新高考数学二轮专题重难点突破训练28 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类（七大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题重难点突破训练28 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类（七大题型）（2份，原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了三角形的面积处理方法，三角形面积比处理方法，四边形面积处理方法，面积的最值问题或者取值范围问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc176593343" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176593343 \h 2
\l "_Tc176593344" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176593344 \h 4
\l "_Tc176593345" 题型一：三角形的面积问题之S△=12⋅底·高 PAGEREF _Tc176593345 \h 4
\l "_Tc176593346" 题型二：三角形的面积问题之分割法 PAGEREF _Tc176593346 \h 5
\l "_Tc176593347" 题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化 PAGEREF _Tc176593347 \h 6
\l "_Tc176593348" 题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型 PAGEREF _Tc176593348 \h 9
\l "_Tc176593349" 题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型 PAGEREF _Tc176593349 \h 10
\l "_Tc176593350" 题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型 PAGEREF _Tc176593350 \h 12
\l "_Tc176593351" 题型七：四边形的面积问题之一般四边形 PAGEREF _Tc176593351 \h 14
\l "_Tc176593352" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176593352 \h 16
1、三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高或
（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型
3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直
（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．
题型一：三角形的面积问题之S△=12⋅底·高
【典例1-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.
【典例1-2】（2024·浙江绍兴·三模）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
(1)设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
(2)若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
【变式1-1】（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；
(3)设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程.
【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值.
题型二：三角形的面积问题之分割法
【典例2-1】已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．
【典例2-2】（2024·高三·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
【变式2-1】（2024·天津南开·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程.
，，则，
【变式2-2】设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
【典例3-1】如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【典例3-2】（2024·四川达州·二模）已知抛物线，直线与交于两点，线段AB中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与轴交于点为原点，设的面积分别为，若成等差数列，求.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知抛物线：y2=2pxp>0，焦点在直线上．过点的直线与抛物线交于，两点，以焦点为圆心，为半径的圆分别与直线、交于、两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求面积的取值范围．
【变式3-2】（2024·河北保定·三模）设椭圆的左､右顶点分别为，离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆上异于的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.直线与轴相交于点，求的面积的最大值.
【变式3-3】（2024·河北保定·三模）已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若，求的值；
(3)若，记，的面积分别为，，求的取值范围.
【变式3-4】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点（其中点在第一象限），过点作的切线交轴于点，直线交于另一点，直线交轴于点.
(1)求证：；
(2)记，，的面积分别为，，，当点的横坐标大于2时，求的最小值及此时点的坐标.
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
【典例4-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)为直线上一动点，记椭圆的上下顶点为，直线分别交椭圆于点，当与的面积之比为时，求直线的斜率.
【典例4-2】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)记直线的斜率分别为，证明：是定值；
(3)设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值．
【变式4-1】（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）.
(1)求的准线方程；
(2)若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值.
【变式4-2】已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于两点，直线与圆E：的另一交点分别为为坐标原点，求与面积之比的最小值．
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
【典例5-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知椭圆过点，且的右焦点为.
(1)求的方程：
(2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点.
（i）证明：到直线和的距离相等；
（ii）若的面积等于的面积，求的坐标.
【典例5-2】在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【变式5-1】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆和圆经过的右焦点，点为的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
【变式5-2】（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上.
(3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围.
【变式5-3】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
【典例6-1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【典例6-2】（2024·河北邯郸·三模）已知椭圆经过，两点．
(1)求的方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【变式6-1】已知直线与椭圆有且只有一个公共点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.
【变式6-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
【变式6-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为．
(1)求点的坐标；
(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值．
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
【典例7-1】（2024·辽宁·模拟预测）给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点，
(1)若，求线段的长度；
(2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
(3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围．
【典例7-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当经过T的焦点F且垂直于x轴时，．

(1)求抛物线T的标准方程；
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若，求四边形ABCD的面积．
【变式7-1】（2024·高三·四川达州·开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．
【变式7-2】已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，且满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围.
【变式7-3】已知曲线的焦点是F，A，B是曲线C上不同的两点，且存在实数使得AF=λFB，曲线C在点A，B处的切线交于点D．
(1)求点D的轨迹方程；
(2)点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一个交点恰好是AB的中点，当时，求四边形ADBE的面积．
【变式7-4】（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆：（）中有如下性质：不过椭圆中心的一条弦的中点为，当，斜率均存在时，，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，使，求四边形的面积.
1．（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．
2．（2024·河北·模拟预测）已知，平面内动点满足直线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线交的轨迹于两点，以为邻边作平行四边形（为坐标原点），若恰为轨迹上一点，求四边形的面积.
3．（2024·重庆·模拟预测）已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为F1−c,0，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设和的面积分别为，求．
4．（2024·高三·山东烟台·开学考试）抛物线的焦点为，准线为，斜率分别为的直线均过点，且分别与交于和（其中在第一象限），分别为的中点，直线与交于点，的角平分线与交于点.
(1)求直线的斜率（用表示）；
(2)证明：的面积大于.
5．（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6．
(1)求点到上的点的距离的最小值；
(2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．
①证明：直线过定点；
②已知为坐标原点，求面积的取值范围．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，平面内动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线交C于A、B两点，O为坐标原点，直线和的倾斜角分别为和，若，求证直线过定点，并求出该定点坐标；
(3)设（2）中定点为Q，记与的面积分别为和，求的取值范围.
7．（2024·河北石家庄·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为为坐标原点，直线与交于两点，点在第一象限，点在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为．当垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点为的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于．
①证明：为定值；
②证明：四边形的面积是面积的2倍．
8．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等.
9．定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．

(1)求直线的方程；
(2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．
10．已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与交于，两点，设线段的中点为，线段的中点为，求面积的最小值．
11．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
12．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点为点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴于点G，若，的面积分别记为，，且，点A在第一象限，求点A的坐标．
13．（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．
14．（2024·高三·山东潍坊·开学考试）已知双曲线的焦距为4，离心率为分别为的左､右焦点，两点都在上.
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)若且，求四个点所构成的四边形的面积的取值范围.
15．（2024·湖北·一模）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
16．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，矩形中，AB=4，，分别是矩形四条边的中点，设，，设直线与的交点在曲线上.
(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于.
①证明：为定值；
②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由.