新高考数学一轮复习章节综合检测第六章 平面向量、复数（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习章节综合检测第六章 平面向量、复数（2份，原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了已知，，，，若，则与的夹角为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．若复数是纯虚数，则实数的值为
A．或B．C．D．或
【答案】C
【详解】试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.
考点：纯虚数
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i
【答案】D
【分析】由点的坐标确定，再利用复数乘法法则进行计算
【详解】由题知，，则．
故选：D．
3．在平行四边形中，为对角线上靠近点的三等分点，延长交于，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形相似推出为的中点，再根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】易知，，所以，又，所以，即为的中点，
所以.

故选：A
4．已知，，，，若，则与的夹角为
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】根据向量垂直可得两向量数量积为零，从而构造出关于夹角余弦值的方程，求出余弦值后即可得到所求角.
【详解】
即：，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过明确向量垂直与向量数量积之间的关系，利用数量积为零构造关于夹角的方程.
5．中，内角、所对的边分别为、，若，则角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理边角互化思想求出的值，再结合的范围可求出角的值.
【详解】，由正弦定理得，
，，则，可得.
又，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的取值范围来得出角的值，考查运算求解能力，属于基础题.
6．如图所示；测量队员在山脚A测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为．若，，，（参考数据：，，，，，），则山的高度约为（ ）

A．181.13B．179.88C．186.12D．190.21
【答案】C
【分析】在中，利用正弦定理求，进而在Rt中求山的高度.
【详解】在中，则，
因为，则，
在Rt中，则.
故选：C.
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】B
【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得，再利用余弦定理得，从而求出的面积.
【详解】由正弦定理及，得，
所以，
所以，
即，
所以.
由正弦定理得.
因为，所以，
又，所以由余弦定理得
，
解得，
所以的面积为.
故选：B.
8．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，
因为，
所以有，

，设，，
因此有
因为，
所以有，
而，
所以，
当时，有最大值，当，xy有最小值，
所以的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，，
，
若，则，解得，所以C选项正确.
D选项，当时，，所以D选项错误.
故选：AC
10．已知为的外接圆圆心，，下列说法正确的是（ ）
A．三点共线
B．
C．
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】作出图，根据平面向量的基本定理运算判断选项A，利用圆周角的性质判断得，再结合是等边三角形，可判断得，从而得可判断选项B，在直角三角形中，利用三角函数列式计算可判断选项C，根据投影的概念，再结合三角函数计算可判断选项D.
【详解】如图，根据平行四边形法则，即，
所以为的中点，即为与的交点，
所以为的中点，所以三点共线，故A正确；
因为为的外接圆圆心，所以为圆的直径，
所以，所以，
又，所以是等边三角形，
所以，，故B错误；
在中，，所以，故C正确；
作于点，则向量为向量在向量上的投影向量，
因为，所以，，
所以，即向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD

11．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12D．面积有最小值
【答案】ABC
【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.
【详解】对于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C正确；
对于D，由得,
故
由于，无最小值，
所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：C.
12．已知的内角所对的分别是，且，是外一点，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则四点共圆
C．是等边三角形
D．四边形面积的最大值为
【答案】CD
【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知是等边三角形，从而判断A、C；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断D.
【详解】因为，
由正弦定理得，
即，因为，
所以，又，且，所以．
所以是等边三角形，故C正确，
由于无法得到的值，故无法判断A；
对于B：

若，则，
在中，由余弦定理得，则，
即，所以，，，四点不共圆，故B错误；
对于D：
设，，
由余弦定理得
，
所以四边形面积
即，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，故D正确；
故选：CD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知复数，则 ．
【答案】
【分析】先化简复数，然后由复数模的公式直接计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
14．已知非零向量，的夹角为，，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直满足的关系可得，进而根据数量积的定义即可求解.
【详解】，，，
，，
非零向量，的夹角为，
．
故答案为：．
15．抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为 公里．

