新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第08章重难点突破03 圆锥曲线中的面积问题（2份，原卷版+解析版）

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（2）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为为坐标原点），求直线的方程．
【解答】解：（1）因为轴，，
所以，
此时，
解得，
则的方程为；
（2）由（1）知，
不妨设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
因为，
由韦达定理得，，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以，
解得，
故直线的方程为或．
2．已知，是椭圆的两个焦点，，为上一点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为上一点，且，求△的面积．
【解答】解：（1）不妨设椭圆的焦距为，
因为，
所以，
此时，，
因为为上一点，
所以，，
因为，
解得，
此时，
则椭圆的标准方程为；
（2）因为，
所以，
由椭圆的定义得，
对等式两边同时平方得，
即，
解得，
故△的面积
3．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于点，，求面积的最小值（其中为坐标原点）．
【解答】解：（1）易知抛物线的焦点，准线的方程为，
因为点到焦点的距离即为点到准线的距离，
所以，
解得，
则抛物线的方程为．
（2）由（1）知，抛物线，直线经过点，
不妨设直线的方程为，，，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
此时，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最小值为8．
4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（Ⅱ）经过焦点且斜率是1的直线，与抛物线交于、两点，求以及的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，
不妨设抛物线的方程为，
因为抛物线经过点，
解得
所以抛物线的标准方程为，焦点坐标为；
（Ⅱ）因为直线经过焦点且斜率是1，
所以直线的方程为
联立，
消去并整理得
不妨设，，，，
由韦达定理得，，
此时，
又，
故．
5．已知椭圆，左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点．
（1）求的长和的周长；
（2）求的面积．
【解答】解：（1）椭圆，，，
，即，
所以直线的方程为，
联立，得，或，
所以，
的周长为；
（2）由，得，由，得，
设，，
的面积．
6．已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
【解答】解：（1）因为双曲线的一条渐近线为，
所以，
又因为双曲线的虚轴长为，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与双曲线没有交点，不合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得，
所以且△，
所以且，
设，，，，
所以，，
所以，
点到直线的距离，
所以，
解得
所以直线的方程为．
7．已知双曲线的离心率为，设的右焦点为，右顶点为，虚轴下端点为，且．
（1）求的方程；
（2）过坐标原点的直线与交于，两点，与直线交于点，且点，都在第一象限，若的面积是面积的2倍，求的斜率．
【解答】解：（1）不妨设的焦距为，
因为双曲线的离心率为，
所以，①
又，②，
联立①②，可得．
因为，
解得，，
所以的方程为；
（2）不妨设直线的方程为，，，，，，，
易知，，
因为的面积是面积的2倍，
所以，
此时，
即．
因为直线的方程为，
联立，解得，
联立，消去并整理得，
因为，
所以，
对等式两边同时平方得，
解得或，
当时，与直线平行，不符合题意；
当时，，，符合题意．
故直线的斜率为．
8．已知过点的直线与抛物线交于，两点，且当的斜率为1时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
【解答】解：（1）当斜率为1时，
可得直线的方程为，
此时直线恰好经过坐标原点，
不妨设，
则为抛物线上的点，
所以，
解得；
（2）由（1）可知抛物线的焦点，
当直线经过时，
直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，，，
由韦达定理得，，
则的面积．
9．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，，是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上一点，，则三角形的面积．
【解答】解：（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）在△中，，，
由，得，
设，则时，
在△中，由余弦定理得，
即，解得；
所以，
所以．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右顶点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，设为坐标原点，求证：的面积为定值
【解答】解：（1）不妨设，，
因为双曲线的右顶点，
所以，
此时，，
则，①
又，②
联立①②，解得，
则双曲线的标准方程；
（2）证明：不妨设直线与轴交于点，
易知双曲线的渐近线方程为，
因为动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，
当动直线的斜率不存在时，，
当动直线的斜率存在时，且斜率，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
因为且，△，
整理得，
联立，
解得，
同理得，
所以，
因为原点到直线的距离，
所以，
因为，
所以，
故的面积是为定值，定值为．
11．已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程．
【解答】解：（1）易知，，，
所以，
因为，
所以，①
又，②
联立①②，解得或（舍去），
所以，，
则椭圆的方程为；
（2）不妨设，，，，
联立，消去并整理得，
所以，，
此时△，
解得，
所以，
而原点到直线的距离，
所以，
令，
可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时面积取得最大值，直线方程为．
12．已知椭圆经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积．
【解答】解：（1）因为椭圆经过点，
所以，
将点的坐标代入方程，
此时，
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）若直线交椭圆于，两点，
联立消去并整理得，
解得，或，，
不妨设，，
则．
13．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，点是椭圆的上顶点，以点为圆心且过的圆恰好与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为1的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值．
【解答】解：（1）因为是椭圆的左焦点，
所以，
因为点是椭圆的上顶点，
所以以点为圆心且过的圆的半径，
又，
则椭圆的方程为；
（2）不妨设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
因为直线交椭圆于，两点，
所以△，
解得，
由韦达定理得，，
此时，
易知点到直线的距离，
所以
，
当且即当，即时，等号成立，
故面积的最大值为．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，设点，在△中，，周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求的面积．
【解答】解：（1）已知在△中，，
可得，
所以，①
因为△的周长为，
所以，②
又，③
联立①②③，解得，，
则椭圆的方程为；
（2）由（1）知椭圆的左焦点，
则直线的方程为，
不妨设，，，，
联立，消去并整理得，
此时△，
由韦达定理得，，
所以
，
而点到直线的距离，
则．
15．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到上的点的最小距离为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线交于，两点，过，作直线的垂线分别交于另一点，，求四边形的面积．
【解答】解：（Ⅰ）不妨设双曲线的半焦距为，
因为的一条渐近线的倾斜角为，
所以，①
因为一个焦点到上的点的最小距离为，
所以，②
又，③
联立①②③，解得，，
则的方程为；
（Ⅱ）联立，消去并整理得，
不妨设，，，，
由韦达定理得，，
不妨设，
所以，，
此时，
易知直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
同理，
所以
，
故四边形的面积．