故答案为：．
7. 最小的合数与12最大的因数的积的一半的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了合数的定义以及因数的定义，由题意易得最小的合数是4，12最大的因数是本身，进而列式计算，即可求解．
【详解】解：最小的合数与12最大的因数的积的一半的值为
故答案为：．
8. 小杨在一个不透明的箱子里摸乒乓球，其中黄的有个，白的有个，那么一次摸到黄球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式求概率，由一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵由一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个黄球，
∴一次摸到黄球的概率为
故答案为：．
9. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】
【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，
可简说成“内错角相等，两直线平行”．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
10. 已知点是线段的黄金分割点，那么_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，或，即可求解．
【详解】解：依题意，或
故答案为：或．
11. 两个相切的圆半径分别为和，若圆心距，那么的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆和圆的位置关系，熟练掌握两个相切的圆分外切和内切两种情况是解题的关键．根据两圆相切可分外切和内切两种情况：外切时，则圆心距等于两圆半径之和；内切时，则圆心距等于两圆半径之差，据此即可求得答案．
【详解】解：根据题意，当两圆外切时，则，即；
当两圆内切时，则，即；
那么的最小值为．
故答案为：．
12. 代数式中项的系数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式的乘方，根据多项式的乘方公式进行计算即可求解．
【详解】解：
∴项的系数是
故答案为：．
13. 如图，若平行于，为中点，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据为中点，，得到，，然后根据，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：设，
为中点，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 已知一个正多边形的相邻两边的夹角为，那么这个正多边形的边数为：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和公式，根据正多边形的内角和可得每个内角为，得出，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
15. 解不等式：
【答案】不等式无解
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先根据多项式乘多项式的运算法则计算去括号，然后移项合并同类项，即可的到答案．
【详解】解：
原不等式无解．
16. ①存在数字，使得，则称为虚数
②若（、为实数），则称为复数
（1）判断：___________复数，___________复数，0___________复数
（2）化简：
（3）在复数范围内解方程：．
【答案】（1）是；是；是
（2）
（3），，
【解析】
【分析】本题考查了新定义，特殊角三角函数的运算，多项式乘多项式，理解题中新定义是解题的关键．
（1）根据题中复数的定义直接判断即可；
（2）先计算特殊角的三角函数值，然后根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项即可；
（3）设（、为实数），则，根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项得到，可知，然后由①得到，解得或，最后利用代入法解出、值即可得到答案．
【小问1详解】
解：若（、为实数），则称为复数，
，符合定义，是复数；，符合定义，是复数；，符合定义，是复数；
故答案为：是；是；是．
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：根据题意，设（、为实数），
，
则，
，
，
；
，
由①得，，解得或，
把代入②，得，解得，此时；
把代入②，得，解得，
此时，解得，此时；
原方程的解为，，．
17. 如图，第6题中我们通过小怡和小瑶两位同学了解到了三角形的一些性质．
（1）如图（小怡）作图并证明四边形是否是菱形；若是请给出理由，若不是则证明形状并给出理由；
（2）如图（小瑶）若，；求证．
【答案】（1）
证明：如图，根据作图可得，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
（2）
证明：设，
∵，
∴，
∵．
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵；
∴即，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据题意作图，根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据作图可得，即可得证；
（2）设，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理结合已知证明是等边三角形，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可得证．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
18. 如图，、、、四点内接于圆，且对角线与垂直，满足．
（1）求证：；
（2）过点作于，求证：
【答案】（1）
证明：，
，
和为所对圆周角，
，
．
（2）
证明：作直径，连接、，和交于点，如图所示，
则，
又，
，
是的中位线，
；
为直径，为圆上的一点，
，
，
，
，
，
又四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，即．
【解析】
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，结合，即可证明；
（2）作直径，连接、，和交于点，根据垂径定理可知，推出是的中位线，得到；然后根据直径所对圆周角为直角和可证的，结合四边形是圆的内接四边形，可推出，得到，进而得到，即，得证．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，圆的内接四边形的性质，三角形的中位线的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判断与性质，作出合适的辅助线是解题的关键．6．如图，小怡和小瑶在研究三角形的性质时分别画出了等腰点是线段的一个动点，，连接，作边上的高，他们分别对各自的图进行了说理和证明，则下列说法正确的有
小怡：我以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，延长，作和交延长线于一点．①点到点的距离是线段；②四边形是菱形．
小瑶：我过点作；分别延长和交于点．③若，则；④若；以点和点为圆心的等圆外切于点，则．