新高考数学二轮专题重难点突破训练19 玩转外接球、内切球、棱切球（二十四大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题重难点突破训练19 玩转外接球、内切球、棱切球（二十四大题型）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮专题重难点突破训练16奔驰定理与四心问题五大题型原卷版docx、新高考数学二轮专题重难点突破训练16奔驰定理与四心问题五大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc174832535" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc174832535 \h 2
\l "_Tc174832536" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc174832536 \h 7
\l "_Tc174832537" 题型一：外接球之正方体、长方体模型 PAGEREF _Tc174832537 \h 7
\l "_Tc174832538" 题型二：外接球之正四面体模型 PAGEREF _Tc174832538 \h 7
\l "_Tc174832539" 题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型 PAGEREF _Tc174832539 \h 8
\l "_Tc174832540" 题型四：外接球之直棱柱模型 PAGEREF _Tc174832540 \h 8
\l "_Tc174832541" 题型五：外接球之直棱锥模型 PAGEREF _Tc174832541 \h 9
\l "_Tc174832542" 题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型 PAGEREF _Tc174832542 \h 9
\l "_Tc174832543" 题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型 PAGEREF _Tc174832543 \h 10
\l "_Tc174832544" 题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 PAGEREF _Tc174832544 \h 10
\l "_Tc174832545" 题型九：外接球之垂面模型 PAGEREF _Tc174832545 \h 11
\l "_Tc174832546" 题型十：外接球之二面角模型 PAGEREF _Tc174832546 \h 12
\l "_Tc174832547" 题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型 PAGEREF _Tc174832547 \h 13
\l "_Tc174832548" 题型十二：外接球之共斜边拼接模型 PAGEREF _Tc174832548 \h 14
\l "_Tc174832549" 题型十三：外接球之坐标法模型 PAGEREF _Tc174832549 \h 15
\l "_Tc174832550" 题型十四：外接球之空间多面体 PAGEREF _Tc174832550 \h 15
\l "_Tc174832551" 题型十五：与球有关的最值问题 PAGEREF _Tc174832551 \h 16
\l "_Tc174832552" 题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型 PAGEREF _Tc174832552 \h 17
\l "_Tc174832553" 题型十七：内切球之正四面体模型 PAGEREF _Tc174832553 \h 18
\l "_Tc174832554" 题型十八：内切球之棱锥模型 PAGEREF _Tc174832554 \h 18
\l "_Tc174832555" 题型十九：内切球之圆锥、圆台模型 PAGEREF _Tc174832555 \h 19
\l "_Tc174832556" 题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型 PAGEREF _Tc174832556 \h 20
\l "_Tc174832557" 题型二十一：棱切球之正四面体模型 PAGEREF _Tc174832557 \h 20
\l "_Tc174832558" 题型二十二：棱切球之正棱锥模型 PAGEREF _Tc174832558 \h 20
\l "_Tc174832559" 题型二十三：棱切球之台体、四面体模型 PAGEREF _Tc174832559 \h 21
\l "_Tc174832560" 题型二十四：多球相切问题 PAGEREF _Tc174832560 \h 21
\l "_Tc174832561" 03 过关测试 PAGEREF _Tc174832561 \h 22
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
【典例1-1】正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【典例1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ．
【变式1-1】长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为 .
题型二：外接球之正四面体模型
【典例2-1】（2024·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
A．B．C．3D．
【典例2-2】已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ）
A．1B．C．D．2
【变式2-1】（2024·陕西咸阳·一模）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典例3-1】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
题型四：外接球之直棱柱模型
【典例4-1】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型五：外接球之直棱锥模型
【典例5-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【典例5-2】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为 ．
【变式5-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式5-2】（2024·河南开封·三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典例6-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典例7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例7-2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【变式7-1】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【变式7-2】已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典例8-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ．
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（ ）

A．B．C．D．
题型九：外接球之垂面模型
【典例9-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【典例9-2】如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-1】（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2024·四川·三模）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型十：外接球之二面角模型
【典例10-1】在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【典例10-2】如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 .
【变式10-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【变式10-2】（2024·高三·河南·期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为 .

题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
【典例11-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【典例11-2】（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为 .
【变式11-1】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
【典例12-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例12-2】已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式12-1】在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型十三：外接球之坐标法模型
【典例13-1】空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
【典例13-2】（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 .
【变式13-1】如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
题型十四：外接球之空间多面体
【典例14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例14-2】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式14-1】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
题型十五：与球有关的最值问题
【典例15-1】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．323π27B．C．D．
【典例15-2】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式15-1】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式15-2】（2024·浙江·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
【典例16-1】棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例16-2】在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式16-1】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【变式16-2】（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型十七：内切球之正四面体模型
【典例17-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例17-2】已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【变式17-1】边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型十八：内切球之棱锥模型
【典例18-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例18-2】若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A．B．4C．D．
【变式18-1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式18-2】已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A．B．
C．D．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
【典例19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例19-2】（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（ ）
A．B．
C．D．
【变式19-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
【典例20-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【典例20-2】已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．D．
【变式20-1】已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
【变式20-2】已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型二十一：棱切球之正四面体模型
【典例21-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【典例21-2】所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式21-1】球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
【典例22-1】（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 .
【典例22-2】在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【变式22-1】正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型
【典例23-1】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型二十四：多球相切问题
【典例24-1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【典例24-2】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式24-1】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A．B．C．D．
【变式24-2】（2024·高三·河南新乡·开学考试）已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A．2B．C．4D．
2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知四面体的体积为3，从顶点出发的三条棱两两垂直，若，则该四面体外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·四川自贡·二模）在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（ ）.
A．B．C．D．
13．（2024·河南开封·三模）已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·陕西咸阳·二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
15．在直三棱柱中，为等边三角形，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
18．棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
21．已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A．B．C．D．
22．（多选题）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
23．（多选题）（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（ ）
A．球的体积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的最大值为3
D．若为中点，则平面截球的截面面积为