新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题37 圆锥曲线定值问题十三大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151568538" 题型1线段长度定值问题 PAGEREF _Tc151568538 \h 1
\l "_Tc151568539" 题型2周长定值问题 PAGEREF _Tc151568539 \h 3
\l "_Tc151568540" 题型3面积定值问题 PAGEREF _Tc151568540 \h 5
\l "_Tc151568541" 题型4向量积定值问题 PAGEREF _Tc151568541 \h 6
\l "_Tc151568542" 题型5角度定值问题 PAGEREF _Tc151568542 \h 8
\l "_Tc151568543" 题型6运算关系定值问题 PAGEREF _Tc151568543 \h 9
\l "_Tc151568544" ◆类型1和关系 PAGEREF _Tc151568544 \h 10
\l "_Tc151568545" ◆类型2差关系 PAGEREF _Tc151568545 \h 11
\l "_Tc151568546" ◆类型3积关系 PAGEREF _Tc151568546 \h 11
\l "_Tc151568547" ◆类型4商关系 PAGEREF _Tc151568547 \h 12
\l "_Tc151568548" ◆类型5平方关系 PAGEREF _Tc151568548 \h 13
\l "_Tc151568549" 题型7坐标相关定值问题 PAGEREF _Tc151568549 \h 14
\l "_Tc151568550" 题型8参数相关定值问题 PAGEREF _Tc151568550 \h 16
\l "_Tc151568551" 题型9斜率定值问题 PAGEREF _Tc151568551 \h 18
\l "_Tc151568552" 题型10斜率和定值问题 PAGEREF _Tc151568552 \h 19
\l "_Tc151568553" 题型11斜率差定值问题 PAGEREF _Tc151568553 \h 21
\l "_Tc151568554" 题型12斜率积定值问题 PAGEREF _Tc151568554 \h 22
\l "_Tc151568555" 题型13斜率比定值问题 PAGEREF _Tc151568555 \h 24
题型1线段长度定值问题
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：的左焦点为，点在C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过F的两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，若线段AB，PQ的中点分别为M，N，且过F作直线MN的垂线，垂足为D，证明：存在定点H，使得为定值.
【变式1-1】1. （2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知抛物线过点，直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点作，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】2. （2023下·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上．
(1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；
(2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【变式1-1】3. （2023·云南曲靖·校考三模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
【变式1-1】4. （2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】5.（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
题型2周长定值问题
【例题2】（2023·云南大理·统考模拟预测）已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．
【变式2-1】1. （2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【变式2-1】2. （2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为.
(1)若为直角三角形，求的离心率；
(2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由；
(3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由.
【变式2-1】3. （2023·甘肃·统考二模）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【变式2-1】4. （2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：的周长为定值.
【变式2-1】5.（2023上·北京密云·高二统考期末）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，求的面积；
(3)对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.
题型3面积定值问题
【例题3】（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设椭圆：，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值.
【变式3-1】1. （2023上·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为、，直线与椭圆交于A、B两点.
(1)若直线l经过点，且，求点A的坐标；
(2)若直线l经过点，且，求直线l的方程；
(3)若，则的面积是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.
【变式3-1】2. （2023上·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）已知、、是直线上的三点，且，，切直线于点，又过、作异于的两切线，设这两切线交于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设、是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若，的斜率分别为，，问：是否存在实数，使得当时，的面积是定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
【变式3-1】3. （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.
【变式3-1】4. （2023上·上海嘉定·高三上海市育才中学校考期中）已知椭圆Γ方程为，B1、B2分别是椭圆Γ短轴上的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于B1、B2的点，是边长为4的等边三角形．
(1)求椭圆的离心率；
(2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；
(3)点R满足：，，试问：与的面积之比是否为定值？并说明理由．
题型4向量积定值问题
【例题4】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，其离心率为，直线被椭圆截得的弦长为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)圆的切线交椭圆于，两点，切点为，求证：是定值．
【变式4-1】1. （2023上·四川·高三南江中学校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上一点（异于），直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点，使得是定值，并求此定值．
【变式4-1】2. （2022上·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆，，是C的左、右焦点，过的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且的周长为，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，证明:为定值.
【变式4-1】3. （2018·天津·统考一模）已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.
【变式4-1】4. （2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．

