专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类

【考点预测】

1、三角形的面积处理方法

（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）

（2）水平宽·铅锤高或

（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．

2、三角形面积比处理方法

（1）对顶角模型

（2）等角、共角模型

3、四边形面积处理方法

（1）对角线垂直

（2）一般四边形

（3）分割两个三角形

4、面积的最值问题或者取值范围问题

一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．

【题型归纳目录】

题型一：三角形的面积问题之底·高

题型二：三角形的面积问题之分割法

题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化

题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型

题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型

题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型

题型七：四边形的面积问题之一般四边形

【典例例题】

题型一：三角形的面积问题之底·高

例1．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．

例2．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.

例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．

(1)求C的方程；

(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．

例4．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）

例5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三开学考试）如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．

(1)求椭圆和抛物线的方程；

(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．

例6．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.

(1)若求圆心的轨迹的方程.

(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.

题型二：三角形的面积问题之分割法

例7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．

例8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.

例9．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

例10．（2022·云南大理·模拟预测）已知为椭圆C的左、右焦点，点为其上一点，且．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化

例11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.

（1）求四边形的面积；

（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.

例12．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值

例13．（2022·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.

(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；

(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.

例14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.

例15．（2022·广东·高三阶段练习）椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.

例16．（2022·浙江·高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.

（1）求面积的最大值；

（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.

例17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值．

例18．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））已知椭圆C：（）的焦距为，且经过点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点的直线交椭圆C于A、B两点，求（O为原点）面积的最大值.

题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型

例19．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

例20．（2022·江苏·泰州中学高三开学考试）已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．

例21．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M，连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E，连接动点M与椭圆的上顶点B，与x的正半轴交于点F，记四边形的面积为，的面积为，，求的取值范围．

例22．（2022·上海金山·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点.

(1)求的周长；

(2)当垂直于轴时，求直线的方程；

(3)记与的面积分别为，求的最大值.

例23．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程．

例24．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，抛物线在点处的切线l交椭圆于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线交x轴于点D．

(1)若点C是的中点，求p的值；

(2)设与的面积分别为，求的最大值．

例25．（2022·河北邯郸·二模）已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．

(1)求C的标准方程；

(2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．

例26．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知椭圆，椭圆的焦点在y轴上．经过点且与椭圆有相同的离心率．

(1)求椭圆的方程；

(2)设A为椭圆的上顶点，点P是椭圆上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点分别为M，N两点，设与的面积分别为，求的取值范围．

例27．（2022·江西鹰潭·二模（理））设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.

(1)求动点D的轨迹E的方程；

(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两个不同的点A、B，点T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.

题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型

例28．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，焦距为2，点P是椭圆C上一点满足轴，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过的直线交椭圆C于A，B（异于点P）两点，直线分别交直线于M，N，记，求的最小值．

例29．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．

(1)求动点P的轨迹方程C；

(2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值；

(3)设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

例30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．

例31．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且．

(1)求椭圆的长轴和短轴的比值；

(2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．

例32．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；

(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型

例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.

例34．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.

(1)求的方程；

(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.

例35．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.

（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；

（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.

题型七：四边形的面积问题之一般四边形

例36．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．

例37．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．

例38．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4．

(1)求C的方程．

(2)直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

例39．（2022·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．

(1)求的方程；

(2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．

例40．（2022·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左､右焦点，长轴长为，分别为椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆的离心率为，过点的直线与曲线交于两点，设的中点为M，两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围.

例41．（2022·湖南·高考真题（理））如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.

(1)求的方程;

(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.