2026年山东省济南市莱芜区中考数学一模考前示范卷

这是一份2026年山东省济南市莱芜区中考数学一模考前示范卷，共8页。
本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．
答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的倒数是（ ）．
A．2B．C．1D．
2．用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（ ）
A．①号位置B．②号位置C．③号位置D．④号位置
3．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flps（Flps是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flps，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．若一个多边形的每个外角都等于，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
5．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．济南市某天的气温：-5~8℃，则当天最高与最低的温差为（ ）
A．13B．3C．-13D．-3
7．若关于x的一元二次方程两根为，，且与同号，则m可能的值为（ ）
A．B．C．0D．1
8．在如图所示的电路中，随机闭合三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在菱形中，，，点E、F、G分别是、、上的点，其中，．点P从E点出发，以每秒2个单位长度沿折线运动；点Q以每秒1个单位沿折线运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动，设的面积为S，点P，Q的运动时间为t秒，则S与t的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
第II卷（非选择题共110分）
注意事项：
1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．使代数式有意义的的取值范围是 .
12．如图，，分别为的三等分点，，若，则 ， ．
13．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置．若，则的度数为 ．
14．如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ．
15．为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）
16．计算题
（1）；
（2）已知是锐角，且，计算的值．
17．（1）解不等式：；
（2）解不等式组：；
（3）解不等式组，并写出它的所有的非负整数解．
18．如图，菱形中，是对角线上的点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)写出与之间的数量关系，再说明理由．
19．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．

(1)求的长；
(2)求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，）
20．如图，是的直径，弦于点E，过点D作交的延长线于点H，点F是延长线上一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
21．“强我体魄，筑我精神”，某学校九年级在抓学生学习的同时，加强了学生的体育锻炼．为了解学生的体育锻炼情况，学校随机抽取30名男生进行引体向上的测试，成绩如下（单位：个）：5 10 13 13 17 21 23 19 16 13 11 8 8 11 13 15 19 16 13 10 8 8 12 13 16 20 20 16 12 20，整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：
回答下列问题：
(1)以上30个数据中，中位数是多少？频数分布表中a，b分别是多少？
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩不低于13个为优秀，估计该校九年级300名学生中达到优秀等级的人数是多少？
22．某学校为改善办学条件，计划采购两种型号的空调，已知采购台型空调和台型空调，共需费用元；台型空调比台型空调的费用多元．
(1)求型空调和型空调每台各需多少元；
(2)若学校计划采购两种型号空调共台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．

(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值．
(3)如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．
25．如图1，中， 点 D、E分别为的中点．
(1)如图2，将线段分别绕点A 顺时针旋转相同角度得到， ，分别连接，则；
(2)如图3，将绕点D顺时针旋转得到，分别连接 点 M、N分别为线段上的点， 且满足，分别连接．请判断的形状，并说明理由；
(3)如图4，连接，点O为上一点，满足，将绕点O 顺时针旋转α度 得到 ，连接，求旋转过程中线段的最大值．
成绩（个）
频数
5
a
11
b
2
《2026年初中数学山东省济南市莱芜区一模考前示范卷》参考答案
11．
12．4，8.
13．48°
14．
15．②③
16．（1）
=
=
=
（2）∵是锐角，且
∴=45°，
故
=
=
=
=．
17．解：（1），
，
，
；
（2），
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：；
（3），
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的非负整数解为：、、．
18．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由：
∵，
∴，
由（）得（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：由题意得：，
在中，的坡度为，，
∴，
∴，
∴，
即的长为；
（2）过点作，垂足为，
根据题意得：，，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴塔的高度约为．
20．（1）证明：连接，则，
∴，
∵于点E，
∴，
∵交的延长线于点H，点F是延长线上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴半径的长是5．
21．（1）根据题意排列数据得：5，8，8，8，8，10，10，11，11，12，12，13，13，13，13，13，13 ， 15 ，16，16，16，16，17，19，19 ，20，20，20 ，21，23，
可得中位数为：13，
在范围内的数字为： 10，10，11，11，12，12，共6个，
∴a=6，
在范围内的数字为：17，19，19 ，20，20，20 ，共6个，
∴b=6；
（2）补全频数分布直方图，如图所示：
（3）根据题意得：（人）
则该校九年级300名学生中达到优秀等级的人数是190人．
22．（1）解：设型空调每台需元，型空调每台需元，
由题意得，，
解得，
答：型空调每台需元，型空调每台需元；
（2）解：设采购型空调台，则采购型空调台，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴或或，
∴该校共有三种采购方案：
方案一：采购型空调台，则采购型空调台；
方案二：采购型空调台，则采购型空调台；
方案三：采购型空调台，则采购型空调台．
23．（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．

24．（1）解：∵
∴
∵
∴，
将、的坐标代入
得：
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：由，
令，即，
解得：，
∴，
∴，
∴
作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当时，的最小值为；
（3）如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于，
设直线解析式为：，
由(1)得：，
将， 分别代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
，故的横坐标，代入，得：，
，
，
设，则，
，
轴于点，轴，
，
，
，
将、分别看作、为底边，则它们的高相同，
，
，
时，有最大值，最大值为
25．（1）解：∵中， ，
∴，
由旋转的性质可，
∵D、E分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图所示，连接，
绕D点顺时针旋转得到，
∴都是等边三角形
∵是等腰直角三角形，点D 是斜边中点．
∴，
又∵，
∴，
，
∴，即
∴是等腰直角三角形；
（3）解：如图所示，连接，
为等腰直角三角形，
∴
∵E是中点，
∴，
，
∵，
，
，
由旋转的性质可得，
在中，，
∴当时，，即此时最大．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
A
C
A
B
C
C
A