(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值．
题型5角度定值问题
【例题5】（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点，分别为椭圆的左焦点和右顶点，点为抛物线的焦点，且（为坐标原点）.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，连接，并延长交抛物线的准线于点，，求证：为定值.
【变式5-1】1. （2023下·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程；
(3)若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【变式5-1】2. （2023下·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知椭圆的长轴长为，且过点．
(1)求C的方程和离心率；
(2)过点与作直线l交椭圆C于点D、E（不与点A重合）．是否为定值?若是，求出该定值，若不是，求其取值范围．
【变式5-1】3. （2023下·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左顶点为，右焦点为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于点M，N（异于点A），直线AM，AN分别与直线交于点P，Q．问：的大小是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【变式5-1】4. （2023上·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知椭圆：的右焦点为在椭圆上，的最大值与最小值分别是6和2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，直线分别与直线交于两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
题型6运算关系定值问题
◆类型1和关系
【例题6-1】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．
【变式6-1】（2022上·浙江嘉兴·高二校考期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，且满足______，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点，条件②：椭圆的离心率为
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
◆类型2差关系
【例题6-2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线与直线有唯一的公共点M.
(1)若点在直线l上，求直线l的方程；
(2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于，y轴于两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点使得为定值.
【变式6-2】（2023·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于A，两点，且在线段上.
(1)求直线，的斜率之和；
(2)设与交于点，证明：为定值.
◆类型3积关系
【例题6-3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的一个顶点为，D，E是C上关于原点O对称的两点，且直线AD，AE的斜率之积为．
(1)求C的标准方程．
(2)设Q是C上任意一点，过Q作与C的两条渐近线平行的直线，与x轴分别交于点M，N，判断x轴上是否存在点G，使得为定值．
【变式6-3】（2021上·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．
(1)求双曲线方程．
◆类型4商关系
【例题6-4】（2023上·广西·高三统考阶段练习）已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
【变式6-4】1. （2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值.
【变式6-4】2. （2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆：（）的左，右焦点为，，离心率为，点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线，分别与椭圆交于点，，的周长为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为定值．
【变式6-4】3.（2023·山东德州·三模）已知分别为双曲线的左，右焦点，点在上，且双曲线的渐近线与圆相切．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线交双曲线的右支于两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
◆类型5平方关系
【例题6-5】（2023上·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与轴交于点，与椭圆相交于点，求证：为定值.
【变式6-5】1.（2023上·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示，半椭圆内切于矩形，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.

(1)求曲线的方程；
(2)连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证：为定值.
【变式6-5】2.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．
题型7坐标相关定值问题
【例题7】（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．
(1)求圆M的方程；
(2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值．
【变式7-1】1. （2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.
(1)求抛物线T的方程：
(2)已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.
【变式7-1】2. （2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知抛物线的方程为．
(1)若M是上的一点，点N在的准线l上，的焦点为F，且，，求；
(2)设为圆外一点，过P作的两条切线，分别与相交于点A，B和C，D，证明：当P在定直线上运动时，四点的纵坐标乘积为定值的充要条件为．
【变式7-1】3. （2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
【变式7-1】4. （2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标；
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.
【变式7-1】5.（2022·安徽淮南·统考二模）已知离心率为的椭圆的下顶点为，过点B（0，3）作斜率存在的直线交椭圆C于P，Q两点，连AP，AQ分别与x轴交于点M，N，记点M，N的横坐标分别为xM，xN.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)试判断 xM xN 是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【变式7-1】6.（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形面积为．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线交椭圆于，，且，求证为定值．
题型8参数相关定值问题
【例题8】（2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值.
【变式8-1】1. （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．
【变式8-1】2. （2023·黑龙江大庆·统考二模）已知椭圆C：的离心率，短轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
【变式8-1】3. （2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率是，实轴长是2，为坐标原点.设点为双曲线上任意一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，的面积为.
(1)当的方程为时，求的值；
(2)设，求证：为定值.
【变式8-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
【变式8-1】5.（2023·河北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切.
(1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值；
(2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值.
【变式8-1】6.（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）（1）若椭圆的离心率，且被直线截得的线段长为，求椭圆的标准方程；
（2）椭圆，其中，若点是上的任意一点，过点作的切线交于两点，为上异于的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由.
题型9斜率定值问题
【例题9】（2022上·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式9-1】1. （2023·河北保定·统考二模）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上不同于点的两个动点，直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，证明：直线的斜率为定值．
【变式9-1】2. （2023上·江西·高三统考开学考试）已知椭圆的离心率为，且点在上.
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，直线与交于另一点，与直线平行的直线交于，两点，直线与交于点，证明：直线的斜率为定值.
【变式9-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆长轴的两个端点，C的焦距为2．，，P是椭圆C上异于A，B的动点，直线PM与C的另一交点为D，直线PN与C的另一交点为E．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线DE的倾斜角为定值．
【变式9-1】4. （2023·广东深圳·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．
题型10斜率和定值问题
【例题10】（2022上·河南商丘·高三校考阶段练习）已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，