【答案】
【分析】在中由正弦定理可得，在中等边对等角可得，则在 中由余弦定理可得.
【详解】在中=
由正弦定理可得：
即
在中
所以，则,
中由余弦定理可得：
即
故答案为：.
16．设为单位向量，它们的夹角为，， (x，y∈R)，若，则的最小值为 ．
【答案】1
【分析】利用模的计算公式得到和，利用基本不等式求出的最小值.
【详解】∵单位向量的夹角为，∴，
由，得，即x2＋y2＋xy=3，①
则，②
①＋②得，
①−②得.
又x2＋y2≥2xy，当且仅当x=y时“=”成立，∴，解得因此，的最小值为1.
故答案为：1.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在中，内角的对边分别为，已知，且满足.
（1）求边长；
（2）若是锐角三角形，且面积，求外接圆的半径.
【答案】（1）;（2）.
【详解】试题分析：（1）由结合正弦定理可得，可得.
（2）由，和（1）中所得可求，又由余弦定理，再用正弦定理求得外接圆的半径.
试题解析：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，∴，
又为锐角，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆的半径.
18．如图，在中，，，，P是内一点，且.
（1）若，求线段的长度；
（2）若，设，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先由中条件，求出，，，再由余弦定理，即可得出结果；
（2）由，得，根据题中条件，求出，在中，由正弦定理，得到，进而可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以在中，，，，所以；
在中，，，，
由余弦定理，得，
所以；
（2）由，得，
在中，，，，所以，
在中，，，，，
由正弦定理得，
所以，又，所以，
由，得．
【点睛】思路点睛：
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值，优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.
19．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
问题：在中，角所对的边分别为，且________．
（1）求C；
（2）若的面积为为的中点，求的值．
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【分析】（1）选①,正弦定理化边为角后，由三角恒等变换求得；
选②，由正弦定理化边为角，同时切化弦，转化后可得；
选③，由正弦定理化边为角，然后由两角差的正弦公式变形求得；
（2）由面积求得，从而可求得，由向量数量积得，可计算．
【详解】解：选①：
（1）因为，，三角形中，
所以，
所以，又因为C为的一个内角，所以
（2）因为的面积为
所以，所以
因为D为的中点，所以，
从而，所以
选②：
（1）因为所以，三角形中，
所以，又因为C为的一个内角，所以
（2）下同选①．
选③：
（1）因为，所以，三角形中，
所以
所以，又因为C为的一个内角，所以
（2）下同选①．
20．在中，，，的对边分别为，，，已知.
(1)求证：；
(2)若，求边的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，移项后平方消元，求出再应用同角三角函数关系求出即可；
（2）因为再应用余弦定理结合基本不等式求出的最小值.
【详解】（1）依题意,否则，则，矛盾，
由得，即得
故，
整理得，从而又因为可得，
从而.
（2）由，由（1）可得
故为锐角，，
故，
从而当且仅当时取等号， 的最小值为.
21．在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角A；
(2)若为的中点，且的角平分线交于点，且，求边长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积定义结合正弦定理对已知等式化简可求得角A；
（2）根据已知条件，得，两边平方化简，可得，再结合等面积法可得，则可求出，用余弦定理即可求得结果.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，
所以，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
（2）因为，的角平分线交于点，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为为的中点，且，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，解得或（舍去），
所以
所以由余弦定理得，
所以

22．如图，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知，．
（1）若绿化区域的面积为，求道路的长度；
（2）若绿化区域改造成本为10万元，新建道路成本为10万元．设，当为何值时，该计划所需总费用最小？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据三角形的面积公式，和余弦定理即可求出，
（2）先根据正弦定理结合三角形的面积可得，，令，利用导数求出函数的最值．
【详解】解：（1）在中，，，
，
解得，
在中，由余弦定理得：，
；
（2）由，则，，
在中，，，由正弦定理得，
，，
记该计划所费用为，
则，，
令，
则，
由，解得，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
时，该计划所需费用最小．