新高考数学一轮复习考点讲义：第09章第1讲直线方程（含解析）

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一 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线 l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线的方向向量
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l一个方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)；若l的斜率为k，则一个方向向量的坐标为(1，k)．
二 直线方程的几种形式
常/用/结/论
1．直线过点P(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1，垂直于y轴的方程为y＝y1；
2．x轴的方程为y＝0，y轴的方程为x＝0.
1．判断下列结论是否正确．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()
(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.()
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()
(4)截距可以为负值．(√)
2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：由题意，得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.故选A.
答案：A
3．若过点A(2,4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1,1)，则m＝( )
A．－1 B．1 C．5 D．3
解析：方法一：由题意可知eq \f(m－4,1－2)＝－1，∴m＝5.故选C.
方法二：∵eq \(AB,\s\up16(→))＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C.
答案：C
题型 直线的倾斜角与斜率
典例1(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
可知斜率存在．
A．[0，π) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
(2)已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为( )
切线问题可利用导数的几何意义：设切点P(x0，ln x0)，则k＝f′(x0)．
A．e B．－e C.eq \f(1,e) D．－eq \f(1,e)
(3)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r( ,3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________．
解析：(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)≤θ＜π.故选B.
(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x).设切点为P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝eq \f(ln x0,x0)，
∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝eq \f(1,x0)＝eq \f(1,e).
方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x及其经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1.故选C.
(3)如图，∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r( ,3)－0,0－1)＝－eq \r( ,3)，
∴k∈(－∞，－eq \r( ,3)]∪[1，＋∞)．
故答案为(－∞，－eq \r( ,3)]∪[1，＋∞)．
1．求直线倾斜角的取值范围的注意点
直线的倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．
借助正切函数的图象．
注意：当斜率不存在时，则倾斜角为eq \f(π,2).
2．求直线斜率的方法
(1)定义法(k＝tan α)．
(2)公式法eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＝\f(y2－y1,x2－x1))).
(3)导数法(曲线y＝f(x)在x0处的切线的斜率为k＝f′(x0)).
对点练1(1)(2024·湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝asin x－bcs x(a≠0，b≠0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)(2)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且实数m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)－1，\f(\r(3),3)－1))，求直线AB的倾斜角α的范围．
(1)解析：由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))，知函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，所以f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝eq \f(a,b)＝－1，所以直线的倾斜角为eq \f(3π,4).故选D.
答案：D
(2)解：当m＝－1时，α＝eq \f(π,2)；
当m≠－1时，
∵k＝eq \f(1,m＋1)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[eq \r(3)，＋∞)，
∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6))).
综上，直线AB的倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))).
题型 直线的方程
典例2(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
可得l斜率为k＝eq \f(3,2).
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4)
B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)
D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
(2)求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
【易错提醒】注意不要漏掉截距为0，即直线过(0,0)的情况．
(1)解析：方法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝eq \f(3,2)，
故直线l的方程为y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)．
方法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，
则eq \(AP,\s\up16(→))＝(x＋4，y－3)，
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
故直线l的方程为y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)．
故选C.
(2)解：方法一：①当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，
则直线l的斜率为k＝eq \f(3－0,2－0)＝eq \f(3,2)，
因此直线l的方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0.
②当截距不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1.
∵直线l过点P(2,3)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，∴a＝5.
∴直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
方法二：由题意可知所求直线的斜率存在，
则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.
令x＝0，得y＝－2k＋3.
令y＝0，得x＝－eq \f(3,k)＋2.
于是－2k＋3＝－eq \f(3,k)＋2，解得k＝eq \f(3,2)或k＝－1.
则直线l的方程为y－3＝eq \f(3,2)(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
直线方程的求法
(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：其具体步骤为①设出直线方程的恰当形式(点斜
注意每种直线方程的适用范围．
式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是不是所求直线方程，如果有遗漏需要补加．
提醒：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点.
对点练2(1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为____________．
(2)过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________．
解析：(1)设C(x0，y0)，
则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5＋x0,2)，\f(y0－2,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋x0,2)，\f(y0＋3,2))).
因为点M在y轴上，所以eq \f(5＋x0,2)＝0，
所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以eq \f(y0＋3,2)＝0，
所以y0＝－3，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)，
所以直线MN的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－\f(5,2))＝1，
即5x－2y－5＝0.
(2)设直线方程的截距式为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1，则eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,2)＋eq \f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
答案：(1)5x－2y－5＝0 (2)2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
题型 直线方程的应用
典例3 过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
利用直线l的截距式方程处理问题较方便，即设l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)．

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1.
(1)因为eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1≥2eq \r( ,\f(4,a)·\f(1,b))＝eq \f(4,\r( ,ab))，
所以ab≥16，S△AOB＝eq \f(1,2)ab≥8，
当且仅当a＝8，b＝2时，等号成立．
一定要注意何时取到等号．
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为eq \f(x,8)＋eq \f(y,2)＝1，
即x＋4y－8＝0.
(2)因为eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))
基本不等式“1”的代换．
＝5＋eq \f(a,b)＋eq \f(4b,a)≥5＋2eq \r(\f(a,b)·\f(4b,a))＝9，当且仅当a＝6，b＝3时，等号成立．
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1，即x＋2y－6＝0.
利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想，即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及基本不等式，何时取等号，一定要弄清.eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练3如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？
解： 如图，建立平面直角坐标系，则P(3，4)．
设人行直道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k