(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.
【变式10-1】1. （2023上·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.
【变式10-1】2. （2023上·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点.
(1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求；
(2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.
【变式10-1】3. （2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
【变式10-1】4.（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.
【变式10-1】5. （2023上·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，．
(1)证明：总与和相切；
(2)在（1）的条件下，若与在y轴右侧相切于A点，与在y轴右侧相切于B点．直线与和分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线使得对任意题干所给a，b，总有为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
题型11斜率差定值问题
【例题11】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值.
【变式11-1】1. （2023·湖北孝感·校联考模拟预测）已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.
【变式11-1】2. （2023上·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，当的周长取得最大值8时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，若，直线与直线交于点，记直线的斜率分别为，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
题型12斜率积定值问题
【例题12】（2023上·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．
【变式12-1】1. （2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【变式12-1】2. （2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知椭圆的焦距为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由.
【变式12-1】3. （2023上·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）动圆与圆：外切，与圆：内切.
(1)求动圆的圆心的轨迹方程；
(2)直线：与相交于两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.
【变式12-1】4. （2023上·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知离心率为的椭圆与x轴，y轴正半轴交于两点，作直线的平行线交椭圆于两点.
(1)若的面积为1，求椭圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下，记直线的斜率分别为，，求证：为定值；
【变式12-1】5.（2023上·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过上两点，作斜率均为的两条直线，与的另两个交点分别为，.若直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
题型13斜率比定值问题
【例题13】（2023上·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求的取值范围.
【变式13-1】1. （2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，.
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线的斜率之比为定值.
【变式13-1】2. （2021上·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；
(3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【变式13-1】3. （2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知椭圆：的焦距为4，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线交椭圆于，两点，的周长为12.
(1)记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值；
(2)记的面积为，的面积为，求的最大值.
【变式13-1】4. （2023·山东威海·统考二模）已知椭圆：的三个顶点构成边长为4的等边三角形．
(1)求的标准方程；
(2)已知直线的倾斜角为锐角，分别与轴、轴相交于点，，与相交于，两点，且为线段的中点，关于轴的对称点为，直线与的一个交点为．
（i）证明：直线与的斜率之比为定值；
（ii）当直线的倾斜角最小时，求的方程．
1. （2023·广东佛山·校考模拟预测）已知点为直线上的动点，过点作射线（点位于直线的右侧）使得，设线段的中点为，设直线与轴的交点为.
(1)求动点的轨迹的方程.
(2)设过点的两条射线分别与曲线交于点，设直线的斜率分别为，若，请判断直线的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.
2. （2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知椭圆的右焦点为，有两个不同的点P、在椭圆上运动，且的最小值为，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆在第一象限交于点A，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
3. （2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知圆心为D的动圆经过定点，且内切于圆．
(1)求动点D的轨迹C的方程；
(2)直线与C相交于两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段于点Q，直线的斜率为k（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，判断：是否为定值？并说明理由．
4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限．

(1)求的标准方程；
(2)若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．
5. （2020·江苏扬州·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且椭圆的离心率为.直线与椭圆相交于两点，线段的中垂线交椭圆于两点.

(1)求的标准方程；
(2)求线段长的最大值；
(3)证明：为定值，并求此定值.
6. （2023·全国·校联考三模）已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.
7. （2023·山东·山东省实验中学校考一模）在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值．
8. （2023·广西·统考模拟预测）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
9. （2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一动点C与定点的距离与C到定直线l：的距离之比为常数.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F作一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点，记直线PM，PF，PN的斜率分别为，，，证明：为定值.
10. （2022·湖北十堰·丹江口市第一中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证：为定值，并求出该定值．
11. （2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
12. （2019·全国·高考真题）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
13. （2018·北京·高考真题）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数，利用距离公式或弦长公式得到长度解析式，再对解析式化简，得出结果为定值
与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式，再利用题中条件化简，
与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线，写出向量系数的表达式，再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.
与代数式有关的定值问题，一般是依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值
（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；
（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值，求解时一般先利用斜率公式写出表达式，再利用题中条件或韦达定理化简.