新高考数学一轮复习考点讲练测第8章第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第8章第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了几何法，代数方法等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc176534989" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc176534989 \h 2
\l "_Tc176534990" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc176534990 \h 3
\l "_Tc176534991" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc176534991 \h 4
\l "_Tc176534992" 知识点1：直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc176534992 \h 4
\l "_Tc176534993" 知识点2：圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc176534993 \h 4
\l "_Tc176534994" 解题方法总结 PAGEREF _Tc176534994 \h 5
\l "_Tc176534995" 题型一：直线与圆的位置关系的判断 PAGEREF _Tc176534995 \h 6
\l "_Tc176534996" 题型二：弦长与面积问题 PAGEREF _Tc176534996 \h 6
\l "_Tc176534997" 题型三：切线问题、切线长问题 PAGEREF _Tc176534997 \h 7
\l "_Tc176534998" 题型四：切点弦问题 PAGEREF _Tc176534998 \h 8
\l "_Tc176534999" 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 PAGEREF _Tc176534999 \h 9
\l "_Tc176535000" 题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 PAGEREF _Tc176535000 \h 10
\l "_Tc176535001" 题型七：圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc176535001 \h 12
\l "_Tc176535002" 题型八：两圆的公共弦问题 PAGEREF _Tc176535002 \h 13
\l "_Tc176535003" 题型九：两圆的公切线问题 PAGEREF _Tc176535003 \h 13
\l "_Tc176535004" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc176535004 \h 14
\l "_Tc176535005" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc176535005 \h 15
\l "_Tc176535006" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc176535006 \h 16
\l "_Tc176535007" 易错点：求与圆的切线有关的问题 PAGEREF _Tc176535007 \h 16
\l "_Tc176535008" 答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数 PAGEREF _Tc176535008 \h 17
知识点1：直线与圆的位置关系
1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
【诊断自测】已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
知识点2：圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【诊断自测】（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A．外切B．相交C．内切D．没有公共点
解题方法总结
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．

题型一：直线与圆的位置关系的判断
【典例1-1】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【典例1-2】已知集合，，则的子集个数为（ ）．
A．2B．3C．4D．1
【方法技巧】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
【变式1-1】已知圆经过三点，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交且直线过圆心D．相交且直线不过圆心
【变式1-2】直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【变式1-3】集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-4】已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
题型二：弦长与面积问题
【典例2-1】（2024·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ．
【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ．
【方法技巧】
弦长问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
【变式2-1】（2024·高三·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为 .
【变式2-2】（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .
【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为 .
【变式2-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 .
【变式2-5】直线与圆：交于，两点，若，则 .
【变式2-6】已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， .
【变式2-7】（2024·江苏南京·三模）已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 .
题型三：切线问题、切线长问题
【典例3-1】圆在点处的切线方程为 .
【典例3-2】已知圆C：，过直线上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当△ABC的面积最大时，点P的坐标为 ．
【方法技巧】
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
【变式3-1】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ．
【变式3-2】（2024·高三·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 .
【变式3-3】（2024·安徽·三模）已知曲线与曲线在第一象限交于点A，记两条曲线在点A处的切线的倾斜角分别为，则 ．
【变式3-4】关于曲线有以下五个结论：
①当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆；
②当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为；
③当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为；
④当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或；
⑤当，时，直线与曲线C表示的圆相离.
以上正确结论的序号为 .
【变式3-5】圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ．
题型四：切点弦问题
【典例4-1】已知点P是直线上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 .
【典例4-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·期中）过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为 .
【方法技巧】
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
【变式4-1】（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 .
【变式4-2】（2024·重庆·统考模拟预测）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 .
【变式4-4】已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为 .
【变式4-5】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ．
【变式4-6】（2024·四川·模拟预测）已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为 .
题型五：圆上的点到直线距离个数问题
【典例5-1】（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
临界法
【变式5-1】已知圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则实数的值为
A．或B．C．D．或
【变式5-2】（2024·江苏南京·模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-3】设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【典例6-2】（2024·河南·三模）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．
【变式6-1】直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ．
【变式6-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）直线，与圆相交于、两点，点为直线上一动点，则的最小值是 .
【变式6-3】已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ．
【变式6-4】已知Ax1,y1、满足：，，，则代数式的取值范围是 .
【变式6-5】若，则的最小值为 .
表示点到点的距离，
表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为，
【变式6-6】（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为 .
，
【变式6-7】（2024·山东青岛·三模）已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．－1B．C．2D．1
题型七：圆与圆的位置关系
【典例7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含B．相切C．相交D．外离
【典例7-2】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．内含
【方法技巧】
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
【变式7-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-5】（2024·甘肃张掖·模拟预测）若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型八：两圆的公共弦问题
【典例8-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 .
【典例8-2】（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .
【方法技巧】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【变式8-1】圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为 ．
【变式8-2】已知圆与圆相交于两点，则 .
【变式8-3】已知以1为半径的圆的圆心在轴上，以2为半径的圆的圆心在轴上，且两圆公共弦所在直线为，则这两个圆的公共弦长为 .
题型九：两圆的公切线问题
【典例9-1】（2024·高三·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【典例9-2】圆和圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【方法技巧】
待定系数法
【变式9-1】（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式9-2】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-4】（2024·高三·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-5】已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
1．已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值．
2．已知点和以点Q为圆心的圆．
（1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程；
（2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
（3）求直线AB的方程．
3．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求AB的长．
（2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
4．已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？
5．求圆与圆的公共弦的长．
易错点：求与圆的切线有关的问题
易错分析： 求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再确定方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．此时应注意斜率不存在的情况．
【易错题1】写出一个过点且与圆相切的直线方程 ．
【易错题2】已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则 ．
答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数
1、模板解决思路
对于直线与圆，利用点到直线距离公式及圆心到直线距离与半径关系判断位置；对于圆与圆，利用圆心距与两圆半径之和、之差的关系判断位置。结合这些位置关系，可以设立方程或不等式求解未知参数。
2、模板解决步骤
第一步：根据直线与圆的距离公式或圆与圆的圆心距公式，建立与位置关系对应的方程或不等式；
第二步：解这个方程或不等式，得到参数的取值范围或具体值；
第三步：验证解的正确性。
【典型例题1】已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典型例题2】已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（ ）
A．－1B．1C．0D．2
考点要求
考题统计
考情分析
（1）直线与圆的位置关系
（2）圆与圆的位置关系
2024年甲卷（文）第12题，5分
2023年乙卷（理）第12题，5分
2023年I卷第6题，5分
2023年II卷第15题，5分
2022年I卷第14题，5分
高考对直线与圆、圆与圆的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，但命题形式上比较灵活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．
复习目标：
（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0