新高考数学一轮复习考点讲练测第5章 平面向量与复数（测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第5章 平面向量与复数（测试）（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了若复数满足，则等于，设是关于的方程的两根其中，若，已知复数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为向量均为单位向量，即，且，，
则，两边平方可得，
即，所以，
又，所以与的夹角为．
故选：C．
2．已知向量，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【解析】由两边平方得，，
所以，
所以，
所以，
故选：D.
3．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．直线上B．直线上
C．直线上D．直线上
【答案】B
【解析】易知，
所以，
可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于直线上.
故选：B
4．若复数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】复数满足，.
故选：A
5．设是关于的方程的两根其中，若（为虚数单位）.则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】因为关于的方程的一个根为，
所以另一个根，
所以.
故选：A.
6．已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，由两边平方得，，整理得，，
因是非零不共线向量，则，即，解得，，
此时函数是增函数，故，即的取值范围为.
故选：D.
7．已知，都是正实数，若向量，，且满足，则的最小值是（ ）
A．50B．C．D．
【答案】A
【解析】因为向量，，且，
则，所以，
化简可得，
整理可得，因为 ，都是正实数，
所以，即，
所以，解得或（舍），
所以，即，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：A
8．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，（且），
则（且），
则在线段上，如图所示，
当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；
当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为；
则在上的投影向量的长度的取值范围是．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若，，则
B．已知向量，，则
C．若，则和在上的投影向量相等
D．已知，，，则点A，B，D一定共线
【答案】CD
【解析】对于A，若，，则与可能平行，故A错误；
对于B，设，则，解得，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确；
对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确.
故选：CD.
10．已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，设，显然，
但，故A错；
对于B，设，
则，
，
，
所以，故B对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，
复数对应向量，复数加减法对应向量加减法，
故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以，，故C对，D对.
故选：BCD.
11．已知点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】由题意可知，，
对于A，当时，，所以,
即，故，故A正确；
对于B，因为，
所以存在实数，使得，即，
解得，故或，故B错误；
对于C，因为，
所以，解得，故C正确；
对于D，因为，
所以
，其中，
所以当时，，故D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 .
【答案】
【解析】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，，
所以.
故答案为：
13．已知复数，且，则的最小值是 ．
【答案】1
【解析】因为复数，且，
所以，所以，得，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即或（舍去）时取等号，
所以的最小值是1.
故答案为：1
14．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 .
【答案】 6
【解析】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为，
所以，，
则；
，
显然，当为的中点时，，
所以
故答案为：6；．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知平面向量，.
(1)求的值；
(2)求与夹角的余弦值.
【解析】（1），（3分）
故； （6分）
（2）设与夹角为，
，（12分）
故与夹角的余弦值为 （13分）
16．（15分）
已知复数与．
(1)求及的值；
(2)设，满足的点Z的集合是什么图形？
【解析】（1），；（7分）
（2）由（1）知，设（x、）．
因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合，
不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合，（12分）
所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．
（15分）
17．（15分）
在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根．
(1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）．
(2)①若是复数的8次本原单位根，证明：．
②若是复数的次本原单位根，证明：．
【解析】（1）由题意可得的解为，（3分）
则复数的3次单位根为，
由于因为，的一次方以及2次方均不等于1，
故复数的3次本原单位根为. （6分）
（2）证明：①因为是复数的8次本原单位根，所以.
因为，所以，
所以，
则. （11分）
②因为是复数的次本原单位根，所以，
设，则.
因为，所以，所以，
所以.
因为，所以，即，
则，即. （15分）
18．（17分）
如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点.
(1)求的值；
(2)若为线段的中点，求的值；
(3)试确定点的位置，使得最小.
【解析】（1），，，，
，，
， ；（5分）
（2）
（9分）
（3）法一：设()，则，
，

当时，即时，最小. （17分）
法二：建立如图平面直角坐标系，则，，
，，
设()，则，
当时，即时，最小．（17分）
19．（17分）
定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为.
(1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；
(2)写出函数的“伴随向量”为，并求；
(3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为.
①若，求的取值范围；
②求证：向量的充要条件是.
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以的最大值为；（4分）
（2）因为，
所以“伴随向量”为，所以；（8分）
（3）设，
①因为，所以，
所以
，
所以
，
因为，所以的取值范围是；（12分）
②因为，
所以
，
所以，
充分性：，
当且仅当，即时，等号成立，所以.
必要性：当时，，
所以，
综上所述，向量的充要条件是. （17分）